独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問4問・無料

九州大学　2023年度　前期日程　理科系

第2問数列の解答・解説

絶対値のついた漸化式・場合分け・等比数列・収束と発散当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $α \leq 1$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答 $0$ に収束する

$f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x - 1$ を場合分けで書き直すと、 $x < 1$ では $f (x) = 0$ 、 $x \geq 1$ では $f (x) = 2 (x - 1)$ という、とても単純な関数になる。

$f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x - 1$ とおくと $a_{n + 1} = f (a_{n})$ である。

f (x) = {(1 - x) + x - 1 = 0 (x - 1) + x - 1 = 2 (x - 1) (x < 1) (x \geq 1)

である。つまり $1$ より小さい値が出たら、次からはずっと $0$ になる。

$α < 1$ のとき： $a_{2} = f (α) = 0$ 。以後 $0 < 1$ なので $a_{3} = a_{4} = \dots = 0$ 。
$α = 1$ のとき： $a_{2} = 2 (1 - 1) = 0$ 。以後やはり $0$ 。

どちらの場合も $n \geq 2$ で $a_{n} = 0$ だから、 ${a_{n}}$ は $0$ に収束する。

f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x - 1

のグラフ。

x < 1

では

0

、

x \geq 1

では傾き

2

の直線

2 (x - 1)

。点線は

y = x

で、交点

x = 0

と

x = 2

が不動点にあたる。

$α = - 5, 0, 1$ のいずれでも $a_{200} = 0$ だった。

$α = 1$ を忘れない。 $x \geq 1$ 側の式を使うが、値は $0$ になる。

$f (x) = 0$ （ $x < 1$ ）はただ1点に潰す写像である。ここに入ったら二度と出られない。

(2) $α > 2$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答正の無限大に発散する（ $a_{n} = 2 + (α - 2) 2^{n - 1}$ ）

$a_{n} \geq 1$ であるかぎり $a_{n + 1} - 2 = 2 (a_{n} - 2)$ となり、 $a_{n} - 2$ が公比 $2$ の等比数列になる。 $α > 2$ なら初項が正なので、 $a_{n}$ はずっと $2$ より大きく、場合分けが切り替わらない。

$a_{n} \geq 1$ のときは $a_{n + 1} = 2 (a_{n} - 1)$ で、両辺から $2$ を引くと

a_{n + 1} - 2 = 2 (a_{n} - 2)

となる。 $α > 2$ のとき $a_{1} - 2 = α - 2 > 0$ なので、帰納的に $a_{n} - 2 > 0$ 、すなわち $a_{n} > 2 \geq 1$ が続き、この式をずっと使える。よって

a_{n} - 2 = (α - 2) 2^{n - 1}, a_{n} = 2 + (α - 2) 2^{n - 1}

である。 $α - 2 > 0$ と $2^{n - 1} \to \infty$ より

n \to \infty lim a_{n} = + \infty

で、 ${a_{n}}$ は正の無限大に発散する。

$α = 2.0001$ で $a_{200} = 1.61 \times 1 0^{56}$ 、 $α = 3$ で $1.61 \times 1 0^{60}$ と、 $(α - 2) 2^{199}$ に一致した。

$a_{n + 1} = 2 (a_{n} - 1)$ が使えるのは $a_{n} \geq 1$ のときだけである。「 $a_{n} > 2$ がずっと続く」ことを帰納法で押さえてから一般項を書く。

$α = 2$ のときは $a_{n} = 2$ のまま（ $2$ に収束）で、発散しない。 $α > 2$ という条件が効いている。

(3) $1 < α < \frac{3}{2}$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答 $0$ に収束する（ $a_{3}$ 以降はすべて $0$ ）

$a_{1} = α \geq 1$ なので $a_{2} = 2 α - 2$ である。 $α < \frac{3}{2}$ だと $a_{2} < 1$ になり、そこから先は (1) と同じく $0$ に落ちる。

$1 < α$ より $a_{1} \geq 1$ なので

a_{2} = 2 (α - 1) = 2 α - 2

である。 $1 < α < \frac{3}{2}$ だから

0 < a_{2} < 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1

すなわち $a_{2} < 1$ である。よって $a_{3} = f (a_{2}) = 0$ となり、以後 $a_{n} = 0$ （ $n \geq 3$ ）である。したがって ${a_{n}}$ は $0$ に収束する。

$α = \frac{3}{2}$ だとちょうど $a_{2} = 1$ になり、 $a_{3} = 2 (1 - 1) = 0$ 。やはり $0$ に落ちるが、1回ぶん長くもつ。この境目が (3) と (4) を分けている。

$α = 1.2$ で $a_{2} = 0.4 < 1$ 、 $α = 1.49$ で $a_{2} = 0.98 < 1$ となり、どちらも $a_{200} = 0$ だった。

$a_{2} = 2 α - 2$ が $1$ 未満かどうかを決めるのは $α < \frac{3}{2}$ である。 $\frac{3}{2}$ という半端な境目はここから出てくる。

$a_{2} > 0$ でも $1$ 未満なら次は $0$ である。「正だから減りながら続く」ではない。

(4) $\frac{3}{2} \leq α < 2$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答 $0$ に収束する（ある $N$ から先はすべて $0$ ）

この範囲では $a_{2} \geq 1$ なので、すぐには $0$ に落ちない。 $a_{n} = 2 - (2 - α) 2^{n - 1}$ と書けるので、 $2 - α > 0$ より $(2 - α) 2^{n - 1}$ はいくらでも大きくなり、いつかは $a_{n} < 1$ になる。そこから先は $0$ である。

$a_{n} \geq 1$ であるかぎり (2) と同じ式が使えて

a_{n} = 2 + (α - 2) 2^{n - 1} = 2 - (2 - α) 2^{n - 1}

である。 $\frac{3}{2} \leq α < 2$ では $0 < 2 - α \leq \frac{1}{2}$ なので、 $a_{n}$ は $n$ とともに減っていく。

いつかは $1$ を下回る。 $2^{n - 1} \to \infty$ かつ $2 - α > 0$ だから $(2 - α) 2^{n - 1} \to \infty$ で、

(2 - α) 2^{n - 1} > 1

をみたす $n$ が存在する。そのような最小の $n$ を $N$ とすると、 $n < N$ では $a_{n} \geq 1$ なので上の式が使えて、 $a_{N} = 2 - (2 - α) 2^{N - 1} < 1$ である。

$a_{N} < 1$ だから $a_{N + 1} = f (a_{N}) = 0$ で、以後 $a_{n} = 0$ である。よって ${a_{n}}$ は $0$ に収束する。

$α = 2$ だけが例外で、このとき $a_{n} = 2$ （すべての $n$ ）となり $2$ に収束する。 $α < 2$ ならどんなに $2$ に近くても、有限回で $0$ に落ちる。

$α = 1.5$ では $a_{2} = 1$ 、 $a_{3} = 0$ 。 $α = 1.99$ では $a_{8} = 0.72 < 1$ となって $a_{9} = 0$ 。いずれも $a_{200} = 0$ だった。

(3) と違って「 $a_{2} < 1$ 」とは言えない。 $a_{2} = 2 α - 2 \geq 1$ である。何回かかるかは $α$ によるので、「ある $N$ が存在する」という形で書く。

$2^{n - 1}$ がいくらでも大きくなることを根拠にする。 $2 - α$ が小さくても、かけ算で必ず $1$ を超える。

$a_{N} = 1$ ちょうどになることもある（ $α = 2 - 2^{- (N - 1)}$ ）。そのときも $a_{N + 1} = 2 (1 - 1) = 0$ なので結論は変わらない。

2023年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる九大理系数学 2027

九大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・140ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)α≤1 のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(2)α>2 のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(3)1<α<23​ のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(4)23​≤α<2 のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる