第3問ベクトルの解答・解説

1次独立・連立1次方程式・格子点の基底・整数解当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)条件 I がすべての $q$ に対して成り立つとき $D \neq = 0$ であることを示す

答 $D = 0$ なら $r m + s n$ は1本の直線上しか動けず、その外の $q$ をとれない

対偶を示す。 $D = 0$ は $m$ と $n$ が平行であることを意味するので、 $r m + s n$ の動ける範囲は原点を通る1本の直線に限られる。

対偶「 $D = 0$ ならば、条件 I をみたさない $q$ が存在する」を示す。

$D = 0$ は平行を意味する。 $D = a d - b c = 0$ とする。 $m = (a, c) \neq = 0$ なので $a \neq = 0$ または $c \neq = 0$ である。 $a \neq = 0$ のとき $d = \frac{b c}{a}$ だから

n = (b, d) = (b, \frac{b c}{a}) = \frac{b}{a} (a, c) = \frac{b}{a} m

となり $n$ は $m$ の実数倍である。 $c \neq = 0$ のときも $b = \frac{a d}{c}$ から同様に $n = \frac{d}{c} m$ となる。

動ける範囲。 $n = k m$ と書けるので

r m + s n = (r + s k) m

である。 $r, s$ を実数全体で動かしても、これは $m$ の実数倍しか作れない。つまり原点を通る直線 $ℓ$ （方向 $m$ ）の上の点だけである。

$m = (a, c) \neq = 0$ だから、 $ℓ$ に乗らないベクトル、たとえば $q = (- c, a)$ （ $m$ と垂直で $0$ でない）は作れない。これは「条件 I がすべての $q$ で成り立つ」に反する。

よって対偶が示され、 $D \neq = 0$ である。

$m = (1, 2)$ 、 $n = (2, 4)$ （ $D = 0$ ）では $r m + s n$ は直線 $y = 2 x$ 上しか動かず、 $q = (- 2, 1)$ は作れない。

$m \neq = 0$ 、 $n \neq = 0$ が仮定に入っている。 $m = 0$ の場合を気にする必要はない。

$D = 0$ から $n = k m$ を導くとき、 $a = 0$ か $c = 0$ かで場合分けが要る。いきなり割らない。

反例の $q$ は具体的に挙げる。 $(- c, a)$ は $m$ と垂直なので、 $m$ の実数倍にはなりえない。

(2) $m \cdot v = n \cdot w = 1$ 、 $m \cdot w = n \cdot v = 0$ をみたす $v, w$ を求める

答 $v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})$ 、 $w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})$

$v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと、条件は $v_{1}, v_{2}$ についての連立1次方程式になる。係数行列の「たすきがけ」がちょうど $D$ で、 $D \neq = 0$ だから一意に解ける。

$v$ を求める。 $v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと条件は

{m \cdot v = a v_{1} + c v_{2} = 1 n \cdot v = b v_{1} + d v_{2} = 0

である。上を $d$ 倍、下を $c$ 倍して引くと $(a d - b c) v_{1} = d$ 、つまり $v_{1} = \frac{d}{D}$ 。上を $b$ 倍、下を $a$ 倍して引くと $(b c - a d) v_{2} = b$ 、つまり $v_{2} = - \frac{b}{D}$ 。よって

v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})

である。

$w$ を求める。 $w = (w_{1}, w_{2})$ とおくと

{a w_{1} + c w_{2} = 0 b w_{1} + d w_{2} = 1

で、同じように解いて

w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})

である。 $D \neq = 0$ なのでどちらも一意に定まる。

この $v, w$ の役目は「 $q = r m + s n$ と書けたとき、 $r$ と $s$ を取り出す」ことである。実際、内積をとると $q \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r$ 、同様に $q \cdot w = s$ となる。(3) はこの性質で解ける。

$a, b, c, d$ をランダムに $2$ 万組とって4つの内積を計算すると、すべて条件どおりだった。

$v$ は「 $m$ 方向」ではない。 $n$ と垂直で、 $m$ との内積が $1$ になるベクトルである。

成分の位置に注意。 $v$ には $d, b$ 、 $w$ には $c, a$ が出る。入れ替えないこと。

(3) $a, b, c, d$ が整数で、成分が整数のすべての $q$ に対して条件 II が成り立つとき、 $D$ のとりうる値をすべて求める

答 $D = 1, - 1$

(2) の注のとおり $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$ である。 $q = (1, 0), (0, 1)$ の2つを入れるだけで $D$ が $a, b, c, d$ のすべてを割ることが分かり、そこから $D^{2} ∣ D$ が出る。

$r, s$ を書き下す。 $q = r m + s n$ のとき、 $v$ との内積をとると

q \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r \cdot 1 + s \cdot 0 = r

であり、同様に $s = q \cdot w$ である。したがって $q = (q_{1}, q_{2})$ に対して

r = \frac{q _{1} d - q _{2} b}{D}, s = \frac{- q _{1} c + q _{2} a}{D}

である。

$D$ が4つすべてを割る。 条件 II より、これらが整数になる。

$q = (1, 0)$ ： $r = \frac{d}{D}$ 、 $s = - \frac{c}{D}$ が整数 $\Rightarrow$ $D$ は $d$ と $c$ を割る
$q = (0, 1)$ ： $r = - \frac{b}{D}$ 、 $s = \frac{a}{D}$ が整数 $\Rightarrow$ $D$ は $b$ と $a$ を割る

よって $a = D a^{'}$ 、 $b = D b^{'}$ 、 $c = D c^{'}$ 、 $d = D d^{'}$ と整数で書ける。すると

D = a d - b c = D^{2} (a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'})

である。 $D \neq = 0$ なので両辺を $D$ で割って

1 = D (a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'})

となる。 $D$ も $a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'}$ も整数だから $D = \pm 1$ である。

逆も成り立つ。 $D = \pm 1$ なら (2) の $v, w$ の成分 $\frac{d}{D}, - \frac{b}{D}, - \frac{c}{D}, \frac{a}{D}$ はすべて整数である。よって整数ベクトル $q$ に対し $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$ はどちらも整数で、条件 II が成り立つ。