独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全5問・無料

九州大学　2023年度　前期日程　理科系

九大理系 2023年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　複素数平面

相反方程式・対称式・基本対称式・正三角形条件当サイトの体感難易度：やや難

(1)4次方程式 $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ を解く

答 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ （どちらも重解）

係数が $1, - 2, 3, - 2, 1$ と左右対称（相反方程式）なので、 $x^{2}$ で割って $t = x + \frac{1}{x}$ とおく。

$x = 0$ は解でない（代入すると $1 = 0$ ）ので、両辺を $x^{2}$ で割ってよい。

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 (x + \frac{1}{x}) + 3 = 0

$t = x + \frac{1}{x}$ とおくと $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ だから

t^{2} - 2 - 2 t + 3 = 0 ⟺ (t - 1)^{2} = 0

すなわち $t = 1$ （重解）である。

$x$ に戻す。 $x + \frac{1}{x} = 1$ より

x^{2} - x + 1 = 0, x = \frac{1 \pm 3 i}{2}

である。 $t$ が重解だったので、もとの4次式は $(x^{2} - x + 1)^{2}$ に等しく、この2つがそれぞれ重解である。

$x = \frac{1 \pm 3 i}{2} = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3})$ で、 $1$ の原始6乗根である。

$x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ を4次式に代入すると $0$ 、導関数 $4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2$ に代入しても $0$ になり、重解であることが確かめられる。

相反方程式では $x = 0$ が解でないことを先に断ってから $x^{2}$ で割る。

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$ の $- 2$ を忘れない。

$t = 1$ が重解なので、 $x$ の4つの解は2種類が2個ずつである。「4つの異なる解」と書かない。

(2) $(α - β)^{4} + (β - γ)^{4} + (γ - α)^{4} = 0$ のとき $△ ABC$ がどのような三角形かを答える

答正三角形

$p = α - β$ 、 $q = β - γ$ 、 $r = γ - α$ とおくと $p + q + r = 0$ である。このとき $p^{4} + q^{4} + r^{4} = \frac{( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ^{2}}{2}$ という恒等式が成り立つので、条件は $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 0$ に帰着する。

$p = α - β$ 、 $q = β - γ$ 、 $r = γ - α$ とおくと $p + q + r = 0$ である。基本対称式を

e_{1} = p + q + r = 0, e_{2} = pq + q r + r p, e_{3} = pq r

とおく。

2乗和と4乗和。 $e_{1} = 0$ なので

p^{2} + q^{2} + r^{2} = e_{1}^{2} - 2 e_{2} = - 2 e_{2}

である。また

p^{4} + q^{4} + r^{4} = (p^{2} + q^{2} + r^{2})^{2} - 2 (p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2}) = 4 e_{2}^{2} - 2 (e_{2}^{2} - 2 e_{3} e_{1}) = 4 e_{2}^{2} - 2 e_{2}^{2} = 2 e_{2}^{2}

である（ $p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2} = e_{2}^{2} - 2 e_{3} e_{1}$ で $e_{1} = 0$ ）。まとめると

p^{4} + q^{4} + r^{4} = 2 e_{2}^{2} = \frac{( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ^{2}}{2}

である。

条件を書き直す。 与式 $= 0$ は $2 e_{2}^{2} = 0$ 、すなわち $e_{2} = 0$ と同値である。 $e_{1} = e_{2} = 0$ だから $p, q, r$ は3次方程式

z^{3} - e_{3} = 0

の3つの解である。 $△ ABC$ は三角形なので $p \neq = 0$ 、したがって $e_{3} \neq = 0$ である。

$z^{3} = e_{3}$ の3解は、1つを $z_{0}$ とすると $z_{0}, ω z_{0}, ω^{2} z_{0}$ （ $ω = cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}$ ）である。したがって

∣ p ∣ = ∣ q ∣ = ∣ r ∣

すなわち $AB = BC = CA$ で、 $△ ABC$ は正三角形である。

逆に正三角形なら $q = ω p$ 、 $r = ω^{2} p$ （または $ω$ と $ω^{2}$ を入れ替え）と書けて、 $e_{2} = p^{2} (ω + ω^{3} + ω^{2}) = p^{2} (ω + ω^{2} + 1) = 0$ だから与式は $0$ になる。

$p + q + r = 0$ となる複素数を $2$ 万組ランダムにとると、つねに $p^{4} + q^{4} + r^{4} = \frac{( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ^{2}}{2}$ だった。頂点 $0, 1, \frac{1 + 3 i}{2}$ （正三角形）では与式が $0$ 、 $0, 1, i$ （直角二等辺）では $2$ 、 $0, 2, 0.3 + 1.1 i$ では $15.14$ になった。

$p + q + r = 0$ に気づくのが出発点。 $(α - β) + (β - γ) + (γ - α) = 0$ である。

$p^{4} + q^{4} + r^{4} = 0$ から $p = q = r = 0$ とはできない。複素数なので2乗が負にもなる。

「正三角形」と答えるだけでなく、逆も成り立つこと（正三角形なら条件をみたす）に触れておくと安全である。

第1問だけのページ

第2問　数列

絶対値のついた漸化式・場合分け・等比数列・収束と発散当サイトの体感難易度：やや難

(1) $α \leq 1$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答 $0$ に収束する

$f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x - 1$ を場合分けで書き直すと、 $x < 1$ では $f (x) = 0$ 、 $x \geq 1$ では $f (x) = 2 (x - 1)$ という、とても単純な関数になる。

$f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x - 1$ とおくと $a_{n + 1} = f (a_{n})$ である。

f (x) = {(1 - x) + x - 1 = 0 (x - 1) + x - 1 = 2 (x - 1) (x < 1) (x \geq 1)

である。つまり $1$ より小さい値が出たら、次からはずっと $0$ になる。

$α < 1$ のとき： $a_{2} = f (α) = 0$ 。以後 $0 < 1$ なので $a_{3} = a_{4} = \dots = 0$ 。
$α = 1$ のとき： $a_{2} = 2 (1 - 1) = 0$ 。以後やはり $0$ 。

どちらの場合も $n \geq 2$ で $a_{n} = 0$ だから、 ${a_{n}}$ は $0$ に収束する。

f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x - 1

のグラフ。

x < 1

では

0

、

x \geq 1

では傾き

2

の直線

2 (x - 1)

。点線は

y = x

で、交点

x = 0

と

x = 2

が不動点にあたる。

$α = - 5, 0, 1$ のいずれでも $a_{200} = 0$ だった。

$α = 1$ を忘れない。 $x \geq 1$ 側の式を使うが、値は $0$ になる。

$f (x) = 0$ （ $x < 1$ ）はただ1点に潰す写像である。ここに入ったら二度と出られない。

(2) $α > 2$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答正の無限大に発散する（ $a_{n} = 2 + (α - 2) 2^{n - 1}$ ）

$a_{n} \geq 1$ であるかぎり $a_{n + 1} - 2 = 2 (a_{n} - 2)$ となり、 $a_{n} - 2$ が公比 $2$ の等比数列になる。 $α > 2$ なら初項が正なので、 $a_{n}$ はずっと $2$ より大きく、場合分けが切り替わらない。

$a_{n} \geq 1$ のときは $a_{n + 1} = 2 (a_{n} - 1)$ で、両辺から $2$ を引くと

a_{n + 1} - 2 = 2 (a_{n} - 2)

となる。 $α > 2$ のとき $a_{1} - 2 = α - 2 > 0$ なので、帰納的に $a_{n} - 2 > 0$ 、すなわち $a_{n} > 2 \geq 1$ が続き、この式をずっと使える。よって

a_{n} - 2 = (α - 2) 2^{n - 1}, a_{n} = 2 + (α - 2) 2^{n - 1}

である。 $α - 2 > 0$ と $2^{n - 1} \to \infty$ より

n \to \infty lim a_{n} = + \infty

で、 ${a_{n}}$ は正の無限大に発散する。

$α = 2.0001$ で $a_{200} = 1.61 \times 1 0^{56}$ 、 $α = 3$ で $1.61 \times 1 0^{60}$ と、 $(α - 2) 2^{199}$ に一致した。

$a_{n + 1} = 2 (a_{n} - 1)$ が使えるのは $a_{n} \geq 1$ のときだけである。「 $a_{n} > 2$ がずっと続く」ことを帰納法で押さえてから一般項を書く。

$α = 2$ のときは $a_{n} = 2$ のまま（ $2$ に収束）で、発散しない。 $α > 2$ という条件が効いている。

(3) $1 < α < \frac{3}{2}$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答 $0$ に収束する（ $a_{3}$ 以降はすべて $0$ ）

$a_{1} = α \geq 1$ なので $a_{2} = 2 α - 2$ である。 $α < \frac{3}{2}$ だと $a_{2} < 1$ になり、そこから先は (1) と同じく $0$ に落ちる。

$1 < α$ より $a_{1} \geq 1$ なので

a_{2} = 2 (α - 1) = 2 α - 2

である。 $1 < α < \frac{3}{2}$ だから

0 < a_{2} < 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1

すなわち $a_{2} < 1$ である。よって $a_{3} = f (a_{2}) = 0$ となり、以後 $a_{n} = 0$ （ $n \geq 3$ ）である。したがって ${a_{n}}$ は $0$ に収束する。

$α = \frac{3}{2}$ だとちょうど $a_{2} = 1$ になり、 $a_{3} = 2 (1 - 1) = 0$ 。やはり $0$ に落ちるが、1回ぶん長くもつ。この境目が (3) と (4) を分けている。

$α = 1.2$ で $a_{2} = 0.4 < 1$ 、 $α = 1.49$ で $a_{2} = 0.98 < 1$ となり、どちらも $a_{200} = 0$ だった。

$a_{2} = 2 α - 2$ が $1$ 未満かどうかを決めるのは $α < \frac{3}{2}$ である。 $\frac{3}{2}$ という半端な境目はここから出てくる。

$a_{2} > 0$ でも $1$ 未満なら次は $0$ である。「正だから減りながら続く」ではない。

(4) $\frac{3}{2} \leq α < 2$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

答 $0$ に収束する（ある $N$ から先はすべて $0$ ）

この範囲では $a_{2} \geq 1$ なので、すぐには $0$ に落ちない。 $a_{n} = 2 - (2 - α) 2^{n - 1}$ と書けるので、 $2 - α > 0$ より $(2 - α) 2^{n - 1}$ はいくらでも大きくなり、いつかは $a_{n} < 1$ になる。そこから先は $0$ である。

$a_{n} \geq 1$ であるかぎり (2) と同じ式が使えて

a_{n} = 2 + (α - 2) 2^{n - 1} = 2 - (2 - α) 2^{n - 1}

である。 $\frac{3}{2} \leq α < 2$ では $0 < 2 - α \leq \frac{1}{2}$ なので、 $a_{n}$ は $n$ とともに減っていく。

いつかは $1$ を下回る。 $2^{n - 1} \to \infty$ かつ $2 - α > 0$ だから $(2 - α) 2^{n - 1} \to \infty$ で、

(2 - α) 2^{n - 1} > 1

をみたす $n$ が存在する。そのような最小の $n$ を $N$ とすると、 $n < N$ では $a_{n} \geq 1$ なので上の式が使えて、 $a_{N} = 2 - (2 - α) 2^{N - 1} < 1$ である。

$a_{N} < 1$ だから $a_{N + 1} = f (a_{N}) = 0$ で、以後 $a_{n} = 0$ である。よって ${a_{n}}$ は $0$ に収束する。

$α = 2$ だけが例外で、このとき $a_{n} = 2$ （すべての $n$ ）となり $2$ に収束する。 $α < 2$ ならどんなに $2$ に近くても、有限回で $0$ に落ちる。

$α = 1.5$ では $a_{2} = 1$ 、 $a_{3} = 0$ 。 $α = 1.99$ では $a_{8} = 0.72 < 1$ となって $a_{9} = 0$ 。いずれも $a_{200} = 0$ だった。

(3) と違って「 $a_{2} < 1$ 」とは言えない。 $a_{2} = 2 α - 2 \geq 1$ である。何回かかるかは $α$ によるので、「ある $N$ が存在する」という形で書く。

$2^{n - 1}$ がいくらでも大きくなることを根拠にする。 $2 - α$ が小さくても、かけ算で必ず $1$ を超える。

$a_{N} = 1$ ちょうどになることもある（ $α = 2 - 2^{- (N - 1)}$ ）。そのときも $a_{N + 1} = 2 (1 - 1) = 0$ なので結論は変わらない。

第2問だけのページ

第3問　ベクトル

1次独立・連立1次方程式・格子点の基底・整数解当サイトの体感難易度：難

(1)条件 I がすべての $q$ に対して成り立つとき $D \neq = 0$ であることを示す

答 $D = 0$ なら $r m + s n$ は1本の直線上しか動けず、その外の $q$ をとれない

対偶を示す。 $D = 0$ は $m$ と $n$ が平行であることを意味するので、 $r m + s n$ の動ける範囲は原点を通る1本の直線に限られる。

対偶「 $D = 0$ ならば、条件 I をみたさない $q$ が存在する」を示す。

$D = 0$ は平行を意味する。 $D = a d - b c = 0$ とする。 $m = (a, c) \neq = 0$ なので $a \neq = 0$ または $c \neq = 0$ である。 $a \neq = 0$ のとき $d = \frac{b c}{a}$ だから

n = (b, d) = (b, \frac{b c}{a}) = \frac{b}{a} (a, c) = \frac{b}{a} m

となり $n$ は $m$ の実数倍である。 $c \neq = 0$ のときも $b = \frac{a d}{c}$ から同様に $n = \frac{d}{c} m$ となる。

動ける範囲。 $n = k m$ と書けるので

r m + s n = (r + s k) m

である。 $r, s$ を実数全体で動かしても、これは $m$ の実数倍しか作れない。つまり原点を通る直線 $ℓ$ （方向 $m$ ）の上の点だけである。

$m = (a, c) \neq = 0$ だから、 $ℓ$ に乗らないベクトル、たとえば $q = (- c, a)$ （ $m$ と垂直で $0$ でない）は作れない。これは「条件 I がすべての $q$ で成り立つ」に反する。

よって対偶が示され、 $D \neq = 0$ である。

$m = (1, 2)$ 、 $n = (2, 4)$ （ $D = 0$ ）では $r m + s n$ は直線 $y = 2 x$ 上しか動かず、 $q = (- 2, 1)$ は作れない。

$m \neq = 0$ 、 $n \neq = 0$ が仮定に入っている。 $m = 0$ の場合を気にする必要はない。

$D = 0$ から $n = k m$ を導くとき、 $a = 0$ か $c = 0$ かで場合分けが要る。いきなり割らない。

反例の $q$ は具体的に挙げる。 $(- c, a)$ は $m$ と垂直なので、 $m$ の実数倍にはなりえない。

(2) $m \cdot v = n \cdot w = 1$ 、 $m \cdot w = n \cdot v = 0$ をみたす $v, w$ を求める

答 $v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})$ 、 $w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})$

$v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと、条件は $v_{1}, v_{2}$ についての連立1次方程式になる。係数行列の「たすきがけ」がちょうど $D$ で、 $D \neq = 0$ だから一意に解ける。

$v$ を求める。 $v = (v_{1}, v_{2})$ とおくと条件は

{m \cdot v = a v_{1} + c v_{2} = 1 n \cdot v = b v_{1} + d v_{2} = 0

である。上を $d$ 倍、下を $c$ 倍して引くと $(a d - b c) v_{1} = d$ 、つまり $v_{1} = \frac{d}{D}$ 。上を $b$ 倍、下を $a$ 倍して引くと $(b c - a d) v_{2} = b$ 、つまり $v_{2} = - \frac{b}{D}$ 。よって

v = (\frac{d}{D}, - \frac{b}{D})

である。

$w$ を求める。 $w = (w_{1}, w_{2})$ とおくと

{a w_{1} + c w_{2} = 0 b w_{1} + d w_{2} = 1

で、同じように解いて

w = (- \frac{c}{D}, \frac{a}{D})

である。 $D \neq = 0$ なのでどちらも一意に定まる。

この $v, w$ の役目は「 $q = r m + s n$ と書けたとき、 $r$ と $s$ を取り出す」ことである。実際、内積をとると $q \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r$ 、同様に $q \cdot w = s$ となる。(3) はこの性質で解ける。

$a, b, c, d$ をランダムに $2$ 万組とって4つの内積を計算すると、すべて条件どおりだった。

$v$ は「 $m$ 方向」ではない。 $n$ と垂直で、 $m$ との内積が $1$ になるベクトルである。

成分の位置に注意。 $v$ には $d, b$ 、 $w$ には $c, a$ が出る。入れ替えないこと。

(3) $a, b, c, d$ が整数で、成分が整数のすべての $q$ に対して条件 II が成り立つとき、 $D$ のとりうる値をすべて求める

答 $D = 1, - 1$

(2) の注のとおり $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$ である。 $q = (1, 0), (0, 1)$ の2つを入れるだけで $D$ が $a, b, c, d$ のすべてを割ることが分かり、そこから $D^{2} ∣ D$ が出る。

$r, s$ を書き下す。 $q = r m + s n$ のとき、 $v$ との内積をとると

q \cdot v = r (m \cdot v) + s (n \cdot v) = r \cdot 1 + s \cdot 0 = r

であり、同様に $s = q \cdot w$ である。したがって $q = (q_{1}, q_{2})$ に対して

r = \frac{q _{1} d - q _{2} b}{D}, s = \frac{- q _{1} c + q _{2} a}{D}

である。

$D$ が4つすべてを割る。 条件 II より、これらが整数になる。

$q = (1, 0)$ ： $r = \frac{d}{D}$ 、 $s = - \frac{c}{D}$ が整数 $\Rightarrow$ $D$ は $d$ と $c$ を割る
$q = (0, 1)$ ： $r = - \frac{b}{D}$ 、 $s = \frac{a}{D}$ が整数 $\Rightarrow$ $D$ は $b$ と $a$ を割る

よって $a = D a^{'}$ 、 $b = D b^{'}$ 、 $c = D c^{'}$ 、 $d = D d^{'}$ と整数で書ける。すると

D = a d - b c = D^{2} (a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'})

である。 $D \neq = 0$ なので両辺を $D$ で割って

1 = D (a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'})

となる。 $D$ も $a^{'} d^{'} - b^{'} c^{'}$ も整数だから $D = \pm 1$ である。

逆も成り立つ。 $D = \pm 1$ なら (2) の $v, w$ の成分 $\frac{d}{D}, - \frac{b}{D}, - \frac{c}{D}, \frac{a}{D}$ はすべて整数である。よって整数ベクトル $q$ に対し $r = q \cdot v$ 、 $s = q \cdot w$ はどちらも整数で、条件 II が成り立つ。

したがって $D$ のとりうる値は

D = 1, - 1

である。

$- 4 \leq a, b, c, d \leq 4$ の整数をすべて走査し、 $- 3 \leq q_{1}, q_{2} \leq 3$ の整数ベクトルすべてで $r, s$ が整数になるものを集めると、 $D$ は $- 1$ と $1$ しか現れなかった。

「 $r, s$ が整数として存在する」を使うには、まず $r, s$ が一意に決まることを言う必要がある。(2) の $v, w$ がその役目を果たす。

$q = (1, 0)$ と $(0, 1)$ の2つだけで $a, b, c, d$ すべてが $D$ で割り切れると分かる。すべての $q$ を相手にしなくてよい。

$D = \pm 1$ が十分条件でもあることを示さないと「とりうる値」として確定しない。逆向きを忘れない。

第3問だけのページ

第4問　微分法

関数方程式・加法定理・微分可能性・指数関数と三角関数当サイトの体感難易度：難

(1)条件 (A), (B), (C) から $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ となることを示す

答(B) で $x = y = 0$ とすると $g (0) {1 - 2 f (0)} = 0$ 、 $f (0) = \frac{1}{2}$ は (A) に反するので $g (0) = 0$ 、すると (A) から $f (0) = 1$

(A) と (B) に $x = y = 0$ を代入する。(B) のほうが因数分解しやすく、 $g (0) = 0$ か $f (0) = \frac{1}{2}$ の2択になる。後者を (A) で潰す。

$x = y = 0$ を代入する。(A) から

f (0) = f (0)^{2} - g (0)^{2} \dots ①

(B) から

g (0) = 2 f (0) g (0) ⟺ g (0) {1 - 2 f (0)} = 0

である。よって $g (0) = 0$ または $f (0) = \frac{1}{2}$ である。

$f (0) = \frac{1}{2}$ は起こらない。 これを ① に入れると

\frac{1}{2} = \frac{1}{4} - g (0)^{2} ⟹ g (0)^{2} = - \frac{1}{4}

となるが、 $g$ は実数値関数なので $g (0)^{2} \geq 0$ であり、矛盾する。

よって $g (0) = 0$ 。 ① に入れると $f (0) = f (0)^{2}$ 、すなわち $f (0) {f (0) - 1} = 0$ である。(C) より $f (0) \neq = 0$ だから

f (0) = 1, g (0) = 0

である。

$f (x) = e^{a x} cos b x$ 、 $g (x) = e^{a x} sin b x$ では $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ で、確かに条件どおりだった。

$f (0) = \frac{1}{2}$ を切るのに「実数値関数」であることを使う。問題文に書いてある条件なので、根拠として挙げておく。

(2) $f (x)$ がすべての $x$ で微分可能で $f^{'} (x) = - g (x)$ となることを示す

答 $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f (x) \cdot \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} - g (x) \cdot \frac{g ( h ) - g ( 0 )}{h} \to - g (x)$

加法定理 (A) を使って $f (x + h) - f (x)$ を「 $x$ の関数」 $\times$ 「 $h$ だけの差分商」の形に直す。(1) で $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ が分かっているので、 $x = 0$ での微分可能性（条件 (D)）だけで極限が出る。

(A) より $f (x + h) = f (x) f (h) - g (x) g (h)$ なので

f (x + h) - f (x) = f (x) {f (h) - 1} - g (x) g (h) = f (x) {f (h) - f (0)} - g (x) {g (h) - g (0)}

である（(1) の $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ を使った）。両辺を $h (\neq = 0)$ で割ると

\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f (x) \cdot \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} - g (x) \cdot \frac{g ( h ) - g ( 0 )}{h}

となる。条件 (D) より $f, g$ は $x = 0$ で微分可能で $f^{'} (0) = 0$ 、 $g^{'} (0) = 1$ だから、 $h \to 0$ のとき右辺の2つの差分商はそれぞれ $f^{'} (0) = 0$ 、 $g^{'} (0) = 1$ に収束する。よって

h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f (x) \cdot 0 - g (x) \cdot 1 = - g (x)

である。極限が存在したので $f$ はすべての $x$ で微分可能で、 $f^{'} (x) = - g (x)$ である。

まったく同じやり方を (B) に施すと $g^{'} (x) = f (x)$ が出る。(3) ではこちらも使う。

$f (x) = cos x$ 、 $g (x) = sin x$ では $f^{'} (x) = - sin x = - g (x)$ で、確かに成り立つ。

「 $x = 0$ でしか微分可能と仮定されていない」のがこの問題の肝である。加法定理で $h$ を $0$ のそばに追い出すのが要点。

$f (h) - 1$ を $f (h) - f (0)$ と書き直すところで (1) を使う。ここを飛ばすと差分商の形にならない。

「極限が存在するから微分可能」と、微分可能性のほうを結論として書く。先に $f^{'} (x)$ があると仮定しない。

(3) ${f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = 1$ となることを示す

答実部 $u = f cos x + g sin x$ 、虚部 $v = g cos x - f sin x$ はともに導関数が $0$ で、 $u (0) = 1$ 、 $v (0) = 0$

左辺を展開して実部と虚部に分け、それぞれを微分する。(2) の $f^{'} = - g$ 、 $g^{'} = f$ を使うと、どちらも $0$ になって定数だと分かる。あとは $x = 0$ の値を見るだけ。

左辺を展開すると

{f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = u (x) + i v (x)

ただし

u (x) = f (x) cos x + g (x) sin x, v (x) = g (x) cos x - f (x) sin x

である。

$u, v$ は定数。 (2) より $f^{'} = - g$ 、 $g^{'} = f$ （同じ議論を (B) に施して得られる）だから

u^{'} (x) = f^{'} cos x - f sin x + g^{'} sin x + g cos x = - g cos x - f sin x + f sin x + g cos x = 0

v^{'} (x) = g^{'} cos x - g sin x - f^{'} sin x - f cos x = f cos x - g sin x + g sin x - f cos x = 0

である。導関数が恒等的に $0$ なので $u, v$ はともに定数関数である。

値を決める。 (1) より $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ だから

u (0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1, v (0) = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 0

である。よって $u (x) \equiv 1$ 、 $v (x) \equiv 0$ 、すなわち

{f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = 1

である。

この等式から $f (x) + i g (x) = \frac{1}{cos x - i sin x} = cos x + i sin x$ となり、実部・虚部を比べて $f (x) = cos x$ 、 $g (x) = sin x$ が出る。

$f = cos x$ 、 $g = sin x$ とすると $u = cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ 、 $v = sin x cos x - cos x sin x = 0$ で、確かに $1$ になる。

複素数のまま微分するのではなく、実部 $u$ と虚部 $v$ に分けてから実関数として微分する。高校の範囲で書くならこの形がよい。

$g^{'} (x) = f (x)$ は (2) の文面には出てこないが、同じ議論で得られる。使う前にひとこと断る。

$∣ cos x - i sin x ∣ = 1$ なので $cos x - i sin x$ は決して $0$ にならない。割り算してよい。

(4) $p (x) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b})$ 、 $q (x) = e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})$ が (B), (D) をみたすことを示し、 $f (x)$ 、 $g (x)$ を求める

答 $f (x) = e^{a x} cos b x$ 、 $g (x) = e^{a x} sin b x$

(B) の確認は、指数の部分が $e^{- \frac{a}{b} x} e^{- \frac{a}{b} y} = e^{- \frac{a}{b} (x + y)}$ ときれいに揃うので、 $f, g$ の (B) をそのまま使える。(D) は積の微分で $x = 0$ の値を計算するだけ。あとは前半の結論 $p = cos$ 、 $q = sin$ を逆に解く。

(B) の確認。 右辺を計算すると

p (x) q (y) + q (x) p (y) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}) e^{- \frac{a}{b} y} g (\frac{y}{b}) + e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b}) e^{- \frac{a}{b} y} f (\frac{y}{b}) = e^{- \frac{a}{b} (x + y)} {f (\frac{x}{b}) g (\frac{y}{b}) + g (\frac{x}{b}) f (\frac{y}{b})} = e^{- \frac{a}{b} (x + y)} g (\frac{x}{b} + \frac{y}{b}) = e^{- \frac{a}{b} (x + y)} g (\frac{x + y}{b}) = q (x + y)

である（3行目で $f, g$ の条件 (B) を使った）。よって $p, q$ は (B) をみたす。

(D) の確認。 $f, g$ は $x = 0$ で微分可能なので、積と合成の微分より $p, q$ も $x = 0$ で微分可能で

p^{'} (x) = - \frac{a}{b} e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}) + \frac{1}{b} e^{- \frac{a}{b} x} f^{'} (\frac{x}{b})

である。 $x = 0$ を代入し、 $f (0) = 1$ 、 $f^{'} (0) = a$ （条件 (D) $^{'}$ ）を使うと

p^{'} (0) = - \frac{a}{b} \cdot 1 + \frac{1}{b} \cdot a = 0

となる。同様に $g (0) = 0$ 、 $g^{'} (0) = b$ より

q^{'} (0) = - \frac{a}{b} \cdot 0 + \frac{1}{b} \cdot b = 1

である。よって $p, q$ は (D) をみたす。

$f, g$ を求める。 前半の結論より $p (x) = cos x$ 、 $q (x) = sin x$ である。定義式に戻して

e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}) = cos x ⟹ f (\frac{x}{b}) = e^{\frac{a}{b} x} cos x

である。 $t = \frac{x}{b}$ 、すなわち $x = b t$ とおくと

f (t) = e^{a t} cos b t

となる。同様に

g (t) = e^{a t} sin b t

である。つまり空欄は

ア = e^{a x} cos b x, イ = e^{a x} sin b x

である。

$b \neq = 0$ という仮定は、 $\frac{x}{b}$ と $\frac{a}{b}$ を作るために必要である。 $b = 0$ だと $g^{'} (0) = 0$ となり、 $g \equiv 0$ 、 $f (x) = e^{a x}$ という別の形になる。

$f (x) = e^{a x} cos b x$ 、 $g (x) = e^{a x} sin b x$ について、 $a, b, x, y$ をランダムに $2$ 万組とって (A), (B) を確かめるとすべて成立した。数値微分でも $f^{'} (0) = a$ 、 $g^{'} (0) = b$ になった。

$p, q$ が (B) をみたす計算では、 $e^{- \frac{a}{b} x} e^{- \frac{a}{b} y}$ が $e^{- \frac{a}{b} (x + y)}$ にまとまることが要点である。指数の肩が $x + y$ で揃うから加法定理がそのまま移る。

$p^{'} (0)$ の計算で $f^{'} (\frac{x}{b})$ の係数 $\frac{1}{b}$ （合成関数の微分）を落とさない。

最後に $t = \frac{x}{b}$ で変数を戻す。 $f (\frac{x}{b})$ のままでは答えにならない。

第4問だけのページ

第5問　積分法

媒介変数表示・接線・面積・単調性当サイトの体感難易度：やや難

(1)曲線 $C$ に接する直線のうち $y$ 軸と平行なものがいくつあるかを求める

答2つ

$y$ 軸に平行な接線をもつのは $\frac{d x}{d t} = 0$ かつ $\frac{d y}{d t} \neq = 0$ のところである。 $\frac{d x}{d t} = 1 + 2 sin 2 t$ なので $sin 2 t = - \frac{1}{2}$ を解く。

$x = t + 2 sin^{2} t = t + 1 - cos 2 t$ なので

\frac{d x}{d t} = 1 + 2 sin 2 t, \frac{d y}{d t} = 1 + cos t

である。 $0 < t < π$ では $cos t > - 1$ なので $\frac{d y}{d t} > 0$ 、つまり $\frac{d y}{d t}$ は決して $0$ にならない。

$\frac{d x}{d t} = 0$ を解く。 $sin 2 t = - \frac{1}{2}$ で、 $0 < t < π$ より $0 < 2 t < 2 π$ だから

2 t = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} ⟹ t = \frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}

の2つである。どちらでも $\frac{d y}{d t} > 0$ なので、接線は $y$ 軸に平行になる。

異なる直線か。 2つの $t$ での $x$ 座標を比べる。 $x = t + 1 - cos 2 t$ で $cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}$ 、 $cos \frac{11 π}{6} = \frac{3}{2}$ だから

x = \frac{7 π}{12} + 1 + \frac{3}{2} (= 3.6986), x = \frac{11 π}{12} + 1 - \frac{3}{2} (= 3.0138)

と異なる。よって求める直線は2つである。

$t = \frac{7 π}{12} = 1.832596$ 、 $\frac{11 π}{12} = 2.879793$ で $\frac{d x}{d t} = 0$ になり、 $x$ はそれぞれ $3.698621$ 、 $3.013768$ と異なった。

$\frac{d y}{d t} \neq = 0$ も確かめる。両方 $0$ だと接線の向きが決まらない。

$0 < t < π$ を $0 < 2 t < 2 π$ に直してから $sin 2 t = - \frac{1}{2}$ を解く。 $2 t$ の範囲を $(0, π)$ のままにすると解を落とす。

「 $t$ が2つ」で終わらせず、 $x$ 座標が異なる（＝直線が2本ある）ことを確かめる。

(2) $C$ のうち $y \leq x$ にある部分と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を求める

答 $\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}$

$\frac{d y}{d t} = 1 + cos t > 0$ なので $y$ は $t$ の増加関数、つまり $C$ は「 $x$ を $y$ の関数として表したグラフ」である。だから面積は $\int (x - y) d y$ でよい。

$y \leq x$ となる $t$ の範囲。 $x - y = 2 sin^{2} t - sin t = sin t (2 sin t - 1)$ で、 $0 < t < π$ では $sin t > 0$ だから

x - y \geq 0 ⟺ sin t \geq \frac{1}{2} ⟺ \frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

である。両端 $t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ では $x = y$ となり、 $C$ は直線 $y = x$ 上にある。

$x$ は $y$ の関数。 $\frac{d y}{d t} = 1 + cos t > 0$ なので、 $y$ は $t$ について狭義増加である。したがって $C$ 上の点は $y$ の値で一意に決まり、 $x$ を $y$ の関数とみてよい（ $x$ のほうは (1) で見たとおり増減するが、面積計算には関係しない）。

面積。 同じ $y$ に対する「曲線の $x$ 」と「直線の $x (= y)$ 」の差を $y$ で積分すればよい。 $d y = (1 + cos t) d t$ だから

S = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (2 sin^{2} t - sin t) (1 + cos t) d t

である。展開すると

(2 sin^{2} t - sin t) (1 + cos t) = 2 sin^{2} t - sin t + 2 sin^{2} t cos t - sin t cos t

で、4つの項を順に積分する。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} 2 sin^{2} t d t = [t - \frac{1}{2} sin 2 t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} = (\frac{5 π}{6} + \frac{3}{4}) - (\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) = \frac{2 π}{3} + \frac{3}{2}$
$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (- sin t) d t = [cos t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} = - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = - 3$
$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} 2 sin^{2} t cos t d t = [\frac{2}{3} sin^{3} t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} = \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = 0$
$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (- sin t cos t) d t = [\frac{1}{4} cos 2 t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0$

足し合わせて

S = \frac{2 π}{3} + \frac{3}{2} - 3 = \frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}

である（ $1.2284$ ほど）。

曲線

C

（

0 < t < π

）と直線

y = x

。

t = \frac{π}{6}

と

t = \frac{5 π}{6}

で交わり、その間で

C

は直線の右側（

y \leq x

）にある。

t = \frac{7 π}{12}

付近で

x

がいったん最大になり、曲線が折り返しているのが (1) の2本の鉛直接線にあたる。

$\int_{π /6}^{5 π /6} (x - y) (1 + cos t) d t$ を $200$ 万点のシンプソン法で計算すると $1.2283696986$ となり、 $\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2} = 1.2283696986$ と一致した。

$x$ は単調でない（(1) で見たとおり折り返す）が、 $y$ は単調増加である。だから「 $y$ で積分する」ほうを選ぶ。 $x$ で積分しようとすると場合分けが要る。

$y \leq x$ の範囲は $sin t \geq \frac{1}{2}$ 、つまり $\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}$ である。 $sin t \leq \frac{1}{2}$ と向きを取り違えない。

$d y = (1 + cos t) d t$ を掛け忘れない。 $\int (x - y) d t$ ではない。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる九大理系数学 2027

九大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・140ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)4次方程式 x4−2x3+3x2−2x+1=0 を解く

(2)(α−β)4+(β−γ)4+(γ−α)4=0 のとき △ABC がどのような三角形かを答える

(1)α≤1 のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(2)α>2 のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(3)1<α<23​ のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(4)23​≤α<2 のとき数列 {an​} の収束・発散を調べる

(1)条件 I がすべての q​ に対して成り立つとき D=0 であることを示す

(2)m⋅v=n⋅w=1、m⋅w=n⋅v=0 をみたす v,w を求める

(3)a,b,c,d が整数で、成分が整数のすべての q​ に対して条件 II が成り立つとき、D のとりうる値をすべて求める

(1)条件 (A), (B), (C) から f(0)=1、g(0)=0 となることを示す

(2)f(x) がすべての x で微分可能で f′(x)=−g(x) となることを示す

(3){f(x)+ig(x)}(cosx−isinx)=1 となることを示す

(4)p(x)=e−ba​xf(bx​)、q(x)=e−ba​xg(bx​) が (B), (D) をみたすことを示し、f(x)、g(x) を求める

(1)曲線 C に接する直線のうち y 軸と平行なものがいくつあるかを求める

(2)C のうち y≤x にある部分と直線 y=x で囲まれた図形の面積を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)4次方程式 $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ を解く

(2) $(α - β)^{4} + (β - γ)^{4} + (γ - α)^{4} = 0$ のとき $△ ABC$ がどのような三角形かを答える

(1) $α \leq 1$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

(2) $α > 2$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

(3) $1 < α < \frac{3}{2}$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

(4) $\frac{3}{2} \leq α < 2$ のとき数列 ${a_{n}}$ の収束・発散を調べる

(1)条件 I がすべての $q$ に対して成り立つとき $D \neq = 0$ であることを示す

(2) $m \cdot v = n \cdot w = 1$ 、 $m \cdot w = n \cdot v = 0$ をみたす $v, w$ を求める

(3) $a, b, c, d$ が整数で、成分が整数のすべての $q$ に対して条件 II が成り立つとき、 $D$ のとりうる値をすべて求める

(1)条件 (A), (B), (C) から $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ となることを示す

(2) $f (x)$ がすべての $x$ で微分可能で $f^{'} (x) = - g (x)$ となることを示す

(3) ${f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = 1$ となることを示す

(4) $p (x) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b})$ 、 $q (x) = e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})$ が (B), (D) をみたすことを示し、 $f (x)$ 、 $g (x)$ を求める

(1)曲線 $C$ に接する直線のうち $y$ 軸と平行なものがいくつあるかを求める

(2) $C$ のうち $y \leq x$ にある部分と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を求める