第1問複素数平面の解答・解説

相反方程式・対称式・基本対称式・正三角形条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)4次方程式 $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ を解く

答 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ （どちらも重解）

係数が $1, - 2, 3, - 2, 1$ と左右対称（相反方程式）なので、 $x^{2}$ で割って $t = x + \frac{1}{x}$ とおく。

$x = 0$ は解でない（代入すると $1 = 0$ ）ので、両辺を $x^{2}$ で割ってよい。

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 (x + \frac{1}{x}) + 3 = 0

$t = x + \frac{1}{x}$ とおくと $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ だから

t^{2} - 2 - 2 t + 3 = 0 ⟺ (t - 1)^{2} = 0

すなわち $t = 1$ （重解）である。

$x$ に戻す。 $x + \frac{1}{x} = 1$ より

x^{2} - x + 1 = 0, x = \frac{1 \pm 3 i}{2}

である。 $t$ が重解だったので、もとの4次式は $(x^{2} - x + 1)^{2}$ に等しく、この2つがそれぞれ重解である。

$x = \frac{1 \pm 3 i}{2} = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3})$ で、 $1$ の原始6乗根である。

$x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ を4次式に代入すると $0$ 、導関数 $4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2$ に代入しても $0$ になり、重解であることが確かめられる。

相反方程式では $x = 0$ が解でないことを先に断ってから $x^{2}$ で割る。

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$ の $- 2$ を忘れない。

$t = 1$ が重解なので、 $x$ の4つの解は2種類が2個ずつである。「4つの異なる解」と書かない。

(2) $(α - β)^{4} + (β - γ)^{4} + (γ - α)^{4} = 0$ のとき $△ ABC$ がどのような三角形かを答える

答正三角形

$p = α - β$ 、 $q = β - γ$ 、 $r = γ - α$ とおくと $p + q + r = 0$ である。このとき $p^{4} + q^{4} + r^{4} = \frac{( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ^{2}}{2}$ という恒等式が成り立つので、条件は $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 0$ に帰着する。

$p = α - β$ 、 $q = β - γ$ 、 $r = γ - α$ とおくと $p + q + r = 0$ である。基本対称式を

e_{1} = p + q + r = 0, e_{2} = pq + q r + r p, e_{3} = pq r

とおく。

2乗和と4乗和。 $e_{1} = 0$ なので

p^{2} + q^{2} + r^{2} = e_{1}^{2} - 2 e_{2} = - 2 e_{2}

である。また

p^{4} + q^{4} + r^{4} = (p^{2} + q^{2} + r^{2})^{2} - 2 (p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2}) = 4 e_{2}^{2} - 2 (e_{2}^{2} - 2 e_{3} e_{1}) = 4 e_{2}^{2} - 2 e_{2}^{2} = 2 e_{2}^{2}

である（ $p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2} = e_{2}^{2} - 2 e_{3} e_{1}$ で $e_{1} = 0$ ）。まとめると

p^{4} + q^{4} + r^{4} = 2 e_{2}^{2} = \frac{( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ^{2}}{2}

である。

条件を書き直す。 与式 $= 0$ は $2 e_{2}^{2} = 0$ 、すなわち $e_{2} = 0$ と同値である。 $e_{1} = e_{2} = 0$ だから $p, q, r$ は3次方程式

z^{3} - e_{3} = 0

の3つの解である。 $△ ABC$ は三角形なので $p \neq = 0$ 、したがって $e_{3} \neq = 0$ である。

$z^{3} = e_{3}$ の3解は、1つを $z_{0}$ とすると $z_{0}, ω z_{0}, ω^{2} z_{0}$ （ $ω = cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}$ ）である。したがって

∣ p ∣ = ∣ q ∣ = ∣ r ∣

すなわち $AB = BC = CA$ で、 $△ ABC$ は正三角形である。

逆に正三角形なら $q = ω p$ 、 $r = ω^{2} p$ （または $ω$ と $ω^{2}$ を入れ替え）と書けて、 $e_{2} = p^{2} (ω + ω^{3} + ω^{2}) = p^{2} (ω + ω^{2} + 1) = 0$ だから与式は $0$ になる。

$p + q + r = 0$ となる複素数を $2$ 万組ランダムにとると、つねに $p^{4} + q^{4} + r^{4} = \frac{( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ^{2}}{2}$ だった。頂点 $0, 1, \frac{1 + 3 i}{2}$ （正三角形）では与式が $0$ 、 $0, 1, i$ （直角二等辺）では $2$ 、 $0, 2, 0.3 + 1.1 i$ では $15.14$ になった。