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神戸大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理科系

神戸大理系 2025年度数学第1問（微分積分・関数）の解答・解説

神戸大学（神戸大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理科系入試の数学第1問（分野：微分積分・関数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「絶対値つき3次関数のグラフ・定点を通る直線・2次関数との接線条件・共有点の個数」を扱います。

出題テーマ：絶対値つき3次関数のグラフ・定点を通る直線・2次関数との接線条件・共有点の個数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (x) = x^{3} - x$ で表される曲線 $C : y = f (x)$ の概形をかく（極大値は調べなくてよい）

答 $x < - 1, 0 ≦ x ≦ 1$ では $y = - x^{3} + x$ 、 $- 1 ≦ x ≦ 0, x > 1$ では $y = x^{3} - x$ （ $x = - 1, 0, 1$ で $x$ 軸と交わる）

$x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ の符号が $- 1, 0, 1$ を境に交互に変わることを使い、 $x^{3} - x < 0$ の区間を $x$ 軸に関して折り返す。

$x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1)$ であるから、符号で場合分けすると

f (x) = {- x^{3} + x x^{3} - x (x < - 1, 0 ≦ x ≦ 1) (- 1 ≦ x ≦ 0, x > 1)

である。 $(x^{3} - x)^{'} = 3 x^{2} - 1$ より、もとの3次関数 $y = x^{3} - x$ は $x = - \frac{1}{3}$ で極大、 $x = \frac{1}{3}$ で極小をとり、 $x = - 1, 0, 1$ で $x$ 軸と交わる。その負の部分（ $x < - 1$ および $0 < x < 1$ ）を $x$ 軸に関して上側へ折り返したものが曲線 $C$ である。

曲線

C : y = ∣ x^{3} - x ∣

と、4つの共有点をもつ直線

ℓ : y = \frac{1}{4} (x + 1)

。直線

ℓ

は

(- 1, 0)

を通り、

x = 1/2

でアーチ

y = - x^{3} + x

に接する。

$f (- 1) = f (0) = f (1) = 0$ であり、すべての $x$ で $f (x) ≧ 0$ となっている。

(2)曲線 $C : y = x^{3} - x$ と直線 $ℓ : y = k (x + 1)$ がちょうど4つの共有点をもつような実数 $k$ の値を求める

答 $k = \frac{1}{4}$

$(- 1, 0)$ はつねに共有点である。 $x \neq = - 1$ では両辺を $x + 1$ で割ることで、放物線 $u = x (x - 1)$ や $u = - x (x - 1)$ と水平線 $u = k$ の共有点数に帰着させる。

方程式 $x^{3} - x = k (x + 1)$ において、 $x = - 1$ は任意の $k$ に対してつねに解である。したがって、 $x \neq = - 1$ の範囲でちょうど3つの実数解をもつような $k$ を求めればよい。

$x \neq = - 1$ のとき、 $x^{3} - x = ∣ x (x - 1) ∣ ∣ x + 1 ∣$ だから、 $x + 1$ で割ると：

$x < - 1$ のとき： $∣ x + 1 ∣ = - (x + 1)$ 、かつ $x (x - 1) > 2 > 0$ だから、方程式は $- x (x - 1) = k$ となる。 $x < - 1$ で $- x (x - 1)$ は $- \infty$ から $- 2$ まで単調に増加するから、解の個数は $k < - 2$ で1個、 $k ≧ - 2$ で0個である。
$x > - 1$ のとき： $∣ x + 1 ∣ = x + 1 > 0$ だから、方程式は $∣ x (x - 1) ∣ = k$ となる。

ここで $x > - 1$ における関数 $h (x) = ∣ x (x - 1) ∣$ のグラフを考えると

h (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - x = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} - x^{2} + x = - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} (- 1 < x ≦ 0, x ≧ 1) (0 < x < 1)

である。 $x > - 1$ において $h (x)$ は：

$- 1 < x ≦ 0$ で $2$ （左端は白丸）から $0$ まで単調減少
$0 ≦ x ≦ 1$ で $x = \frac{1}{2}$ の極大値 $\frac{1}{4}$ を頂点とする上に凸の放物線弧（両端 $0$ ）
$x ≧ 1$ で $0$ から $+ \infty$ まで単調増加

となる。よって $x \neq = - 1$ における実数解の個数は

$k < - 2$ ： $x < - 1$ に1個、 $x > - 1$ に0個で計1個
$- 2 ≦ k < 0$ ：0個
$k = 0$ ： $x = 0, 1$ の2個
$0 < k < \frac{1}{4}$ ：4個
$k = \frac{1}{4}$ ： $- 1 < x < 0$ に1個、 $x = \frac{1}{2}$ （接点）の1個、 $x > 1$ に1個で計3個
$\frac{1}{4} < k < 2$ ：2個
$k ≧ 2$ ：1個

$x = - 1$ の1個と合わせて共有点がちょうど4個となるのは、 $x \neq = - 1$ で3個となる

k = \frac{1}{4}

のときである。

$k = \frac{1}{4}$ のとき $x^{2} - x = \frac{1}{4} ⟺ x = \frac{1 \pm 2}{2}$ （ともに $> - 1$ ）、 $- x^{2} + x = \frac{1}{4} ⟺ x = \frac{1}{2}$ （重解）で、 $x = - 1$ と合わせて確かに4個。

$x + 1$ で割るときに $x < - 1$ では $∣ x + 1∣ = - (x + 1)$ となって符号が反転する点に注意する。また $x = - 1$ での接線の傾き $k = 2$ では $x = - 1$ が重解になるため共有点は2個しかなく、4個にはならない。

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