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電気通信大学　2022年度　前期日程　情報理工学域

第1問三角関数・積分の解答・解説

3倍角と2倍角の公式・cos x の整式に直す・共有点の個数・三角関数の定積分当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(i) $∣ a ∣ < 1$ 、 $π < x < 2 π$ で $f (x) = cos 3 x - (2 a + 1) cos 2 x + (2 a + 3) cos x - (2 a + 1)$ とする。 $f (\frac{4 π}{3})$ を $a$ で表す

答 $f (\frac{4 π}{3}) = - (2 a + 1)$

$cos 4 π = 1$ 、 $cos \frac{8 π}{3} = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ 、 $cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}$ を代入する。

f (\frac{4 π}{3}) = 1 - (2 a + 1) (- \frac{1}{2}) + (2 a + 3) (- \frac{1}{2}) - (2 a + 1)

である。真ん中の2項をまとめると

\frac{( 2 a + 1 ) - ( 2 a + 3 )}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1

なので

f (\frac{4 π}{3}) = 1 - 1 - (2 a + 1) = - (2 a + 1)

である。

$a = - 0.8, 0, 0.3, 0.5, 0.9$ で直接計算すると $- (2 a + 1)$ と一致した。

(ii) $t = cos x$ とおくとき、 $f (x)$ を $t$ の整式で表す

答 $f = 2 t (2 t - 1) (t - a)$

$cos 3 x = 4 t^{3} - 3 t$ 、 $cos 2 x = 2 t^{2} - 1$ を入れる。定数項がきれいに消える。

f = 4 t^{3} - 3 t - (2 a + 1) (2 t^{2} - 1) + (2 a + 3) t - (2 a + 1)

である。 $- (2 a + 1) (2 t^{2} - 1) = - 2 (2 a + 1) t^{2} + (2 a + 1)$ なので、定数項は $(2 a + 1) - (2 a + 1) = 0$ で消える。 $t$ の項は $- 3 t + (2 a + 3) t = 2 a t$ である。よって

f = 4 t^{3} - 2 (2 a + 1) t^{2} + 2 a t = 2 t {2 t^{2} - (2 a + 1) t + a}

で、中かっこは $(2 t - 1) (t - a)$ と因数分解できる。したがって

f = 2 t (2 t - 1) (t - a)

である。

(i) の値もここから出る。 $x = \frac{4 π}{3}$ では $t = - \frac{1}{2}$ なので $2 (- \frac{1}{2}) (- 2) (- \frac{1}{2} - a) = - (2 a + 1)$ となる。

$π ≦ x ≦ 2 π$ の $1001$ 点で、もとの式とこの積の差が $1 0^{- 15}$ 以下だった。

(iii)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸の共有点の個数が $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求める

答 $a = 0, \frac{1}{2}$

$π < x < 2 π$ では $t = cos x$ が $(- 1, 1)$ と1対1に対応する。 $t$ の解 $0, \frac{1}{2}, a$ が何個に重なるかを見る。

$cos x$ は $π < x < 2 π$ で $- 1$ から $1$ まで増加するので、 $x$ と $t$ は1対1に対応する。したがって共有点の個数は、 $- 1 < t < 1$ における

2 t (2 t - 1) (t - a) = 0

の相異なる解の個数に等しい。解は $t = 0, \frac{1}{2}, a$ で、 $∣ a ∣ < 1$ よりどれも $- 1 < t < 1$ に入る。

この3つが相異なれば $3$ 個、どれか2つが一致すれば $2$ 個である。一致するのは $a = 0$ または $a = \frac{1}{2}$ のときだけである（ $0 \neq = \frac{1}{2}$ なので3つが同時に一致することはない）。よって

a = 0, a = \frac{1}{2}

である。

$a = 0$ なら $f = 2 t^{2} (2 t - 1)$ 、 $a = \frac{1}{2}$ なら $f = t (2 t - 1)^{2}$ で、重解のところでは曲線が $x$ 軸に接する。「共有点の個数」なので接する点も $1$ 個と数える。

$a = - 0.8, 0, 0.25, 0.5, 0.9$ で相異なる $t$ の解を数えると $3, 2, 3, 2, 3$ 個だった。

$cos x$ が1対1になるのは、区間が $π < x < 2 π$ だから。 $0 < x < 2 π$ なら1つの $t$ に $x$ が2つ対応する。

(iv) $a$ を (iii) で求めた値のうち最大のものとする。 $f (x)$ が $x = β$ で極大になるとき $cos β$ の値を求める

答 $cos β = \frac{1}{6}$

$a = \frac{1}{2}$ で $f = 4 t (t - \frac{1}{2})^{2}$ 。 $t$ が $x$ の増加関数なので、 $t$ の関数として極大を探せばよい。

(iii) の最大のほうは $a = \frac{1}{2}$ で、このとき

f = 2 t (2 t - 1) (t - \frac{1}{2}) = 4 t (t - \frac{1}{2})^{2} = 4 t^{3} - 4 t^{2} + t

である。 $F (t) = 4 t^{3} - 4 t^{2} + t$ とおくと

F^{'} (t) = 12 t^{2} - 8 t + 1 = (6 t - 1) (2 t - 1)

で、 $t = \frac{1}{6}$ で極大、 $t = \frac{1}{2}$ で極小である。 $π < x < 2 π$ では $t = cos x$ が増加するので、 $f$ が $x$ について極大になるのは $F$ が $t$ について極大になるところ、つまり

cos β = \frac{1}{6}

のときである。

$t$ が $x$ の増加関数なので、極大・極小の種類はそのまま移る。減少関数なら入れかわるので、向きの確認は要る。

導関数の符号を追うと、極大は $x = 4.8798409$ でそこでの $cos x$ は $0.1666705$ （ $\frac{1}{6} = 0.1666667$ ）だった。

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{22 - 2 π - 9 3}{6}$

$f = 0$ は $t = 0$ （ $x = \frac{3 π}{2}$ ）と $t = \frac{1}{2}$ （ $x = \frac{5 π}{3}$ ）。囲まれるのはこの間だけ。

$a = \frac{1}{2}$ では $f = 4 t (t - \frac{1}{2})^{2}$ なので、 $t < 0$ で $f < 0$ 、 $t > 0$ で $f ≧ 0$ （ $t = \frac{1}{2}$ で $0$ ）である。 $x$ でいうと $f = 0$ は

t = 0 ⟺ x = \frac{3 π}{2}, t = \frac{1}{2} ⟺ x = \frac{5 π}{3}

である。区間 $π < x < 2 π$ は両端を含まないので、曲線と $x$ 軸で囲まれるのは $\frac{3 π}{2} ≦ x ≦ \frac{5 π}{3}$ の部分だけである。ここでは $f ≧ 0$ なので

S = \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{5 π}{3}} (4 cos^{3} x - 4 cos^{2} x + cos x) d x

である。 $cos^{3} x = (1 - sin^{2} x) cos x$ 、 $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ を使うと原始関数は

G (x) = 5 sin x - \frac{4}{3} sin^{3} x - 2 x - sin 2 x

である。 $x = \frac{5 π}{3}$ では $sin x = - \frac{3}{2}$ 、 $sin 2 x = sin \frac{10 π}{3} = - \frac{3}{2}$ なので

G (\frac{5 π}{3}) = - \frac{5 3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{10 π}{3} + \frac{3}{2} = - \frac{3 3}{2} - \frac{10 π}{3}

であり、 $x = \frac{3 π}{2}$ では $sin x = - 1$ 、 $sin 2 x = 0$ なので

G (\frac{3 π}{2}) = - 5 + \frac{4}{3} - 3 π = - \frac{11}{3} - 3 π

である。差をとると

S = - \frac{3 3}{2} - \frac{10 π}{3} + \frac{11}{3} + 3 π = \frac{11}{3} - \frac{π}{3} - \frac{3 3}{2} = \frac{22 - 2 π - 9 3}{6}

である（ $0.0214 \dots$ ）。

a = 1/2 のときの y = f(x)（π < x < 2π）。x = 3π/2 で x 軸と交わり、x = 5π/3 で x 軸に接する。この2点のあいだの細い部分が (v) の面積。

囲まれた部分の拡大図。縦だけを大きく引き伸ばしてある。左端 x = 3π/2 では交わり、右端 x = 5π/3 では接している。

数値積分すると $0.021392904$ で、 $\frac{22 - 2 π - 9 3}{6} = 0.021392904$ と一致した。

$t < 0$ （ $π < x < \frac{3 π}{2}$ ）でも $f < 0$ だが、 $x \to π$ で $f \to - 9$ のままなので、 $x$ 軸と囲む図形にはならない。右側も同じ。

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問題文について

(i)∣a∣<1、π<x<2π で f(x)=cos3x−(2a+1)cos2x+(2a+3)cosx−(2a+1) とする。f(34π​) を a で表す

(ii)t=cosx とおくとき、f(x) を t の整式で表す

(iii)曲線 y=f(x) と x 軸の共有点の個数が 2 個となるような a の値をすべて求める

(iv)a を (iii) で求めた値のうち最大のものとする。f(x) が x=β で極大になるとき cosβ の値を求める

(v)曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める

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(i) $∣ a ∣ < 1$ 、 $π < x < 2 π$ で $f (x) = cos 3 x - (2 a + 1) cos 2 x + (2 a + 3) cos x - (2 a + 1)$ とする。 $f (\frac{4 π}{3})$ を $a$ で表す

(ii) $t = cos x$ とおくとき、 $f (x)$ を $t$ の整式で表す

(iii)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸の共有点の個数が $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求める

(iv) $a$ を (iii) で求めた値のうち最大のものとする。 $f (x)$ が $x = β$ で極大になるとき $cos β$ の値を求める

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める