第2問 微分積分の解答・解説

である。$y^{\prime }=0$ は $x=e^{-2}$ で、$0<x<e^{-2}$ では $y^{\prime }<0$、$e^{-2}<x\leqq 1$ では $y^{\prime }>0$ である。よって最小は

である。端のようすは

である（$s=\sqrt{x}$ とおいた）。$\left(0,e^{-2}\right]$ で $0$ より小さい値から $-\frac{2}{e}$ まで、$\left[e^{-2},1\right]$ で $-\frac{2}{e}$ から $0$ まで連続に動き、$y=0$ は $x=1$ で実際にとる。したがって値域は

である。

$x>0$ では $f\left(x\right)=e^{-x\log x}$ である。

$x\to +0$。$0<x\leqq 1$ では (i) より $\left|\sqrt{x}\log x\right|\leqq \frac{2}{e}$ なので

である。よって $x\log x\to 0$、$f\to e^0=1$ である。

$x\to \infty$。$x\log x\to \infty$ なので $f=e^{-x\log x}\to 0$ である。

$f>0$ なので $\log f=-x\log x$ とおける。両辺を微分すると

である。これを $f^{\prime }=f\left(-1-\log x\right)$ と書いてもう一度微分すると

なので

である。

$f\left(x\right)>0$ なので、$f^{\prime }=f\left(-1-\log x\right)$ の符号は $-1-\log x$ の符号と同じである。これは $x<\frac{1}{e}$ で正、$x>\frac{1}{e}$ で負なので、$x=\frac{1}{e}$ で極大である。

が極大値である（$1.4446\dots$）。極小値はない。

(iii) より $f^{\prime }\left(x\right)=-\left(1+\log x\right)x^{-x}$ なので

である。

不等式の証明。$k$ を $n+1\leqq k\leqq m$ の整数とし、区間 $\left[k-1,k\right]$ を考える。

1. この区間では $x\geqq k-1\geqq n\geqq 1$ なので $1+\log x\geqq 1+\log n>0$
2. (iv) より $f\left(x\right)=x^{-x}$ は $x>\frac{1}{e}$ で減少し、$k-1\geqq 1>\frac{1}{e}$ だから、$k-1\leqq x<k$ で $x^{-x}>k^{-k}$

である。よって

である（被積分関数は連続で、区間の内部で真に大きいので不等号は真になる）。左辺は ${\left(k-1\right)}^{-\left(k-1\right)}-k^{-k}$ だから、$k=n+1$ から $m$ まで足すと左辺は途中が消えて

となる。$1+\log n>0$ で割れば

である。（証明終わり）

$\left(1+\log x\right)x^{-x}$ をそのまま積分できるのが (iii) のごほうび。${\int }_{k-1}^k$ の形にして足すと、望遠鏡のように中が消えて $n^{-n}-m^{-m}$ だけが残る。