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電気通信大学　2022年度　前期日程　情報理工学域

第3問数列・極限の解答・解説

分数形の漸化式・数学的帰納法・階差数列・積の極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i) $a_{1} = 12$ 、 $a_{n + 1} = \frac{( 3 ^{n + 1} + 1 ) a _{n} - 3 ^{n + 3}}{3 ^{n - 1} a _{n} - ( 3 ^{n + 1} - 1 )}$ のとき、 $a_{n} - 9 > 0$ を数学的帰納法で証明する

答 $a_{n + 1} - 9 = \frac{a _{n} - 9}{3 ^{n - 1} ( a _{n} - 9 ) + 1}$ となるので、 $a_{n} > 9$ なら $a_{n + 1} > 9$

$a_{n + 1} - 9$ を計算すると、分子が $a_{n} - 9$ だけになる。

$n = 1$ のとき $a_{1} - 9 = 3 > 0$ で成り立つ。

$n = k$ で成り立つとする（ $a_{k} > 9$ ）。

a_{k + 1} - 9 = \frac{( 3 ^{k + 1} + 1 ) a _{k} - 3 ^{k + 3} - 9 { 3 ^{k - 1} a _{k} - ( 3 ^{k + 1} - 1 ) }}{3 ^{k - 1} a _{k} - ( 3 ^{k + 1} - 1 )}

である。 $9 \cdot 3^{k - 1} = 3^{k + 1}$ 、 $9 \cdot 3^{k + 1} = 3^{k + 3}$ なので、分子は

(3^{k + 1} + 1 - 3^{k + 1}) a_{k} - 3^{k + 3} + 3^{k + 3} - 9 = a_{k} - 9

となる。また分母は

3^{k - 1} a_{k} - 3^{k + 1} + 1 = 3^{k - 1} (a_{k} - 9) + 1

で、 $a_{k} - 9 > 0$ より $1$ より大きい。したがって

a_{k + 1} - 9 = \frac{a _{k} - 9}{3 ^{k - 1} ( a _{k} - 9 ) + 1} > 0

である（分子も分母も正）。よって $n = k + 1$ でも成り立つ。帰納法によりすべての自然数 $n$ で $a_{n} - 9 > 0$ である。（証明終わり）

漸化式を分数のまま回すと、 $n = 1$ から $11$ まで $a_{n} > 9$ だった。

(ii) $b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 9}$ とするとき $b_{n + 1} - b_{n}$ を求める

答 $b_{n + 1} - b_{n} = 3^{n}$

(i) で出した $a_{n + 1} - 9$ の式の逆数をとる。

(i) より

b_{n + 1} = \frac{3}{a _{n + 1} - 9} = \frac{3 { 3 ^{n - 1} ( a _{n} - 9 ) + 1 }}{a _{n} - 9} = 3^{n} + \frac{3}{a _{n} - 9}

である（ $3 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n}$ ）。よって

b_{n + 1} - b_{n} = 3^{n}

である。

$n = 1$ から $10$ まで $b_{n + 1} - b_{n} = 3^{n}$ が分数のまま成り立った。

(iii) ${b_{n}}$ の一般項を求める

答 $b_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$

(ii) は階差。初項は $b_{1} = \frac{3}{12 - 9} = 1$ 。

$b_{1} = \frac{3}{a _{1} - 9} = \frac{3}{3} = 1$ である。(ii) より $n ≧ 2$ のとき

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 3^{k} = 1 + \frac{3 ( 3 ^{n - 1} - 1 )}{2} = \frac{2 + 3 ^{n} - 3}{2} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}

である。 $n = 1$ でも $\frac{3 - 1}{2} = 1$ となり成り立つ。

$n = 1$ から $11$ まで $b_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$ と一致した。

(iv) ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 9 + \frac{6}{3 ^{n} - 1}$

$b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 9}$ を $a_{n}$ について解く。

a_{n} = 9 + \frac{3}{b _{n}} = 9 + \frac{6}{3 ^{n} - 1}

である。 $n = 1$ では $9 + \frac{6}{2} = 12$ で初項と合う。

$a_{1}, \dots, a_{4} = 12, \frac{39}{4}, \frac{120}{13}, \frac{363}{40}$ が漸化式の値と一致した。

(v) $α = n \to \infty lim a_{n}$ と $β = n \to \infty lim \frac{a _{1} a _{2} a _{3} \dots a _{n}}{α ^{n}}$ を求める

答 $α = 9$ 、 $β = \frac{3}{2}$

$\frac{a _{k}}{9} = \frac{3 ^{k + 1} - 1}{3 ( 3 ^{k} - 1 )}$ と書くと、積が途中で消える形になる。

$3^{n} - 1 \to \infty$ なので

α = n \to \infty lim (9 + \frac{6}{3 ^{n} - 1}) = 9

である。次に

\frac{a _{k}}{9} = 1 + \frac{2}{3 ( 3 ^{k} - 1 )} = \frac{3 ( 3 ^{k} - 1 ) + 2}{3 ( 3 ^{k} - 1 )} = \frac{3 ^{k + 1} - 1}{3 ( 3 ^{k} - 1 )}

と書ける。 $k = 1$ から $n$ まで掛けると、分子と分母で同じ因子が次々に消えて

\frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{9 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n}} \cdot \frac{3 ^{n + 1} - 1}{3 ^{1} - 1} = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 \cdot 3 ^{n}}

である。したがって

β = n \to \infty lim \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 \cdot 3 ^{n}} = \frac{3}{2}

である。

$\frac{a _{k}}{9}$ を $\frac{c _{k + 1}}{3 c _{k}}$ （ $c_{k} = 3^{k} - 1$ ）の形に書けたのがかぎ。積の形の極限は、こうして「次の項との比」に直すと望遠鏡のように消える。

$\frac{a _{1} \dots a _{n}}{9 ^{n}}$ は $n = 1, 2, 5, 10$ で $\frac{4}{3}, \frac{13}{9}, 1.497942387, 1.499991532$ となり、 $\frac{3}{2}$ に近づいた。

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問題文について

(i)a1​=12、an+1​=3n−1an​−(3n+1−1)(3n+1+1)an​−3n+3​ のとき、an​−9>0 を数学的帰納法で証明する

(ii)bn​=an​−93​ とするとき bn+1​−bn​ を求める

(iii){bn​} の一般項を求める

(iv){an​} の一般項を求める

(v)α=n→∞lim​an​ と β=n→∞lim​αna1​a2​a3​⋯an​​ を求める