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電気通信大学　2022年度　前期日程　情報理工学域

第4問空間図形の解答・解説

辺に接する球・断面に現れる内接円・接線の長さ・球を平面で切った部分の体積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i)底面 $ABCD$ が1辺 $2$ の正方形、 $OA = OB = OC = OD$ 、 $OH = h$ の正四角錐 $O - ABCD$ について、 $OA$ を $h$ で表す。また8本の辺すべてに接する球 $S$ を平面 $OAB$ で切った断面の円の半径 $r (h)$ を $h$ で表す

答 $OA = h^{2} + 2$ 、 $r (h) = \frac{h ^{2} + 2 - 1}{h ^{2} + 1}$

断面の円は、3辺 $OA, OB, AB$ に接するので三角形 $OAB$ の内接円。

$H$ は正方形の中心なので $AH = 2$ である。 $OH ⊥ AH$ より

OA = h^{2} + (2)^{2} = h^{2} + 2

である。

球 $S$ は3辺 $OA, OB, AB$ に接していて、これらは平面 $OAB$ 内にある。球を平面で切った円は、その平面内の接線にはそのまま接するので、断面の円は三角形 $OAB$ の内接円である。

$AB$ の中点を $M^{'}$ とすると $OM^{'} ⊥ AB$ で、 $M^{'} H = 1$ だから $OM^{'} = h^{2} + 1$ である。よって

(△ OAB) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h^{2} + 1 = h^{2} + 1

であり、周の半分は

s = \frac{2 h ^{2} + 2 + 2}{2} = h^{2} + 2 + 1

である。内接円の半径は（面積）÷ $s$ なので

r (h) = \frac{h ^{2} + 1}{h ^{2} + 2 + 1} = \frac{h ^{2} + 2 - 1}{h ^{2} + 1}

である（分母を有理化した。 $(h^{2} + 2) - 1 = h^{2} + 1$ を使う）。

平面 OAB で切った断面（図は h = 1/2 のとき）。円は三角形 OAB の内接円で、P は AB との接点（AB の中点）、Q は OA との接点。

$h = 0.5, 1, 2, 3$ で、座標から求めた内接円の半径とこの式が一致した。

(ii)線分 $AP$ および線分 $AQ$ の長さを求める

答 $AP = AQ = 1$

内接円の接線の長さ。頂点 $A$ からの接線の長さは $s - OB$ 。

$P, Q$ は (i) の内接円と辺 $AB, OA$ の接点なので、 $AP = AQ$ （同じ点からの接線の長さ）である。内接円の接線の長さの公式より

AP = AQ = s - OB = (h^{2} + 2 + 1) - h^{2} + 2 = 1

である。 $h$ によらない。

$AP = 1 = \frac{AB}{2}$ なので、 $P$ は $AB$ の中点である。対称性からも分かる。

$h = \frac{1}{2}$ の座標で $P$ が $AB$ の中点、 $AQ = 1$ になった。

(iii)球 $S$ の半径 $R (h)$ を $h$ で表し、 $R (h)$ が最小となる $h$ の値 $h_{0}$ を求める

答 $R (h) = \frac{2 ( h ^{2} + 2 - 1 )}{h}$ 、 $h_{0} = 2$ （最小値 $1$ ）

対称性から中心 $K$ は直線 $OH$ 上。 $KP ⊥ AB$ と $KQ ⊥ OA$ から位置を決める。

$H$ を原点、底面を $z = 0$ として $A (1, 1, 0)$ 、 $B (- 1, 1, 0)$ 、 $O (0, 0, h)$ とおく。対称性から $K (0, 0, k)$ である。 $L = h^{2} + 2$ と書く。

(ii) より $AQ = 1$ なので $Q = A + \frac{1}{L} (O - A)$ である。 $KQ ⊥ AO$ から

- 2 (1 - \frac{1}{L}) + h (\frac{h}{L} - k) = 0, hk = \frac{h ^{2} + 2}{L} - 2 = L - 2

となり $k = \frac{L - 2}{h}$ である。 $P$ は $AB$ の中点 $(0, 1, 0)$ なので

R = KP = 1 + k^{2} = 1 + \frac{( L - 2 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}

である（ $h^{2} = L^{2} - 2$ ）。中身を通分すると

1 + \frac{L ^{2} - 4 L + 4}{L ^{2} - 2} = \frac{2 L ^{2} - 4 L + 2}{L ^{2} - 2} = \frac{2 ( L - 1 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}

なので

R (h) = \frac{2 ( L - 1 )}{h} = \frac{2 ( h ^{2} + 2 - 1 )}{h}

である。

最小。 $L = h^{2} + 2$ （ $L > 2$ ）を変数にとると $h^{2} = L^{2} - 2$ で

R^{2} = \frac{2 ( L - 1 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}, \frac{d}{d L} {\frac{( L - 1 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}} = \frac{2 ( L - 1 ) ( L - 2 )}{( L ^{2} - 2 ) ^{2}}

である。 $L > 2 > 1$ なので符号は $L - 2$ で決まり、 $L = 2$ で最小になる。 $L = 2$ は $h^{2} = 2$ 、つまり

h_{0} = 2

である。このとき $R = \frac{2 ( 2 - 1 )}{2} = 1$ 、 $k = \frac{2 - 2}{2} = 0$ なので、球の中心は底面の中心 $H$ に一致する。

$R (h)$ を $50$ 万点走査すると最小は $1.0000000$ で $h = 1.41421$ （ $2 = 1.4142136$ ）だった。

(iv)(ア) $R (h) = 2$ となる $h$ を求め、 $K$ から面 $OAB$ に下ろした垂線 $KM$ の長さを求める

答 $h = \frac{1}{2}$ 、 $KM = \frac{3 5}{5}$

$R = 2$ の式を解く。 $KM$ は $R^{2} = r^{2} + KM^{2}$ から。

$R (h) = 2$ は

h^{2} + 2 - 1 = h, h^{2} + 2 = h^{2} + 2 h + 1, h = \frac{1}{2}

である（ $h^{2} + 2 = h + 1 > 0$ も満たす）。 $R$ は $h = 2$ で最小値 $1$ をとり、 $h \to \infty$ で $2$ に下から近づくので、 $R = 2$ となるのはこの1つだけである。

$h = \frac{1}{2}$ のとき (i) より

r = \frac{\frac{1}{4} + 2 - 1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{5}{2}} = \frac{1}{5}

である。球を平面 $OAB$ で切った円の半径が $r$ 、中心からその平面までの距離が $KM$ だから

KM^{2} = R^{2} - r^{2} = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}, KM = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5}

である。

$KM = \frac{3}{5} = 1.3416 \dots < R = 2 = 1.4142 \dots$ なので、球は4つの側面からわずかにはみ出している。(イ) はそのはみ出した部分の体積を聞いている。

座標で $K = (0, 0, - 1)$ 、面 $OAB$ は $y + 2 z = 1$ となり、距離は $1.3416408 = \frac{3 5}{5}$ だった。

(iv)(イ)球 $S$ を平面 $ABCD$ で2つに分け、 $K$ を含まない方を $S^{'}$ とする。 $S^{'}$ のうち正四角錐 $O - ABCD$ に含まれない部分の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{4 ( 100 2 - 63 5 )}{75} π$

はみ出しているのは4つの側面のぶんだけ。1つぶんは球を平面で切った小さいほう（球冠）そのもの。

$h = \frac{1}{2}$ では $k = \frac{L - 2}{h} = \frac{\frac{3}{2} - 2}{\frac{1}{2}} = - 1$ なので $K (0, 0, - 1)$ 、 $R = 2$ である。 $K$ は底面 $z = 0$ より下なので、 $S^{'}$ は球の $z ≧ 0$ の部分である。

正四角錐は「 $z ≧ 0$ 」と「4つの側面の内側」の5つの不等式で表される。 $S^{'}$ はすでに $z ≧ 0$ をみたすので、四角錐に含まれないのは、どれかの側面の外側にある部分である。

面 $OAB$ の外側にある部分は、球を平面 $OAB$ で切ったときの小さいほう（球冠）である。 $KM = \frac{3}{5}$ なので、その高さは

t = R - KM = 2 - \frac{3}{5}

である。この球冠が $z ≧ 0$ に入っていることも確かめられる。実際、切り口の円の最も低い点は辺 $AB$ との接点 $P (0, 1, 0)$ で、ちょうど $z = 0$ に接する。また隣り合う2つの球冠は、辺 $OA$ との接点 $Q$ で接するだけで重ならない。

球冠の体積は $\frac{π}{3} t^{2} (3 R - t)$ である。

t^{2} = 2 - \frac{6 2}{5} + \frac{9}{5} = \frac{19 - 6 10}{5}, 3 R - t = 22 + \frac{3}{5} = \frac{10 2 + 3 5}{5}

なので

\frac{π}{3} t^{2} (3 R - t) = \frac{π}{75} (19 - 610) (102 + 35)

である。展開すると $10 \cdot 2 = 25$ 、 $10 \cdot 5 = 52$ より

(19 - 610) (102 + 35) = 1902 + 575 - 1205 - 902 = 1002 - 635

である。側面は4つあるので

V = 4 \cdot \frac{π}{75} (1002 - 635) = \frac{4 ( 100 2 - 63 5 )}{75} π

である（ $0.0920 \dots$ ）。

$1002 = 141.42 \dots$ 、 $635 = 140.87 \dots$ とほとんど等しいので、 $V$ は小さな値になる。球が側面からほんのわずかだけ顔を出している、という図のとおり。

断面積を $z$ について数値積分すると $0.09199817$ で、式の値 $0.09199817$ と $1 0^{- 12}$ まで一致した。

4つの球冠が重ならないこと、底面より下にはみ出さないことを確かめてから $4$ 倍する。接点でちょうど接するので重なりは体積 $0$ 。

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問題文について

(i)底面 ABCD が1辺 2 の正方形、OA=OB=OC=OD、OH=h の正四角錐 O-ABCD について、OA を h で表す。また8本の辺すべてに接する球 S を平面 OAB で切った断面の円の半径 r(h) を h で表す

(ii)線分 AP および線分 AQ の長さを求める

(iii)球 S の半径 R(h) を h で表し、R(h) が最小となる h の値 h0​ を求める

(iv)(ア)R(h)=2​ となる h を求め、K から面 OAB に下ろした垂線 KM の長さを求める

(iv)(イ)球 S を平面 ABCD で2つに分け、K を含まない方を S′ とする。S′ のうち正四角錐 O-ABCD に含まれない部分の体積 V を求める

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(ii)線分 $AP$ および線分 $AQ$ の長さを求める

(iii)球 $S$ の半径 $R (h)$ を $h$ で表し、 $R (h)$ が最小となる $h$ の値 $h_{0}$ を求める

(iv)(ア) $R (h) = 2$ となる $h$ を求め、 $K$ から面 $OAB$ に下ろした垂線 $KM$ の長さを求める

(iv)(イ)球 $S$ を平面 $ABCD$ で2つに分け、 $K$ を含まない方を $S^{'}$ とする。 $S^{'}$ のうち正四角錐 $O - ABCD$ に含まれない部分の体積 $V$ を求める