独自の解答・詳解
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全4問・無料

電気通信大学　2022年度　前期日程　情報理工学域

電通大 2022年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　三角関数・積分

3倍角と2倍角の公式・cos x の整式に直す・共有点の個数・三角関数の定積分当サイトの体感難易度：やや難

(i) $∣ a ∣ < 1$ 、 $π < x < 2 π$ で $f (x) = cos 3 x - (2 a + 1) cos 2 x + (2 a + 3) cos x - (2 a + 1)$ とする。 $f (\frac{4 π}{3})$ を $a$ で表す

答 $f (\frac{4 π}{3}) = - (2 a + 1)$

$cos 4 π = 1$ 、 $cos \frac{8 π}{3} = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ 、 $cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}$ を代入する。

f (\frac{4 π}{3}) = 1 - (2 a + 1) (- \frac{1}{2}) + (2 a + 3) (- \frac{1}{2}) - (2 a + 1)

である。真ん中の2項をまとめると

\frac{( 2 a + 1 ) - ( 2 a + 3 )}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1

なので

f (\frac{4 π}{3}) = 1 - 1 - (2 a + 1) = - (2 a + 1)

である。

$a = - 0.8, 0, 0.3, 0.5, 0.9$ で直接計算すると $- (2 a + 1)$ と一致した。

(ii) $t = cos x$ とおくとき、 $f (x)$ を $t$ の整式で表す

答 $f = 2 t (2 t - 1) (t - a)$

$cos 3 x = 4 t^{3} - 3 t$ 、 $cos 2 x = 2 t^{2} - 1$ を入れる。定数項がきれいに消える。

f = 4 t^{3} - 3 t - (2 a + 1) (2 t^{2} - 1) + (2 a + 3) t - (2 a + 1)

である。 $- (2 a + 1) (2 t^{2} - 1) = - 2 (2 a + 1) t^{2} + (2 a + 1)$ なので、定数項は $(2 a + 1) - (2 a + 1) = 0$ で消える。 $t$ の項は $- 3 t + (2 a + 3) t = 2 a t$ である。よって

f = 4 t^{3} - 2 (2 a + 1) t^{2} + 2 a t = 2 t {2 t^{2} - (2 a + 1) t + a}

で、中かっこは $(2 t - 1) (t - a)$ と因数分解できる。したがって

f = 2 t (2 t - 1) (t - a)

である。

(i) の値もここから出る。 $x = \frac{4 π}{3}$ では $t = - \frac{1}{2}$ なので $2 (- \frac{1}{2}) (- 2) (- \frac{1}{2} - a) = - (2 a + 1)$ となる。

$π ≦ x ≦ 2 π$ の $1001$ 点で、もとの式とこの積の差が $1 0^{- 15}$ 以下だった。

(iii)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸の共有点の個数が $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求める

答 $a = 0, \frac{1}{2}$

$π < x < 2 π$ では $t = cos x$ が $(- 1, 1)$ と1対1に対応する。 $t$ の解 $0, \frac{1}{2}, a$ が何個に重なるかを見る。

$cos x$ は $π < x < 2 π$ で $- 1$ から $1$ まで増加するので、 $x$ と $t$ は1対1に対応する。したがって共有点の個数は、 $- 1 < t < 1$ における

2 t (2 t - 1) (t - a) = 0

の相異なる解の個数に等しい。解は $t = 0, \frac{1}{2}, a$ で、 $∣ a ∣ < 1$ よりどれも $- 1 < t < 1$ に入る。

この3つが相異なれば $3$ 個、どれか2つが一致すれば $2$ 個である。一致するのは $a = 0$ または $a = \frac{1}{2}$ のときだけである（ $0 \neq = \frac{1}{2}$ なので3つが同時に一致することはない）。よって

a = 0, a = \frac{1}{2}

である。

$a = 0$ なら $f = 2 t^{2} (2 t - 1)$ 、 $a = \frac{1}{2}$ なら $f = t (2 t - 1)^{2}$ で、重解のところでは曲線が $x$ 軸に接する。「共有点の個数」なので接する点も $1$ 個と数える。

$a = - 0.8, 0, 0.25, 0.5, 0.9$ で相異なる $t$ の解を数えると $3, 2, 3, 2, 3$ 個だった。

$cos x$ が1対1になるのは、区間が $π < x < 2 π$ だから。 $0 < x < 2 π$ なら1つの $t$ に $x$ が2つ対応する。

(iv) $a$ を (iii) で求めた値のうち最大のものとする。 $f (x)$ が $x = β$ で極大になるとき $cos β$ の値を求める

答 $cos β = \frac{1}{6}$

$a = \frac{1}{2}$ で $f = 4 t (t - \frac{1}{2})^{2}$ 。 $t$ が $x$ の増加関数なので、 $t$ の関数として極大を探せばよい。

(iii) の最大のほうは $a = \frac{1}{2}$ で、このとき

f = 2 t (2 t - 1) (t - \frac{1}{2}) = 4 t (t - \frac{1}{2})^{2} = 4 t^{3} - 4 t^{2} + t

である。 $F (t) = 4 t^{3} - 4 t^{2} + t$ とおくと

F^{'} (t) = 12 t^{2} - 8 t + 1 = (6 t - 1) (2 t - 1)

で、 $t = \frac{1}{6}$ で極大、 $t = \frac{1}{2}$ で極小である。 $π < x < 2 π$ では $t = cos x$ が増加するので、 $f$ が $x$ について極大になるのは $F$ が $t$ について極大になるところ、つまり

cos β = \frac{1}{6}

のときである。

$t$ が $x$ の増加関数なので、極大・極小の種類はそのまま移る。減少関数なら入れかわるので、向きの確認は要る。

導関数の符号を追うと、極大は $x = 4.8798409$ でそこでの $cos x$ は $0.1666705$ （ $\frac{1}{6} = 0.1666667$ ）だった。

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{22 - 2 π - 9 3}{6}$

$f = 0$ は $t = 0$ （ $x = \frac{3 π}{2}$ ）と $t = \frac{1}{2}$ （ $x = \frac{5 π}{3}$ ）。囲まれるのはこの間だけ。

$a = \frac{1}{2}$ では $f = 4 t (t - \frac{1}{2})^{2}$ なので、 $t < 0$ で $f < 0$ 、 $t > 0$ で $f ≧ 0$ （ $t = \frac{1}{2}$ で $0$ ）である。 $x$ でいうと $f = 0$ は

t = 0 ⟺ x = \frac{3 π}{2}, t = \frac{1}{2} ⟺ x = \frac{5 π}{3}

である。区間 $π < x < 2 π$ は両端を含まないので、曲線と $x$ 軸で囲まれるのは $\frac{3 π}{2} ≦ x ≦ \frac{5 π}{3}$ の部分だけである。ここでは $f ≧ 0$ なので

S = \int_{\frac{3 π}{2}}^{\frac{5 π}{3}} (4 cos^{3} x - 4 cos^{2} x + cos x) d x

である。 $cos^{3} x = (1 - sin^{2} x) cos x$ 、 $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ を使うと原始関数は

G (x) = 5 sin x - \frac{4}{3} sin^{3} x - 2 x - sin 2 x

である。 $x = \frac{5 π}{3}$ では $sin x = - \frac{3}{2}$ 、 $sin 2 x = sin \frac{10 π}{3} = - \frac{3}{2}$ なので

G (\frac{5 π}{3}) = - \frac{5 3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{10 π}{3} + \frac{3}{2} = - \frac{3 3}{2} - \frac{10 π}{3}

であり、 $x = \frac{3 π}{2}$ では $sin x = - 1$ 、 $sin 2 x = 0$ なので

G (\frac{3 π}{2}) = - 5 + \frac{4}{3} - 3 π = - \frac{11}{3} - 3 π

である。差をとると

S = - \frac{3 3}{2} - \frac{10 π}{3} + \frac{11}{3} + 3 π = \frac{11}{3} - \frac{π}{3} - \frac{3 3}{2} = \frac{22 - 2 π - 9 3}{6}

である（ $0.0214 \dots$ ）。

a = 1/2 のときの y = f(x)（π < x < 2π）。x = 3π/2 で x 軸と交わり、x = 5π/3 で x 軸に接する。この2点のあいだの細い部分が (v) の面積。

囲まれた部分の拡大図。縦だけを大きく引き伸ばしてある。左端 x = 3π/2 では交わり、右端 x = 5π/3 では接している。

数値積分すると $0.021392904$ で、 $\frac{22 - 2 π - 9 3}{6} = 0.021392904$ と一致した。

$t < 0$ （ $π < x < \frac{3 π}{2}$ ）でも $f < 0$ だが、 $x \to π$ で $f \to - 9$ のままなので、 $x$ 軸と囲む図形にはならない。右側も同じ。

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第2問　微分積分

対数微分法・値域と極限・定積分で和をはさむ・不等式の証明当サイトの体感難易度：難

(i) $y = x lo g x$ （ $0 < x ≦ 1$ ）の値域を求める

答 $- \frac{2}{e} ≦ y ≦ 0$

微分すると $y^{'} = \frac{lo g x + 2}{2 x}$ 。 $x = e^{- 2}$ で最小。

y^{'} = \frac{1}{2 x} lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = \frac{lo g x + 2}{2 x}

である。 $y^{'} = 0$ は $x = e^{- 2}$ で、 $0 < x < e^{- 2}$ では $y^{'} < 0$ 、 $e^{- 2} < x ≦ 1$ では $y^{'} > 0$ である。よって最小は

y (e^{- 2}) = e^{- 1} \cdot (- 2) = - \frac{2}{e}

である。端のようすは

x \to + 0 lim x lo g x = s \to + 0 lim 2 s lo g s = 0, y (1) = 0

である（ $s = x$ とおいた）。 $(0, e^{- 2}]$ で $0$ より小さい値から $- \frac{2}{e}$ まで、 $[e^{- 2}, 1]$ で $- \frac{2}{e}$ から $0$ まで連続に動き、 $y = 0$ は $x = 1$ で実際にとる。したがって値域は

- \frac{2}{e} ≦ y ≦ 0

である。

$20$ 万点走査すると最小は $- 0.7357589$ で、 $- \frac{2}{e} = - 0.7357589$ と一致した。

(ii) $f (x) = x^{- x}$ （ $x > 0$ ）について $x \to + 0 lim f (x)$ と $x \to \infty lim f (x)$ を求める

答 $x \to + 0 lim f (x) = 1$ 、 $x \to \infty lim f (x) = 0$

$f = e^{- x l o g x}$ 。 $x lo g x = x \cdot (x lo g x)$ と見て (i) を使う。

$x > 0$ では $f (x) = e^{- x l o g x}$ である。

$x \to + 0$ 。 $0 < x ≦ 1$ では (i) より $∣ x lo g x ∣ ≦ \frac{2}{e}$ なので

∣ x lo g x ∣ = x x lo g x ≦ \frac{2 x}{e} \to 0

である。よって $x lo g x \to 0$ 、 $f \to e^{0} = 1$ である。

$x \to \infty$ 。 $x lo g x \to \infty$ なので $f = e^{- x l o g x} \to 0$ である。

$x = 1 0^{- 9}$ で $f = 1.0000000$ 、 $x = 50$ で $f = 1.1 \times 1 0^{- 85}$ だった。

(iii) $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ と $\frac{f ^{''} ( x )}{f ( x )}$ を求める

答 $\frac{f ^{'}}{f} = - 1 - lo g x$ 、 $\frac{f ^{''}}{f} = (1 + lo g x)^{2} - \frac{1}{x}$

対数微分法。 $lo g f = - x lo g x$ を微分する。

$f > 0$ なので $lo g f = - x lo g x$ とおける。両辺を微分すると

\frac{f ^{'}}{f} = - (lo g x + 1) = - 1 - lo g x

である。これを $f^{'} = f (- 1 - lo g x)$ と書いてもう一度微分すると

f^{''} = f^{'} (- 1 - lo g x) + f \cdot (- \frac{1}{x}) = f {(1 + lo g x)^{2} - \frac{1}{x}}

なので

\frac{f ^{''}}{f} = (1 + lo g x)^{2} - \frac{1}{x}

である。

$x = 0.3, 1, 2$ で数値微分と一致した。

(iv) $f (x)$ の極値を求める

答 $x = \frac{1}{e}$ で極大値 $e^{\frac{1}{e}}$ （極小値はない）

$f > 0$ なので $f^{'}$ の符号は $- 1 - lo g x$ の符号。

$f (x) > 0$ なので、 $f^{'} = f (- 1 - lo g x)$ の符号は $- 1 - lo g x$ の符号と同じである。これは $x < \frac{1}{e}$ で正、 $x > \frac{1}{e}$ で負なので、 $x = \frac{1}{e}$ で極大である。

f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e})^{- \frac{1}{e}} = e^{\frac{1}{e}}

が極大値である（ $1.4446 \dots$ ）。極小値はない。

y = x^(−x) のグラフ（x > 0）。x → +0 で 1 に近づき、x = 1/e で極大 e^(1/e)、x = 1 で 1 を通り、そのあと 0 に近づく。点線は y = 1。

$f (\frac{1}{e}) = 1.444667861$ で、 $e^{\frac{1}{e}} = 1.444667861$ と一致した。

(v) $0 < a < b$ に対して $\int_{a}^{b} (1 + lo g x) x^{- x} d x$ を求め、自然数 $n < m$ に対して $k = n + 1 \sum m k^{- k} < \frac{n ^{- n} - m ^{- m}}{1 + lo g n}$ を示す

答 $\int_{a}^{b} (1 + lo g x) x^{- x} d x = a^{- a} - b^{- b}$ 。不等式は区間 $[k - 1, k]$ ごとに評価して足す

(iii) より $(1 + lo g x) x^{- x} = - f^{'} (x)$ 。各区間で $1 + lo g x ≧ 1 + lo g n$ 、 $x^{- x} > k^{- k}$ を使う。

(iii) より $f^{'} (x) = - (1 + lo g x) x^{- x}$ なので

\int_{a}^{b} (1 + lo g x) x^{- x} d x = - [f (x)]_{a}^{b} = a^{- a} - b^{- b}

である。

不等式の証明。 $k$ を $n + 1 ≦ k ≦ m$ の整数とし、区間 $[k - 1, k]$ を考える。

この区間では $x ≧ k - 1 ≧ n ≧ 1$ なので $1 + lo g x ≧ 1 + lo g n > 0$
(iv) より $f (x) = x^{- x}$ は $x > \frac{1}{e}$ で減少し、 $k - 1 ≧ 1 > \frac{1}{e}$ だから、 $k - 1 ≦ x < k$ で $x^{- x} > k^{- k}$

である。よって

\int_{k - 1}^{k} (1 + lo g x) x^{- x} d x > (1 + lo g n) \int_{k - 1}^{k} k^{- k} d x = (1 + lo g n) k^{- k}

である（被積分関数は連続で、区間の内部で真に大きいので不等号は真になる）。左辺は $(k - 1)^{- (k - 1)} - k^{- k}$ だから、 $k = n + 1$ から $m$ まで足すと左辺は途中が消えて

n^{- n} - m^{- m} > (1 + lo g n) k = n + 1 \sum m k^{- k}

となる。 $1 + lo g n > 0$ で割れば

k = n + 1 \sum m k^{- k} < \frac{n ^{- n} - m ^{- m}}{1 + lo g n}

である。（証明終わり）

$(1 + lo g x) x^{- x}$ をそのまま積分できるのが (iii) のごほうび。 $\int_{k - 1}^{k}$ の形にして足すと、望遠鏡のように中が消えて $n^{- n} - m^{- m}$ だけが残る。

$(n, m) = (1, 5), (2, 6), (3, 9)$ で左辺・右辺を計算すると、すべて不等式が成り立った。

$1 + lo g x ≧ 1 + lo g n$ を使うために、区間の左端が $n$ 以上であることを確かめる。 $k ≧ n + 1$ なので $k - 1 ≧ n$ でちょうどよい。

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第3問　数列・極限

分数形の漸化式・数学的帰納法・階差数列・積の極限当サイトの体感難易度：標準

(i) $a_{1} = 12$ 、 $a_{n + 1} = \frac{( 3 ^{n + 1} + 1 ) a _{n} - 3 ^{n + 3}}{3 ^{n - 1} a _{n} - ( 3 ^{n + 1} - 1 )}$ のとき、 $a_{n} - 9 > 0$ を数学的帰納法で証明する

答 $a_{n + 1} - 9 = \frac{a _{n} - 9}{3 ^{n - 1} ( a _{n} - 9 ) + 1}$ となるので、 $a_{n} > 9$ なら $a_{n + 1} > 9$

$a_{n + 1} - 9$ を計算すると、分子が $a_{n} - 9$ だけになる。

$n = 1$ のとき $a_{1} - 9 = 3 > 0$ で成り立つ。

$n = k$ で成り立つとする（ $a_{k} > 9$ ）。

a_{k + 1} - 9 = \frac{( 3 ^{k + 1} + 1 ) a _{k} - 3 ^{k + 3} - 9 { 3 ^{k - 1} a _{k} - ( 3 ^{k + 1} - 1 ) }}{3 ^{k - 1} a _{k} - ( 3 ^{k + 1} - 1 )}

である。 $9 \cdot 3^{k - 1} = 3^{k + 1}$ 、 $9 \cdot 3^{k + 1} = 3^{k + 3}$ なので、分子は

(3^{k + 1} + 1 - 3^{k + 1}) a_{k} - 3^{k + 3} + 3^{k + 3} - 9 = a_{k} - 9

となる。また分母は

3^{k - 1} a_{k} - 3^{k + 1} + 1 = 3^{k - 1} (a_{k} - 9) + 1

で、 $a_{k} - 9 > 0$ より $1$ より大きい。したがって

a_{k + 1} - 9 = \frac{a _{k} - 9}{3 ^{k - 1} ( a _{k} - 9 ) + 1} > 0

である（分子も分母も正）。よって $n = k + 1$ でも成り立つ。帰納法によりすべての自然数 $n$ で $a_{n} - 9 > 0$ である。（証明終わり）

漸化式を分数のまま回すと、 $n = 1$ から $11$ まで $a_{n} > 9$ だった。

(ii) $b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 9}$ とするとき $b_{n + 1} - b_{n}$ を求める

答 $b_{n + 1} - b_{n} = 3^{n}$

(i) で出した $a_{n + 1} - 9$ の式の逆数をとる。

(i) より

b_{n + 1} = \frac{3}{a _{n + 1} - 9} = \frac{3 { 3 ^{n - 1} ( a _{n} - 9 ) + 1 }}{a _{n} - 9} = 3^{n} + \frac{3}{a _{n} - 9}

である（ $3 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n}$ ）。よって

b_{n + 1} - b_{n} = 3^{n}

である。

$n = 1$ から $10$ まで $b_{n + 1} - b_{n} = 3^{n}$ が分数のまま成り立った。

(iii) ${b_{n}}$ の一般項を求める

答 $b_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$

(ii) は階差。初項は $b_{1} = \frac{3}{12 - 9} = 1$ 。

$b_{1} = \frac{3}{a _{1} - 9} = \frac{3}{3} = 1$ である。(ii) より $n ≧ 2$ のとき

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 3^{k} = 1 + \frac{3 ( 3 ^{n - 1} - 1 )}{2} = \frac{2 + 3 ^{n} - 3}{2} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}

である。 $n = 1$ でも $\frac{3 - 1}{2} = 1$ となり成り立つ。

$n = 1$ から $11$ まで $b_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$ と一致した。

(iv) ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 9 + \frac{6}{3 ^{n} - 1}$

$b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 9}$ を $a_{n}$ について解く。

a_{n} = 9 + \frac{3}{b _{n}} = 9 + \frac{6}{3 ^{n} - 1}

である。 $n = 1$ では $9 + \frac{6}{2} = 12$ で初項と合う。

$a_{1}, \dots, a_{4} = 12, \frac{39}{4}, \frac{120}{13}, \frac{363}{40}$ が漸化式の値と一致した。

(v) $α = n \to \infty lim a_{n}$ と $β = n \to \infty lim \frac{a _{1} a _{2} a _{3} \dots a _{n}}{α ^{n}}$ を求める

答 $α = 9$ 、 $β = \frac{3}{2}$

$\frac{a _{k}}{9} = \frac{3 ^{k + 1} - 1}{3 ( 3 ^{k} - 1 )}$ と書くと、積が途中で消える形になる。

$3^{n} - 1 \to \infty$ なので

α = n \to \infty lim (9 + \frac{6}{3 ^{n} - 1}) = 9

である。次に

\frac{a _{k}}{9} = 1 + \frac{2}{3 ( 3 ^{k} - 1 )} = \frac{3 ( 3 ^{k} - 1 ) + 2}{3 ( 3 ^{k} - 1 )} = \frac{3 ^{k + 1} - 1}{3 ( 3 ^{k} - 1 )}

と書ける。 $k = 1$ から $n$ まで掛けると、分子と分母で同じ因子が次々に消えて

\frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{9 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n}} \cdot \frac{3 ^{n + 1} - 1}{3 ^{1} - 1} = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 \cdot 3 ^{n}}

である。したがって

β = n \to \infty lim \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 \cdot 3 ^{n}} = \frac{3}{2}

である。

$\frac{a _{k}}{9}$ を $\frac{c _{k + 1}}{3 c _{k}}$ （ $c_{k} = 3^{k} - 1$ ）の形に書けたのがかぎ。積の形の極限は、こうして「次の項との比」に直すと望遠鏡のように消える。

$\frac{a _{1} \dots a _{n}}{9 ^{n}}$ は $n = 1, 2, 5, 10$ で $\frac{4}{3}, \frac{13}{9}, 1.497942387, 1.499991532$ となり、 $\frac{3}{2}$ に近づいた。

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第4問　空間図形

辺に接する球・断面に現れる内接円・接線の長さ・球を平面で切った部分の体積当サイトの体感難易度：難

(i)底面 $ABCD$ が1辺 $2$ の正方形、 $OA = OB = OC = OD$ 、 $OH = h$ の正四角錐 $O - ABCD$ について、 $OA$ を $h$ で表す。また8本の辺すべてに接する球 $S$ を平面 $OAB$ で切った断面の円の半径 $r (h)$ を $h$ で表す

答 $OA = h^{2} + 2$ 、 $r (h) = \frac{h ^{2} + 2 - 1}{h ^{2} + 1}$

断面の円は、3辺 $OA, OB, AB$ に接するので三角形 $OAB$ の内接円。

$H$ は正方形の中心なので $AH = 2$ である。 $OH ⊥ AH$ より

OA = h^{2} + (2)^{2} = h^{2} + 2

である。

球 $S$ は3辺 $OA, OB, AB$ に接していて、これらは平面 $OAB$ 内にある。球を平面で切った円は、その平面内の接線にはそのまま接するので、断面の円は三角形 $OAB$ の内接円である。

$AB$ の中点を $M^{'}$ とすると $OM^{'} ⊥ AB$ で、 $M^{'} H = 1$ だから $OM^{'} = h^{2} + 1$ である。よって

(△ OAB) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h^{2} + 1 = h^{2} + 1

であり、周の半分は

s = \frac{2 h ^{2} + 2 + 2}{2} = h^{2} + 2 + 1

である。内接円の半径は（面積）÷ $s$ なので

r (h) = \frac{h ^{2} + 1}{h ^{2} + 2 + 1} = \frac{h ^{2} + 2 - 1}{h ^{2} + 1}

である（分母を有理化した。 $(h^{2} + 2) - 1 = h^{2} + 1$ を使う）。

平面 OAB で切った断面（図は h = 1/2 のとき）。円は三角形 OAB の内接円で、P は AB との接点（AB の中点）、Q は OA との接点。

$h = 0.5, 1, 2, 3$ で、座標から求めた内接円の半径とこの式が一致した。

(ii)線分 $AP$ および線分 $AQ$ の長さを求める

答 $AP = AQ = 1$

内接円の接線の長さ。頂点 $A$ からの接線の長さは $s - OB$ 。

$P, Q$ は (i) の内接円と辺 $AB, OA$ の接点なので、 $AP = AQ$ （同じ点からの接線の長さ）である。内接円の接線の長さの公式より

AP = AQ = s - OB = (h^{2} + 2 + 1) - h^{2} + 2 = 1

である。 $h$ によらない。

$AP = 1 = \frac{AB}{2}$ なので、 $P$ は $AB$ の中点である。対称性からも分かる。

$h = \frac{1}{2}$ の座標で $P$ が $AB$ の中点、 $AQ = 1$ になった。

(iii)球 $S$ の半径 $R (h)$ を $h$ で表し、 $R (h)$ が最小となる $h$ の値 $h_{0}$ を求める

答 $R (h) = \frac{2 ( h ^{2} + 2 - 1 )}{h}$ 、 $h_{0} = 2$ （最小値 $1$ ）

対称性から中心 $K$ は直線 $OH$ 上。 $KP ⊥ AB$ と $KQ ⊥ OA$ から位置を決める。

$H$ を原点、底面を $z = 0$ として $A (1, 1, 0)$ 、 $B (- 1, 1, 0)$ 、 $O (0, 0, h)$ とおく。対称性から $K (0, 0, k)$ である。 $L = h^{2} + 2$ と書く。

(ii) より $AQ = 1$ なので $Q = A + \frac{1}{L} (O - A)$ である。 $KQ ⊥ AO$ から

- 2 (1 - \frac{1}{L}) + h (\frac{h}{L} - k) = 0, hk = \frac{h ^{2} + 2}{L} - 2 = L - 2

となり $k = \frac{L - 2}{h}$ である。 $P$ は $AB$ の中点 $(0, 1, 0)$ なので

R = KP = 1 + k^{2} = 1 + \frac{( L - 2 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}

である（ $h^{2} = L^{2} - 2$ ）。中身を通分すると

1 + \frac{L ^{2} - 4 L + 4}{L ^{2} - 2} = \frac{2 L ^{2} - 4 L + 2}{L ^{2} - 2} = \frac{2 ( L - 1 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}

なので

R (h) = \frac{2 ( L - 1 )}{h} = \frac{2 ( h ^{2} + 2 - 1 )}{h}

である。

最小。 $L = h^{2} + 2$ （ $L > 2$ ）を変数にとると $h^{2} = L^{2} - 2$ で

R^{2} = \frac{2 ( L - 1 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}, \frac{d}{d L} {\frac{( L - 1 ) ^{2}}{L ^{2} - 2}} = \frac{2 ( L - 1 ) ( L - 2 )}{( L ^{2} - 2 ) ^{2}}

である。 $L > 2 > 1$ なので符号は $L - 2$ で決まり、 $L = 2$ で最小になる。 $L = 2$ は $h^{2} = 2$ 、つまり

h_{0} = 2

である。このとき $R = \frac{2 ( 2 - 1 )}{2} = 1$ 、 $k = \frac{2 - 2}{2} = 0$ なので、球の中心は底面の中心 $H$ に一致する。

$R (h)$ を $50$ 万点走査すると最小は $1.0000000$ で $h = 1.41421$ （ $2 = 1.4142136$ ）だった。

(iv)(ア) $R (h) = 2$ となる $h$ を求め、 $K$ から面 $OAB$ に下ろした垂線 $KM$ の長さを求める

答 $h = \frac{1}{2}$ 、 $KM = \frac{3 5}{5}$

$R = 2$ の式を解く。 $KM$ は $R^{2} = r^{2} + KM^{2}$ から。

$R (h) = 2$ は

h^{2} + 2 - 1 = h, h^{2} + 2 = h^{2} + 2 h + 1, h = \frac{1}{2}

である（ $h^{2} + 2 = h + 1 > 0$ も満たす）。 $R$ は $h = 2$ で最小値 $1$ をとり、 $h \to \infty$ で $2$ に下から近づくので、 $R = 2$ となるのはこの1つだけである。

$h = \frac{1}{2}$ のとき (i) より

r = \frac{\frac{1}{4} + 2 - 1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{5}{2}} = \frac{1}{5}

である。球を平面 $OAB$ で切った円の半径が $r$ 、中心からその平面までの距離が $KM$ だから

KM^{2} = R^{2} - r^{2} = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}, KM = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5}

である。

$KM = \frac{3}{5} = 1.3416 \dots < R = 2 = 1.4142 \dots$ なので、球は4つの側面からわずかにはみ出している。(イ) はそのはみ出した部分の体積を聞いている。

座標で $K = (0, 0, - 1)$ 、面 $OAB$ は $y + 2 z = 1$ となり、距離は $1.3416408 = \frac{3 5}{5}$ だった。

(iv)(イ)球 $S$ を平面 $ABCD$ で2つに分け、 $K$ を含まない方を $S^{'}$ とする。 $S^{'}$ のうち正四角錐 $O - ABCD$ に含まれない部分の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{4 ( 100 2 - 63 5 )}{75} π$

はみ出しているのは4つの側面のぶんだけ。1つぶんは球を平面で切った小さいほう（球冠）そのもの。

$h = \frac{1}{2}$ では $k = \frac{L - 2}{h} = \frac{\frac{3}{2} - 2}{\frac{1}{2}} = - 1$ なので $K (0, 0, - 1)$ 、 $R = 2$ である。 $K$ は底面 $z = 0$ より下なので、 $S^{'}$ は球の $z ≧ 0$ の部分である。

正四角錐は「 $z ≧ 0$ 」と「4つの側面の内側」の5つの不等式で表される。 $S^{'}$ はすでに $z ≧ 0$ をみたすので、四角錐に含まれないのは、どれかの側面の外側にある部分である。

面 $OAB$ の外側にある部分は、球を平面 $OAB$ で切ったときの小さいほう（球冠）である。 $KM = \frac{3}{5}$ なので、その高さは

t = R - KM = 2 - \frac{3}{5}

である。この球冠が $z ≧ 0$ に入っていることも確かめられる。実際、切り口の円の最も低い点は辺 $AB$ との接点 $P (0, 1, 0)$ で、ちょうど $z = 0$ に接する。また隣り合う2つの球冠は、辺 $OA$ との接点 $Q$ で接するだけで重ならない。

球冠の体積は $\frac{π}{3} t^{2} (3 R - t)$ である。

t^{2} = 2 - \frac{6 2}{5} + \frac{9}{5} = \frac{19 - 6 10}{5}, 3 R - t = 22 + \frac{3}{5} = \frac{10 2 + 3 5}{5}

なので

\frac{π}{3} t^{2} (3 R - t) = \frac{π}{75} (19 - 610) (102 + 35)

である。展開すると $10 \cdot 2 = 25$ 、 $10 \cdot 5 = 52$ より

(19 - 610) (102 + 35) = 1902 + 575 - 1205 - 902 = 1002 - 635

である。側面は4つあるので

V = 4 \cdot \frac{π}{75} (1002 - 635) = \frac{4 ( 100 2 - 63 5 )}{75} π

である（ $0.0920 \dots$ ）。

$1002 = 141.42 \dots$ 、 $635 = 140.87 \dots$ とほとんど等しいので、 $V$ は小さな値になる。球が側面からほんのわずかだけ顔を出している、という図のとおり。

断面積を $z$ について数値積分すると $0.09199817$ で、式の値 $0.09199817$ と $1 0^{- 12}$ まで一致した。

4つの球冠が重ならないこと、底面より下にはみ出さないことを確かめてから $4$ 倍する。接点でちょうど接するので重なりは体積 $0$ 。

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問題文について

(i)∣a∣<1、π<x<2π で f(x)=cos3x−(2a+1)cos2x+(2a+3)cosx−(2a+1) とする。f(34π​) を a で表す

(ii)t=cosx とおくとき、f(x) を t の整式で表す

(iii)曲線 y=f(x) と x 軸の共有点の個数が 2 個となるような a の値をすべて求める

(iv)a を (iii) で求めた値のうち最大のものとする。f(x) が x=β で極大になるとき cosβ の値を求める

(v)曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める

(i)y=x​logx（0<x≦1）の値域を求める

(ii)f(x)=x−x（x>0）について x→+0lim​f(x) と x→∞lim​f(x) を求める

(iii)f(x)f′(x)​ と f(x)f′′(x)​ を求める

(iv)f(x) の極値を求める

(v)0<a<b に対して ∫ab​(1+logx)x−xdx を求め、自然数 n<m に対して k=n+1∑m​k−k<1+lognn−n−m−m​ を示す

(i)a1​=12、an+1​=3n−1an​−(3n+1−1)(3n+1+1)an​−3n+3​ のとき、an​−9>0 を数学的帰納法で証明する

(ii)bn​=an​−93​ とするとき bn+1​−bn​ を求める

(iii){bn​} の一般項を求める

(iv){an​} の一般項を求める

(v)α=n→∞lim​an​ と β=n→∞lim​αna1​a2​a3​⋯an​​ を求める

(i)底面 ABCD が1辺 2 の正方形、OA=OB=OC=OD、OH=h の正四角錐 O-ABCD について、OA を h で表す。また8本の辺すべてに接する球 S を平面 OAB で切った断面の円の半径 r(h) を h で表す

(ii)線分 AP および線分 AQ の長さを求める

(iii)球 S の半径 R(h) を h で表し、R(h) が最小となる h の値 h0​ を求める

(iv)(ア)R(h)=2​ となる h を求め、K から面 OAB に下ろした垂線 KM の長さを求める

(iv)(イ)球 S を平面 ABCD で2つに分け、K を含まない方を S′ とする。S′ のうち正四角錐 O-ABCD に含まれない部分の体積 V を求める

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(i) $∣ a ∣ < 1$ 、 $π < x < 2 π$ で $f (x) = cos 3 x - (2 a + 1) cos 2 x + (2 a + 3) cos x - (2 a + 1)$ とする。 $f (\frac{4 π}{3})$ を $a$ で表す

(ii) $t = cos x$ とおくとき、 $f (x)$ を $t$ の整式で表す

(iii)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸の共有点の個数が $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求める

(iv) $a$ を (iii) で求めた値のうち最大のものとする。 $f (x)$ が $x = β$ で極大になるとき $cos β$ の値を求める

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

(i) $y = x lo g x$ （ $0 < x ≦ 1$ ）の値域を求める

(ii) $f (x) = x^{- x}$ （ $x > 0$ ）について $x \to + 0 lim f (x)$ と $x \to \infty lim f (x)$ を求める

(iii) $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ と $\frac{f ^{''} ( x )}{f ( x )}$ を求める

(iv) $f (x)$ の極値を求める

(v) $0 < a < b$ に対して $\int_{a}^{b} (1 + lo g x) x^{- x} d x$ を求め、自然数 $n < m$ に対して $k = n + 1 \sum m k^{- k} < \frac{n ^{- n} - m ^{- m}}{1 + lo g n}$ を示す

(i) $a_{1} = 12$ 、 $a_{n + 1} = \frac{( 3 ^{n + 1} + 1 ) a _{n} - 3 ^{n + 3}}{3 ^{n - 1} a _{n} - ( 3 ^{n + 1} - 1 )}$ のとき、 $a_{n} - 9 > 0$ を数学的帰納法で証明する

(ii) $b_{n} = \frac{3}{a _{n} - 9}$ とするとき $b_{n + 1} - b_{n}$ を求める

(iii) ${b_{n}}$ の一般項を求める

(iv) ${a_{n}}$ の一般項を求める

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(ii)線分 $AP$ および線分 $AQ$ の長さを求める

(iii)球 $S$ の半径 $R (h)$ を $h$ で表し、 $R (h)$ が最小となる $h$ の値 $h_{0}$ を求める

(iv)(ア) $R (h) = 2$ となる $h$ を求め、 $K$ から面 $OAB$ に下ろした垂線 $KM$ の長さを求める

(iv)(イ)球 $S$ を平面 $ABCD$ で2つに分け、 $K$ を含まない方を $S^{'}$ とする。 $S^{'}$ のうち正四角錐 $O - ABCD$ に含まれない部分の体積 $V$ を求める