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東京大学　2021年度　前期日程　文科

第1問微分法の解答・解説

3次関数・共有点の個数・極大・極小・対称性当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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原点中心の半径 $1$ の円と $C : y = a x^{3} - 2 x$ の共有点が $6$ 個になる $a > 0$ の範囲を求める

答 $\frac{50}{27} < a < 2$

$C$ も円も原点について対称なので、共有点は原点対称な組でしか現れない。 $6$ 個というのは「 $x > 0$ の側に $3$ 個」ということである。そこで $t = x^{2}$ とおくと、連立式が $t$ の3次方程式になり、 $t > 0$ の解の個数を調べる問題に化ける。 $x$ のまま6次式を相手にするより、はるかに軽い。

$y = a x^{3} - 2 x$ は奇関数で、円 $x^{2} + y^{2} = 1$ も原点対称だから、 $(x, y)$ が共有点なら $(- x, - y)$ も共有点である。また $x = 0$ のとき $y = 0$ で、これは円上にないから、共有点の $x$ 座標は $0$ ではない。よって共有点は原点対称な2点ずつで現れ、

共有点が 6 個 ⟺ x > 0 の共有点が 3 個

である。

$t = x^{2}$ に直す。 連立すると

x^{2} + (a x^{3} - 2 x)^{2} = 1, すなわち x^{2} {1 + (a x^{2} - 2)^{2}} = 1

である。 $t = x^{2}$ とおくと、 $x > 0$ と $t > 0$ は1対1に対応し

g (t) = t {1 + (a t - 2)^{2}} = a^{2} t^{3} - 4 a t^{2} + 5 t

として $g (t) = 1$ の $t > 0$ の解が $3$ 個あることが条件になる。

増減を調べる。

g^{'} (t) = 3 a^{2} t^{2} - 8 a t + 5 = (3 a t - 5) (a t - 1)

なので、 $a > 0$ より $t = \frac{1}{a}$ と $t = \frac{5}{3 a}$ が極値を与え、 $0 < \frac{1}{a} < \frac{5}{3 a}$ である。 $g$ は $t = \frac{1}{a}$ で極大、 $t = \frac{5}{3 a}$ で極小になる。値は

g (\frac{1}{a}) = \frac{1}{a} - \frac{4}{a} + \frac{5}{a} = \frac{2}{a}, g (\frac{5}{3 a}) = \frac{125}{27 a} - \frac{100}{9 a} + \frac{25}{3 a} = \frac{50}{27 a}

である。

解の個数。 $g (0) = 0$ で、 $g$ は $0 < t < \frac{1}{a}$ で増加、 $\frac{1}{a} < t < \frac{5}{3 a}$ で減少、 $t > \frac{5}{3 a}$ で増加し、 $t \to \infty$ で $\infty$ に発散する。したがって $g (t) = 1$ が $t > 0$ に $3$ 個の解をもつ条件は

g (\frac{5}{3 a}) < 1 < g (\frac{1}{a}) ⟺ \frac{50}{27 a} < 1 < \frac{2}{a}

である。 $a > 0$ なので、これは

a > \frac{50}{27} かつ a < 2

と同値である。 $\frac{50}{27} = 1.851 \dots < 2$ なので、求める範囲は

\frac{50}{27} < a < 2

である。

a = 1.9

のときの

C : y = 1.9 x^{3} - 2 x

と単位円。共有点は原点対称に

6

個あり、

x > 0

側の

3

個が

t = x^{2}

の3つの正の解に対応する。

a = 1.9

のときの

y = g (t)

と直線

y = 1

（

y

が

1

に近いところを拡大した図）。極大値

\frac{2}{a} = 1.053

が

1

より大きく、極小値

\frac{50}{27 a} = 0.975

が

1

より小さいので、正の解がちょうど

3

個になる。

$\frac{50}{27} = 1.851852$ 。単位円を角度で $40$ 万等分して $C$ との符号変化を数えると、 $a = 1.8419$ では $2$ 個、 $a = 1.8529$ では $6$ 個、 $a = 1.9$ では $6$ 個、 $a = 2$ では $2$ 個になる。 $a = 1.9$ での極大値は $1.052632 = \frac{2}{a}$ 、極小値は $0.974659 = \frac{50}{27 a}$ で、どちらも $1$ をまたいでいる。

$t = x^{2}$ とおくと、 $t > 0$ の解1つが $x > 0$ の解1つに対応する（ $x < 0$ 側は対称性で自動的に決まる）。「 $t$ の解1つが $x$ の解2つ」と数えて $3$ 個を $6$ 個と取り違えないこと。ここでは $x > 0$ 側だけを見るのがいちばん安全である。

$a = 2$ ちょうどだと極大値が $1$ に等しくなり、そこは接するだけなので共有点は $x > 0$ 側で $2$ 個（全体で $4$ 個）に減る。同様に $a = \frac{50}{27}$ でも $6$ 個にならない。両端は入らない。

$g (0) = 0 < 1$ なので、 $0 < t < \frac{1}{a}$ の区間には必ず解が1つある。3個になるかどうかは極大・極小の値だけで決まる。

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原点中心の半径 1 の円と C:y=ax3−2x の共有点が 6 個になる a>0 の範囲を求める

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