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東京大学　2021年度　前期日程　文科

第4問整数の解答・解説

合同式・二項係数・階乗の2の指数・組合せの整除当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $K, L$ が正の奇数、 $A, B$ が正の整数で $K A = L B$ のとき、 $K \equiv L (mod 4)$ ならば $A \equiv B (mod 4)$ であることを示す

答 $K (A - B) = (L - K) B$ が $4$ の倍数で、 $K$ が奇数だから $A - B$ が $4$ の倍数

$A - B$ が $4$ の倍数であることを示したい。 $K A = L B$ から $K (A - B)$ を作ると、残りが $(L - K) B$ になり、仮定からこれは $4$ の倍数である。あとは $K$ が奇数、つまり $4$ と互いに素であることを使う。

$K A = L B$ より

K (A - B) = K A - K B = L B - K B = (L - K) B

である。仮定より $L - K$ は $4$ の倍数なので、右辺は $4$ の倍数である。よって $K (A - B)$ は $4$ の倍数である。

$K$ は奇数なので $K$ と $4$ は互いに素である。したがって $A - B$ が $4$ の倍数でなければならない。すなわち $A$ を $4$ で割った余りと $B$ を $4$ で割った余りは等しい。

$K A = L B$ の両辺を $K$ で割ってはいけない。 $A - B$ を作ってから「奇数と $4$ が互いに素」を使う。

(2) $a > b > 0$ のとき、 $A =_{4 a + 1} C_{4 b + 1}$ 、 $B =_{a} C_{b}$ に対して $K A = L B$ となる正の奇数 $K, L$ が存在することを示す

答 $(4 n)! = 2^{3 n} n! c_{n}$ （ $c_{n}$ は奇数）と書けて、 $K = (4 b + 1) c_{b} c_{a - b}$ 、 $L = (4 a + 1) c_{a}$ とすればよい

$\frac{A}{B}$ を階乗で書き下して、 $2$ のべきだけを取り出す。 $(4 n)!$ の中の偶数をまとめて $2$ をくくり出すと、 $(4 n)! = 2^{3 n} n! \times (奇数)$ という形になる。この「奇数」の部分が、そのまま $K, L$ の材料になる。

$2$ のべきをくくり出す。 $1$ から $2 n$ までの積で、偶数だけを集めると $2 \cdot 4 \dots 2 n = 2^{n} n!$ だから

(2 n)! = (2 n 以下の奇数の積) \times 2^{n} n!

である。これを2回使うと

(4 n)! = (4 n 以下の奇数の積) \times 2^{2 n} (2 n)! = (奇数) \times 2^{3 n} n!

となる。そこで正の奇数 $c_{n}$ を $(4 n)! = 2^{3 n} n! c_{n}$ で定める（ $c_{0} = 1$ ）。

$\frac{A}{B}$ を書く。 $m = a - b (\geq 1)$ とおく。

\frac{A}{B} = \frac{( 4 a + 1 )!}{( 4 b + 1 )! ( 4 m )!} \cdot \frac{b ! m !}{a !} = \frac{( 4 a + 1 )!}{a !} \cdot \frac{b !}{( 4 b + 1 )!} \cdot \frac{m !}{( 4 m )!}

であり、 $\frac{( 4 n + 1 )!}{n !} = (4 n + 1) \cdot \frac{( 4 n )!}{n !} = (4 n + 1) 2^{3 n} c_{n}$ だから

\frac{A}{B} = \frac{( 4 a + 1 ) 2 ^{3 a} c _{a}}{( 4 b + 1 ) 2 ^{3 b} c _{b} \cdot 2 ^{3 m} c _{m}} = \frac{( 4 a + 1 ) c _{a}}{( 4 b + 1 ) c _{b} c _{m}}

となる（ $a = b + m$ なので $2$ のべきはすべて打ち消し合う）。したがって

K = (4 b + 1) c_{b} c_{m}, L = (4 a + 1) c_{a}

とおけば $K A = L B$ が成り立つ。 $4 b + 1$ 、 $4 a + 1$ は奇数、 $c_{b}, c_{m}, c_{a}$ も奇数なので、 $K, L$ はともに正の奇数である。

$a = 4$ 、 $b = 1$ なら $A =_{17} C_{5} = 6188 = 2^{2} \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17$ 、 $B =_{4} C_{1} = 4$ で、 $2$ の指数はどちらも $2$ である。 $2 \leq a \leq 13$ の範囲のすべての $(a, b)$ で $2$ の指数が一致することを確かめた。

$2$ のべきが打ち消し合うのは $3 a = 3 b + 3 m$ 、つまり $a = b + m$ だからである。 $4 a + 1$ 、 $4 b + 1$ という「 $4$ で割ると $1$ 余る形」が効いていて、 $1$ がずれると成り立たない。

(3)さらに $a - b$ が $2$ で割り切れるとき、 $_{4 a + 1} C_{4 b + 1}$ と $_{a} C_{b}$ を $4$ で割った余りが等しいことを示す

答(2) の $K, L$ が $K \equiv L (mod 4)$ をみたすので、(1) が使える

(1) を使うには $K \equiv L (mod 4)$ を言えばよい。 $4 a + 1 \equiv 4 b + 1 \equiv 1 (mod 4)$ なので、残るのは $c_{b} c_{m} \equiv c_{a} (mod 4)$ である。 $c_{n}$ の漸化式を $4$ を法として見ると、 $c_{n}$ の余りは $n$ を $4$ で割った余りだけで決まることが分かる。

$c_{n}$ を $4$ で割った余り。 定義から

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( 4 n + 4 )!}{( 4 n )!} \cdot \frac{n !}{( n + 1 )!} \cdot \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{( 4 n + 1 ) ( 4 n + 2 ) ( 4 n + 3 ) ( 4 n + 4 )}{8 ( n + 1 )}

で、 $(4 n + 2) (4 n + 4) = 8 (2 n + 1) (n + 1)$ だから

c_{n + 1} = c_{n} (4 n + 1) (4 n + 3) (2 n + 1)

となる。 $4$ を法とすると $4 n + 1 \equiv 1$ 、 $4 n + 3 \equiv 3$ なので $c_{n + 1} \equiv 3 (2 n + 1) c_{n}$ であり、 $n$ が偶数なら $2 n + 1 \equiv 1$ で $c_{n + 1} \equiv 3 c_{n}$ 、 $n$ が奇数なら $2 n + 1 \equiv 3$ で $c_{n + 1} \equiv 9 c_{n} \equiv c_{n}$ となる。 $c_{0} = 1$ から順に

c_{0} \equiv 1, c_{1} \equiv 3, c_{2} \equiv 3, c_{3} \equiv 1, c_{4} \equiv 1, c_{5} \equiv 3, \dots (mod 4)

となり、 $c_{n}$ を $4$ で割った余りは $n$ を $4$ で割った余りだけで決まって

c_{n} \equiv {13 (n \equiv 0, 3 (mod 4)) (n \equiv 1, 2 (mod 4))

である。

$K \equiv L$ を示す。 $4 a + 1 \equiv 4 b + 1 \equiv 1 (mod 4)$ なので、(2) の $K, L$ について $K \equiv c_{b} c_{m}$ 、 $L \equiv c_{a} = c_{b + m} (mod 4)$ である。 $m = a - b$ が偶数のとき $c_{b} c_{m} \equiv c_{b + m}$ を示す。

$m \equiv 0 (mod 4)$ のとき： $c_{m} \equiv 1$ 、また $b + m \equiv b$ なので $c_{b + m} \equiv c_{b}$ 。両辺とも $c_{b}$ になり成り立つ。
$m \equiv 2 (mod 4)$ のとき： $c_{m} \equiv 3$ 、また $b + m \equiv b + 2$ である。 $b$ を $4$ で割った余りで4通り調べると、 $b \equiv 0$ では $3 \cdot 1 = 3$ と $c_{2} \equiv 3$ 、 $b \equiv 1$ では $3 \cdot 3 \equiv 1$ と $c_{3} \equiv 1$ 、 $b \equiv 2$ では $3 \cdot 3 \equiv 1$ と $c_{4} \equiv 1$ 、 $b \equiv 3$ では $3 \cdot 1 = 3$ と $c_{5} \equiv 3$ で、いずれも一致する。

よって $K \equiv L (mod 4)$ であり、(1) より $A$ と $B$ を $4$ で割った余りは等しい。すなわち $_{4 a + 1} C_{4 b + 1}$ と $_{a} C_{b}$ を $4$ で割った余りは等しい。

$a = 4$ 、 $b = 2$ （ $a - b = 2$ ）では $_{17} C_{9} = 24310$ で $4$ で割ると $2$ 余り、 $_{4} C_{2} = 6$ も $2$ 余る。 $2 \leq a \leq 15$ で $a - b$ が偶数のすべての組を多倍長整数で調べても例外はなかった。

$m$ が奇数だと $c_{b} c_{m} \equiv c_{b + m}$ は崩れる。たとえば $b = 1$ 、 $m = 1$ なら左辺 $3 \cdot 3 \equiv 1$ 、右辺 $c_{2} \equiv 3$ で一致しない。「 $a - b$ が偶数」という条件はここで効いている。

(4) $_{2021} C_{37}$ を $4$ で割った余りを求める

答 $3$

$2021 = 4 \cdot 505 + 1$ 、 $37 = 4 \cdot 9 + 1$ なので (3) がそのまま使える。 $505$ と $9$ もまた「 $4$ で割ると $1$ 余る形」なので、もう一度使えて一気に小さくなる。

$2021 = 4 \cdot 505 + 1$ 、 $37 = 4 \cdot 9 + 1$ で、 $505 - 9 = 496$ は偶数だから (3) より

_{2021} C_{37} \equiv_{505} C_{9} (mod 4)

である。さらに $505 = 4 \cdot 126 + 1$ 、 $9 = 4 \cdot 2 + 1$ で $126 - 2 = 124$ は偶数だから、もう一度 (3) を使って

_{505} C_{9} \equiv_{126} C_{2} (mod 4)

となる。最後は直接計算して

_{126} C_{2} = \frac{126 \cdot 125}{2} = 7875 = 4 \cdot 1968 + 3

なので、求める余りは $3$ である。

多倍長整数で $_{2021} C_{37}$ をそのまま計算して $4$ で割ると、余りは $3$ になる。 $_{505} C_{9}$ 、 $_{126} C_{2}$ の余りもどちらも $3$ で、2段階の言いかえが正しいことも確かめられる。

(3) を使うには「上も下も $4$ で割ると $1$ 余る」ことと「 $a - b$ が偶数」の両方が要る。 $2021$ と $37$ 、 $505$ と $9$ はどちらもみたしているので2回続けて使える。

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問題文について

(1)K,L が正の奇数、A,B が正の整数で KA=LB のとき、K≡L(mod4) ならば A≡B(mod4) であることを示す

(2)a>b>0 のとき、A=4a+1​C4b+1​、B=a​Cb​ に対して KA=LB となる正の奇数 K,L が存在することを示す

(3)さらに a−b が 2 で割り切れるとき、4a+1​C4b+1​ と a​Cb​ を 4 で割った余りが等しいことを示す

(4)2021​C37​ を 4 で割った余りを求める