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東京大学　2021年度　前期日程　文科

第2問場合の数の解答・解説

連続しない選び方・連続する組・場合分け・一般の N当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)条件1（連続する2整数を含まない）をみたす選び方の数を求める

答 $N$ 通り

$1$ を選ぶと決まっているので $2$ は選べない。残りは $3$ 以上 $2 N$ 以下から $N - 1$ 個を、隣り合わないように選ぶ問題になる。隣り合わない選び方は、選んだ数から順に $0, 1, 2, \dots$ を引いて詰める（重なりを消す）と、ふつうの選び方に1対1で対応する。

$1 \in S$ だから、条件1より $2 \in / S$ である。よって残りの $N - 1$ 個は $3$ 以上 $2 N$ 以下の $2 N - 2$ 個の整数から、どの2つも隣り合わないように選ぶことになる。

詰めて数える。 選んだ数を $3 \leq x_{1} < x_{2} < \dots < x_{N - 1} \leq 2 N$ とすると、隣り合わない条件は $x_{i + 1} - x_{i} \geq 2$ である。ここで

y_{i} = x_{i} - (i - 1) (i = 1, 2, \dots, N - 1)

とおくと

y_{i + 1} - y_{i} = x_{i + 1} - x_{i} - 1 \geq 1

なので $y_{1} < y_{2} < \dots < y_{N - 1}$ は相異なり、 $y_{1} = x_{1} \geq 3$ 、 $y_{N - 1} = x_{N - 1} - (N - 2) \leq 2 N - (N - 2) = N + 2$ である。逆に $3 \leq y_{1} < \dots < y_{N - 1} \leq N + 2$ を与えれば $x_{i} = y_{i} + (i - 1)$ がもとの条件をみたす並びを与えるので、両者は1対1に対応する。

$3$ 以上 $N + 2$ 以下の整数は $N$ 個あるから、そこから $N - 1$ 個を選ぶ方法は

_{N} C_{N - 1} = N

通りである。よって条件1をみたす選び方は $N$ 通りである。

具体的には、 $1, 3, 5, \dots$ と $2$ とびに並べていき、どこか1か所だけ $3$ とびにする、という形になる。 $N = 5$ なら ${1, 3, 5, 7, 9}$ 、 ${1, 3, 5, 7, 10}$ 、 ${1, 3, 5, 8, 10}$ 、 ${1, 3, 6, 8, 10}$ 、 ${1, 4, 6, 8, 10}$ の $5$ 通りである。

$N = 5$ （ $1$ から $10$ ）では、 $1$ を含む $5$ 個の選び方 $_{9} C_{4} = 126$ 通りをすべて調べると、条件1をみたすのはちょうど $5$ 通りだった。 $N = 6, 7, 8, 9$ でも順に $6, 7, 8, 9$ 通りで、 $N$ 通りと一致する。

$1$ を選ぶことが決まっているので、 $2 N$ 個から選ぶ問題ではなく「 $3$ 以上から $N - 1$ 個」の問題になる。ここを $2 N$ 個のままにすると答えが $N + 1$ 通りになってしまう。

「隣り合わないように $k$ 個を $m$ 個から選ぶのは $_{m - k + 1} C_{k}$ 通り」という公式を使ってもよいが、答案では詰め直す対応を書いておく方が安全である。

(2)条件2（連続する $N - 2$ 個の整数からなる集合を少なくとも1つ含む）をみたす選び方の数を求める

答 $\frac{( N + 1 ) ( 3 N + 2 )}{2}$ 通り

$S$ は $N$ 個しかないので、長さ $N - 2$ 以上の「連続のかたまり」は高々1つしか持てない（2つあれば $2 (N - 2) \leq N$ となり $N \leq 4$ ）。だから、そのかたまりの長さ $L$ （ $N - 2$ 、 $N - 1$ 、 $N$ のどれか）で場合分けすれば、重複なく数え上げられる。残りの $N - L$ 個は、かたまりの両隣を避けて置く。

$2$ 以上の整数 $k$ に対し、 $S$ に含まれる「連続する $k$ 個」を長さ $k$ のかたまりと呼ぶ。もし長さ $N - 2$ 以上のかたまりが2つあれば、それらは共通部分をもたないか、もつなら合わせてさらに長いひとつのかたまりになる。前者なら $∣ S ∣ \geq 2 (N - 2)$ で $N \geq 2 N - 4$ 、つまり $N \leq 4$ となり仮定 $N \geq 5$ に反する。よって

S に含まれる最長のかたまりはただ 1 つで、その長さを L とすると L = N - 2, N - 1, N

のいずれかである（ $L \geq N - 2$ が条件2、 $L \leq ∣ S ∣ = N$ は明らか）。この $L$ で場合分けする。最長のかたまりを $R = {l, l + 1, \dots, l + L - 1}$ とすると、 $l - 1$ と $l + L$ は $S$ に入らない。

(i) $L = N$ のとき。 $S$ 自身がひとつながりで、 $1 \in S$ より $l = 1$ 、つまり

S = {1, 2, \dots, N}

の $1$ 通りである。

(ii) $L = N - 1$ のとき。 $R = {l, \dots, l + N - 2}$ のほかに $1$ 個だけ残り、それを $x$ とする。 $x$ は $l - 1$ でも $l + N - 1$ でもない（そうなると $L = N$ になる）。

$1 \in R$ のとき： $l = 1$ 、 $R = {1, \dots, N - 1}$ 。 $x$ は $N$ （ $= l + N - 1$ ）を避けるので $N + 1 \leq x \leq 2 N$ の $N$ 通り。
$1 \in / R$ のとき： $x = 1$ である。 $1 \neq = l - 1$ より $l \geq 3$ 、また $l + N - 2 \leq 2 N$ より $l \leq N + 2$ 。 $l$ は $N$ 通り。

合わせて $2 N$ 通りである。

(iii) $L = N - 2$ のとき。 $R = {l, \dots, l + N - 3}$ のほかに $2$ 個残る。その $2$ 個は、 $R$ とその両隣を合わせた

{l - 1, l, \dots, l + N - 2}

（ $N$ 個）を避けて $1$ 以上 $2 N$ 以下から選ぶ。この $2$ 個どうしが隣り合うのはかまわない（長さ $2$ のかたまりは $N - 2 \geq 3$ より短い）。 $l$ の動く範囲は $1 \leq l \leq N + 3$ である。

$l = 1$ ：避ける範囲は $1 \leq x \leq N - 1$ の $N - 1$ 個なので、残り $N + 1$ 個（ $N$ 以上 $2 N$ 以下）から $2$ 個。 $1 \in R$ なので条件は自動的にみたされ、 $_{N + 1} C_{2} = \frac{N ( N + 1 )}{2}$ 通り。
$l = 2$ ：避ける範囲が $1$ を含むので $1 \in / S$ となり不適。 $0$ 通り。
$3 \leq l \leq N + 2$ ：避ける範囲はちょうど $N$ 個で、残りは $N$ 個（ $1$ を含む）。 $1$ は必ず選ぶので、もう $1$ 個を残り $N - 1$ 個から選んで $N - 1$ 通り。 $l$ が $N$ 通りあるので $N (N - 1)$ 通り。
$l = N + 3$ ： $R = {N + 3, \dots, 2 N}$ で、避ける範囲は $N + 2$ 以上 $2 N$ 以下の $N - 1$ 個。残りは $1$ 以上 $N + 1$ 以下の $N + 1$ 個で $1$ を含むから、もう $1$ 個を $N$ 通り。

合わせて

\frac{N ( N + 1 )}{2} + N (N - 1) + N = \frac{N ( N + 1 )}{2} + N^{2}

通りである。

合計。 (i)(ii)(iii) は互いに排反なので

1 + 2 N + \frac{N ( N + 1 )}{2} + N^{2} = \frac{2 + 4 N + N ^{2} + N + 2 N ^{2}}{2} = \frac{3 N ^{2} + 5 N + 2}{2} = \frac{( N + 1 ) ( 3 N + 2 )}{2}

通りである。

$N = 5$ なら $\frac{6 \cdot 17}{2} = 51$ 通り、 $N = 6$ なら $\frac{7 \cdot 20}{2} = 70$ 通りである。

$N = 5, 6, 7, 8, 9$ について、 $1$ を含む $N$ 個の選び方をすべて列挙して条件2を直接判定すると $51, 70, 92, 117, 145$ 通りとなり、 $\frac{( N + 1 ) ( 3 N + 2 )}{2}$ の値 $51, 70, 92, 117, 145$ と完全に一致する。

「長さ $N - 2$ のかたまりを含む」を「ちょうど長さ $N - 2$ のかたまりがある」と読み替えてはいけない。長さ $N - 1$ や $N$ のかたまりも、その中に長さ $N - 2$ のかたまりを含んでいるので条件2をみたす。最長の長さで場合分けするのは、この重複を避けるためである。

$L = N - 2$ の場合に $l - 1$ と $l + N - 2$ を除くのを忘れると、長さ $N - 1$ 以上のものを二重に数えてしまう。

$l = 2$ が不適になるのは、 $1$ が「かたまりの左隣」に当たって $S$ に入れられなくなるからである。 $1 \in S$ という条件がここだけ効く。

$N \geq 5$ という前提は、長さ $N - 2$ 以上のかたまりが1つしかないこと、および残り $2$ 個が隣り合っても $N - 2$ に届かないことの両方で使っている。

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