第3問 図形と方程式の解答・解説

$y=x^2+ax+b$ と $y=-x^2$ を連立すると

である。$f(x)=2x^2+ax+b$ とおくと、条件は「$f(x)=0$ が $-1<x<0$ と $0<x<1$ にそれぞれ1つずつ解をもつ」である。

符号で読む。 $f$ は下に凸の2次関数だから、この条件は

と同値である。実際、$f(0)<0$ なら $f$ は $x<0$ 側と $x>0$ 側に1つずつ解をもち、$f(-1)>0$、$f(1)>0$ がその解を $(-1,0)$、$(0,1)$ に閉じ込める。逆も明らかである。書き下すと

である。$b>a-2$ と $b>-a-2$ をまとめると $b>|a|-2$ なので、求める範囲は

である。これは $3$ 直線 $b=a-2$、$b=-a-2$、$b=0$ で囲まれた三角形の内部で、頂点は $(0,-2)$、$(2,0)$、$(-2,0)$ である。境界は含まない。

$x$ を固定する。点 $(x,y)$ が $C$ 上にあるのは $y=x^2+(ax+b)$ のときだから、$y-x^2$ が $ax+b$ のとりうる値であればよい。

1次式の値域は頂点で決まる。 $ax+b$ は $(a,b)$ についての1次式で、$b$ の係数が $1\ne 0$ だから定数ではない。(1) の三角形 $T$（内部、境界を除く）は凸なので、$ax+b$ の $T$ 上での値域は、$T$ の閉包での最小値と最大値のあいだの開区間になる。最小・最大は頂点でとるから、$3$ 頂点での値

を比べればよい。$\max (2x,-2x)=2|x|\ge 0>-2$ なので

である。よって $ax+b$ のとりうる値は

で、$y=x^2+(ax+b)$ だから、求める範囲は

である（境界は含まない）。

境界の正体。 $y=x^2+2|x|$ は $x\ge 0$ では $y=x^2+2x=(x+1{)}^2-1$、$x\le 0$ では $y=(x-1{)}^2-1$ である。$y=x^2-2|x|$ は $x\ge 1$ では $y=(x-1{)}^2-1$、$x\le -1$ では $y=(x+1{)}^2-1$ である。つまり外側も内側も、もとの放物線を $\pm 1$ だけ左右にずらして $1$ 下げたものである。$|x|\le 1$ の部分だけが $y=x^2-2$ という別の放物線になる。