電気通信大学　2026年度　前期日程　情報理工学域

第1問三角関数・積分の解答・解説

和積の公式・因数分解して解く・定積分・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/07

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

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掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/07に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(i) $0 < x < π$ で $f (x) = 3 sin 2 x + 2 sin 3 x$ が極大・極小をとる $x_{1}, x_{2}$ を求める

答 $x_{1} = \frac{π}{5}$ （極大）、 $x_{2} = \frac{3 π}{5}$ （極小）

微分すると $cos$ の和が出る。和積の公式で1つの積に直すと、符号が因数ごとに読めて増減表がすぐ書ける。

f^{'} (x) = 6 cos 2 x + 6 cos 3 x = 6 (cos 2 x + cos 3 x)

$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ に $A = 3 x$ 、 $B = 2 x$ を入れると

f^{'} (x) = 12 cos \frac{5 x}{2} cos \frac{x}{2}

$0 < x < π$ では $0 < \frac{x}{2} < \frac{π}{2}$ だから $cos \frac{x}{2} > 0$ 。符号は $cos \frac{5 x}{2}$ だけで決まる。

$\frac{5 x}{2}$ は $0$ から $\frac{5 π}{2}$ まで動く。 $cos \frac{5 x}{2} = 0$ となるのは $\frac{5 x}{2} = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}$ 、つまり $x = \frac{π}{5}, \frac{3 π}{5}, π$ 。 $x = π$ は範囲に入らない。

$0 < x < \frac{π}{5}$ … $cos \frac{5 x}{2} > 0$ で増加
$\frac{π}{5} < x < \frac{3 π}{5}$ … $cos \frac{5 x}{2} < 0$ で減少
$\frac{3 π}{5} < x < π$ … $cos \frac{5 x}{2} > 0$ で増加

よって $x_{1} = \frac{π}{5}$ で極大、 $x_{2} = \frac{3 π}{5}$ で極小。

y = f (x)

と

y = 3 sin 2 x

の概形（

0 \leq x \leq π

）。2つの曲線は

x = 0, \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}

で交わり、差がちょうど

2 sin 3 x

になる。

$f (\frac{π}{5}) = 4.6 \dots$ 、 $f (\frac{3 π}{5}) = - 4.6 \dots$ で、 $f (π - x) = - f (x)$ をみたす。 $3 sin 2 x$ も $2 sin 3 x$ もこの対称性をもつので、極大値と極小値が符号違いで同じ大きさになるのは自然。

$cos \frac{x}{2} > 0$ を確かめたうえで割り落とす。この確認がないと符号の議論が成り立たない。

$x = π$ は $cos \frac{5 x}{2} = 0$ をみたすが、範囲 $0 < x < π$ に入らない。端を落とす。

(ii) $0 < x < π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ を $α$ とするとき $cos α$ を求める

答 $cos α = \frac{1}{4}$

$sin 2 x$ も $sin 3 x$ も $sin x$ でくくれる。 $sin x$ を外に出すと、残りは $cos x$ の2次式になる。

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ 、 $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x = sin x (4 cos^{2} x - 1)$ なので

f (x) = 2 sin x (4 cos^{2} x + 3 cos x - 1)

$0 < x < π$ では $sin x > 0$ だから、 $f (x) = 0$ は $4 cos^{2} x + 3 cos x - 1 = 0$ と同じ。 $c = cos x$ と置くと

4 c^{2} + 3 c - 1 = (4 c - 1) (c + 1) = 0 ⟹ c = \frac{1}{4}, - 1

$c = - 1$ は $x = π$ にあたり範囲外。よって $cos α = \frac{1}{4}$ 。

$cos α = \frac{1}{4}$ なら $α = 1.3181 \dots$ で、数値で $f (α) = 0$ になる。 $0 < x < π$ で $f = 0$ となるのはこの1点だけであることも数値の全探索で確かめた。

$sin x$ で割る前に、範囲内で $sin x \neq = 0$ であることを言う。

$c = - 1$ を答えに含めない。 $α$ は $0 < x < π$ の中の値。

(iii) $0 < x < π$ で $y = f (x)$ と $y = 3 sin 2 x$ の交点のうち $x$ 座標が最小のものを $(β, f (β))$ とするとき $β$ を求める

答 $β = \frac{π}{3}$

2式の差を作ると $3 sin 2 x$ が消える。残るのは $2 sin 3 x$ だけなので、ほとんど計算せずに解が出る。

f (x) - 3 sin 2 x = 2 sin 3 x

$sin 3 x = 0$ より $3 x = k π$ 、つまり $x = \frac{k π}{3}$ 。 $0 < x < π$ に入るのは $\frac{π}{3}$ と $\frac{2 π}{3}$ で、小さいほうが $β$ 。

$β = \frac{π}{3}$ では $f (β) = 3 sin \frac{2 π}{3} = \frac{3 3}{2}$ 。上の図でも、2つの曲線が $x = \frac{π}{3}$ で交わっている。

「 $x$ 座標が最小」なので $\frac{2 π}{3}$ ではない。交点を全部出してから小さいほうを選ぶ。

(iv) $I = \int_{0}^{β} sin 2 x sin 3 x d x$ を求める

答 $I = \frac{3 3}{10}$

$sin$ どうしの積は、積和の公式で差に直すと項ごとに積分できる。

$sin A sin B = \frac{1}{2} {cos (A - B) - cos (A + B)}$ に $A = 2 x$ 、 $B = 3 x$ を入れると $sin 2 x sin 3 x = \frac{1}{2} (cos x - cos 5 x)$ 。

I = \frac{1}{2} [sin x - \frac{sin 5 x}{5}]_{0}^{π /3} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{5} \cdot (- \frac{3}{2}))

I = \frac{1}{2} \cdot \frac{6 3}{10} = \frac{3 3}{10}

$\frac{3 3}{10} = 0.5196152 \dots$ で、数値積分の値と一致する。 $sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}$ の符号を落とすと $\frac{3}{5}$ だけずれる。

$cos (A - B)$ は $cos (- x) = cos x$ なので $cos x$ 。引く順を気にしなくてよい。

(v) $0 \leq x \leq β$ で $y = f (x)$ と $y = 3 sin 2 x$ に囲まれた領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{18 3}{5} π + \frac{2 π ^{2}}{3}$

2つの曲線はどちらも $0 \leq x \leq β$ で $0$ 以上なので、外側の2乗から内側の2乗を引くだけでよい。その差を因数分解すると、(iv) の $I$ がそのまま現れる。

$f (x) - 3 sin 2 x = 2 sin 3 x$ は $0 < x < \frac{π}{3}$ で正なので、 $f$ が外側。 $3 sin 2 x \geq 0$ も $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$ で成り立つ（ $2 x \leq \frac{2 π}{3}$ ）。