電気通信大学　2026年度　前期日程　情報理工学域

第2問微分積分の解答・解説

指数の置きかえ・値域・部分分数分解・広義積分の極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/07

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

問題文を見る（電気通信大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/07に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(i) $f (x) = \frac{3 e ^{x} - 1}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}}$ の極値を求める

答 $x = lo g \frac{5}{3}$ で極大値 $\frac{9}{16}$ 。極小値はない

$t = e^{x}$ と置くと $t$ の分数関数になる。 $t$ は $x$ について増加なので、 $t$ についての増減がそのまま $x$ の増減になる。

$t = e^{x} > 0$ と置くと $f = \frac{3 t - 1}{( t + 1 ) ^{2}}$ 。 $t$ で微分して

\frac{df}{d t} = \frac{3 ( t + 1 ) ^{2} - ( 3 t - 1 ) \cdot 2 ( t + 1 )}{( t + 1 ) ^{4}} = \frac{5 - 3 t}{( t + 1 ) ^{3}}

$t > 0$ より分母は正。 $t < \frac{5}{3}$ で増加、 $t > \frac{5}{3}$ で減少。 $\frac{d t}{d x} = t > 0$ なので、 $x$ についても同じ向き。

t = \frac{5}{3} ⟺ x = lo g \frac{5}{3}, f = \frac{5 - 1}{( \frac{8}{3} ) ^{2}} = \frac{4 \cdot 9}{64} = \frac{9}{16}

増加から減少へ変わる1か所だけなので、極大値 $\frac{9}{16}$ のみ。

$lo g \frac{5}{3} = 0.5108 \dots$ で、数値探索でも同じ位置に最大が出る。値は $0.5625 = \frac{9}{16}$ ちょうど。

$t$ で微分したあと $x$ に戻すとき、 $\frac{d t}{d x} = e^{x} > 0$ だから符号が変わらない、と一言書く。

(ii) $y = f (x)$ の値域を求める

答 $- 1 < y \leq \frac{9}{16}$

(i) の増減に、両端での極限を足せば値域が決まる。端の値はとれないので不等号の向きに注意する。

$x \to - \infty$ では $t \to + 0$ で $f \to \frac{- 1}{1} = - 1$ 。 $x \to \infty$ では $t \to \infty$ で $f \approx \frac{3 t}{t ^{2}} \to 0$ 。

$t$ が $0$ から $\frac{5}{3}$ まで … $f$ は $- 1$ から $\frac{9}{16}$ まで増える（ $- 1$ はとらない）
$t$ が $\frac{5}{3}$ から $\infty$ まで … $f$ は $\frac{9}{16}$ から $0$ まで減る（ $0$ はとらない）

$f$ は連続なので、2つの区間で $(- 1, \frac{9}{16}]$ と $(0, \frac{9}{16}]$ をとる。合わせて $- 1 < y \leq \frac{9}{16}$ 。

$x = - 30$ で $f = - 1.0000 \dots$ （ $- 1$ にごく近い）、 $x = 30$ で $f = 2.6 \times 1 0^{- 26}$ 。どちらも端に届かない。

$- 1$ と $0$ は極限であって値ではない。 $\leq$ と $<$ を取り違えない。

$0$ は $(- 1, \frac{9}{16}]$ に含まれるので、2区間を合わせると穴は空かない。

(iii) $I = \int \frac{d t}{t ( t + 1 )}$ 、 $J = \int \frac{d t}{t ( t + 1 ) ^{2}}$ を求める

答 $I = lo g \frac{t}{t + 1}$ 、 $J = lo g \frac{t}{t + 1} + \frac{1}{t + 1}$ （積分定数は省略）

どちらも部分分数に分ける。 $J$ は $(t + 1)^{2}$ があるので、 $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{( t + 1 ) ^{2}}$ の形を置く。

\frac{1}{t ( t + 1 )} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} ⟹ I = lo g ∣ t ∣ - lo g ∣ t + 1∣

$J$ は $\frac{1}{t ( t + 1 ) ^{2}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{( t + 1 ) ^{2}}$ と置いて分母を払うと $1 = A (t + 1)^{2} + B t (t + 1) + C t$ 。

$t = 0$ を入れて $A = 1$
$t = - 1$ を入れて $C = - 1$
$t^{2}$ の係数を比べて $A + B = 0$ 、すなわち $B = - 1$

J = \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}) d t = lo g \frac{t}{t + 1} + \frac{1}{t + 1}

$J$ を微分すると $\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}$ 。通分すると $\frac{( t + 1 ) - t}{t ( t + 1 )} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{t ( t + 1 )} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{t ( t + 1 ) ^{2}}$ に戻る。

$\frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}$ の積分は $- \frac{1}{t + 1}$ 。符号を落とすと $J$ の最後の項が逆になる。

(iv) $x \leq M$ の範囲で $y = f (x)$ 、 $x$ 軸、直線 $x = M$ が囲む面積を $S (M)$ とするとき、 $S (0)$ と $M \to \infty lim S (M)$ を求める

答 $S (0) = 1 - lo g 2$ 、 $M \to \infty lim S (M) = 3 - 2 lo g 2$

$f$ が $x$ 軸と交わるのは $3 e^{x} = 1$ の1点だけ。そこから $x = M$ までが囲まれる部分で、(iii) の $J$ がそのまま使える形に直せる。

$f (x) = 0$ は $3 e^{x} = 1$ 、つまり $x = - lo g 3$ 。 $x > - lo g 3$ で $f > 0$ なので、囲まれるのは $- lo g 3 \leq x \leq M$ の部分。

$t = e^{x}$ と置くと $d x = \frac{d t}{t}$ で

\int f d x = \int \frac{3 t - 1}{t ( t + 1 ) ^{2}} d t = \int \frac{3}{( t + 1 ) ^{2}} d t - J

$\frac{3 t - 1}{t ( t + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( t + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{t ( t + 1 ) ^{2}}$ と分けただけ。 $\int \frac{3}{( t + 1 ) ^{2}} d t = - \frac{3}{t + 1}$ だから

F (t) = - \frac{4}{t + 1} + lo g \frac{t + 1}{t}

$x = - lo g 3$ は $t = \frac{1}{3}$ にあたり $F (\frac{1}{3}) = - 3 + lo g 4$ 。 $x = 0$ は $t = 1$ で $F (1) = - 2 + lo g 2$ 。

S (0) = (- 2 + lo g 2) - (- 3 + lo g 4) = 1 + lo g \frac{2}{4} = 1 - lo g 2

$M \to \infty$ では $t \to \infty$ で $- \frac{4}{t + 1} \to 0$ 、 $lo g \frac{t + 1}{t} \to lo g 1 = 0$ なので $F (t) \to 0$ 。

M \to \infty lim S (M) = 0 - (- 3 + lo g 4) = 3 - 2 lo g 2

$1 - lo g 2 = 0.30685 \dots$ 、 $3 - 2 lo g 2 = 1.61370 \dots$ 。数値積分（ $- lo g 3$ から $0$ 、および $40$ まで）と一致する。

下端は $0$ ではなく $x = - lo g 3$ 。 $f$ が $x$ 軸と交わる点から数える。

$x \to - \infty$ では $f \to - 1$ なので、 $x$ 軸との間の面積は無限になる。囲まれた領域は交点から右側だけ。

$lo g \frac{t + 1}{t}$ は $lo g \frac{t}{t + 1}$ の符号違い。 $F$ を作るときに向きを揃える。

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問題文について

(i)f(x)=(ex+1)23ex−1​ の極値を求める

(ii)y=f(x) の値域を求める

(iii)I=∫t(t+1)dt​、J=∫t(t+1)2dt​ を求める

(iv)x≤M の範囲で y=f(x)、x 軸、直線 x=M が囲む面積を S(M) とするとき、S(0) と M→∞lim​S(M) を求める