電気通信大学　2026年度　前期日程　情報理工学域

電通大 2026年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/07

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

問題文を見る（電気通信大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/07に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　三角関数・積分

和積の公式・因数分解して解く・定積分・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難

(i) $0 < x < π$ で $f (x) = 3 sin 2 x + 2 sin 3 x$ が極大・極小をとる $x_{1}, x_{2}$ を求める

答 $x_{1} = \frac{π}{5}$ （極大）、 $x_{2} = \frac{3 π}{5}$ （極小）

微分すると $cos$ の和が出る。和積の公式で1つの積に直すと、符号が因数ごとに読めて増減表がすぐ書ける。

f^{'} (x) = 6 cos 2 x + 6 cos 3 x = 6 (cos 2 x + cos 3 x)

$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ に $A = 3 x$ 、 $B = 2 x$ を入れると

f^{'} (x) = 12 cos \frac{5 x}{2} cos \frac{x}{2}

$0 < x < π$ では $0 < \frac{x}{2} < \frac{π}{2}$ だから $cos \frac{x}{2} > 0$ 。符号は $cos \frac{5 x}{2}$ だけで決まる。

$\frac{5 x}{2}$ は $0$ から $\frac{5 π}{2}$ まで動く。 $cos \frac{5 x}{2} = 0$ となるのは $\frac{5 x}{2} = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}$ 、つまり $x = \frac{π}{5}, \frac{3 π}{5}, π$ 。 $x = π$ は範囲に入らない。

$0 < x < \frac{π}{5}$ … $cos \frac{5 x}{2} > 0$ で増加
$\frac{π}{5} < x < \frac{3 π}{5}$ … $cos \frac{5 x}{2} < 0$ で減少
$\frac{3 π}{5} < x < π$ … $cos \frac{5 x}{2} > 0$ で増加

よって $x_{1} = \frac{π}{5}$ で極大、 $x_{2} = \frac{3 π}{5}$ で極小。

y = f (x)

と

y = 3 sin 2 x

の概形（

0 \leq x \leq π

）。2つの曲線は

x = 0, \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}

で交わり、差がちょうど

2 sin 3 x

になる。

$f (\frac{π}{5}) = 4.6 \dots$ 、 $f (\frac{3 π}{5}) = - 4.6 \dots$ で、 $f (π - x) = - f (x)$ をみたす。 $3 sin 2 x$ も $2 sin 3 x$ もこの対称性をもつので、極大値と極小値が符号違いで同じ大きさになるのは自然。

$cos \frac{x}{2} > 0$ を確かめたうえで割り落とす。この確認がないと符号の議論が成り立たない。

$x = π$ は $cos \frac{5 x}{2} = 0$ をみたすが、範囲 $0 < x < π$ に入らない。端を落とす。

(ii) $0 < x < π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ を $α$ とするとき $cos α$ を求める

答 $cos α = \frac{1}{4}$

$sin 2 x$ も $sin 3 x$ も $sin x$ でくくれる。 $sin x$ を外に出すと、残りは $cos x$ の2次式になる。

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ 、 $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x = sin x (4 cos^{2} x - 1)$ なので

f (x) = 2 sin x (4 cos^{2} x + 3 cos x - 1)

$0 < x < π$ では $sin x > 0$ だから、 $f (x) = 0$ は $4 cos^{2} x + 3 cos x - 1 = 0$ と同じ。 $c = cos x$ と置くと

4 c^{2} + 3 c - 1 = (4 c - 1) (c + 1) = 0 ⟹ c = \frac{1}{4}, - 1

$c = - 1$ は $x = π$ にあたり範囲外。よって $cos α = \frac{1}{4}$ 。

$cos α = \frac{1}{4}$ なら $α = 1.3181 \dots$ で、数値で $f (α) = 0$ になる。 $0 < x < π$ で $f = 0$ となるのはこの1点だけであることも数値の全探索で確かめた。

$sin x$ で割る前に、範囲内で $sin x \neq = 0$ であることを言う。

$c = - 1$ を答えに含めない。 $α$ は $0 < x < π$ の中の値。

(iii) $0 < x < π$ で $y = f (x)$ と $y = 3 sin 2 x$ の交点のうち $x$ 座標が最小のものを $(β, f (β))$ とするとき $β$ を求める

答 $β = \frac{π}{3}$

2式の差を作ると $3 sin 2 x$ が消える。残るのは $2 sin 3 x$ だけなので、ほとんど計算せずに解が出る。

f (x) - 3 sin 2 x = 2 sin 3 x

$sin 3 x = 0$ より $3 x = k π$ 、つまり $x = \frac{k π}{3}$ 。 $0 < x < π$ に入るのは $\frac{π}{3}$ と $\frac{2 π}{3}$ で、小さいほうが $β$ 。

$β = \frac{π}{3}$ では $f (β) = 3 sin \frac{2 π}{3} = \frac{3 3}{2}$ 。上の図でも、2つの曲線が $x = \frac{π}{3}$ で交わっている。

「 $x$ 座標が最小」なので $\frac{2 π}{3}$ ではない。交点を全部出してから小さいほうを選ぶ。

(iv) $I = \int_{0}^{β} sin 2 x sin 3 x d x$ を求める

答 $I = \frac{3 3}{10}$

$sin$ どうしの積は、積和の公式で差に直すと項ごとに積分できる。

$sin A sin B = \frac{1}{2} {cos (A - B) - cos (A + B)}$ に $A = 2 x$ 、 $B = 3 x$ を入れると $sin 2 x sin 3 x = \frac{1}{2} (cos x - cos 5 x)$ 。

I = \frac{1}{2} [sin x - \frac{sin 5 x}{5}]_{0}^{π /3} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{5} \cdot (- \frac{3}{2}))

I = \frac{1}{2} \cdot \frac{6 3}{10} = \frac{3 3}{10}

$\frac{3 3}{10} = 0.5196152 \dots$ で、数値積分の値と一致する。 $sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}$ の符号を落とすと $\frac{3}{5}$ だけずれる。

$cos (A - B)$ は $cos (- x) = cos x$ なので $cos x$ 。引く順を気にしなくてよい。

(v) $0 \leq x \leq β$ で $y = f (x)$ と $y = 3 sin 2 x$ に囲まれた領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{18 3}{5} π + \frac{2 π ^{2}}{3}$

2つの曲線はどちらも $0 \leq x \leq β$ で $0$ 以上なので、外側の2乗から内側の2乗を引くだけでよい。その差を因数分解すると、(iv) の $I$ がそのまま現れる。

$f (x) - 3 sin 2 x = 2 sin 3 x$ は $0 < x < \frac{π}{3}$ で正なので、 $f$ が外側。 $3 sin 2 x \geq 0$ も $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$ で成り立つ（ $2 x \leq \frac{2 π}{3}$ ）。

V = π \int_{0}^{β} {f (x)^{2} - (3 sin 2 x)^{2}} d x

和と差の積に直すと

f^{2} - (3 sin 2 x)^{2} = 2 sin 3 x (6 sin 2 x + 2 sin 3 x) = 12 sin 2 x sin 3 x + 4 sin^{2} 3 x

第1項の積分は $12 I$ 。第2項は半角で $sin^{2} 3 x = \frac{1 - cos 6 x}{2}$ とすると

\int_{0}^{π /3} sin^{2} 3 x d x = \frac{1}{2} [x - \frac{sin 6 x}{6}]_{0}^{π /3} = \frac{π}{6}

V = π (12 \cdot \frac{3 3}{10} + 4 \cdot \frac{π}{6}) = \frac{18 3}{5} π + \frac{2 π ^{2}}{3}

$\frac{18 3}{5} π = 19.589 \dots$ 、 $\frac{2 π ^{2}}{3} = 6.579 \dots$ で合計 $26.1687 \dots$ 。数値積分の値と一致する。

回転体では $(f - g)^{2}$ ではなく $f^{2} - g^{2}$ を積分する。差を2乗すると別の立体の体積になる。

$sin 6 x$ の原始関数は $- \frac{cos 6 x}{6}$ ではない。 $\int cos 6 x d x = \frac{sin 6 x}{6}$ で、 $x = \frac{π}{3}$ では $sin 2 π = 0$ 。

2つの曲線がともに $x$ 軸より上にあることを確認する。片方が負になる区間があると、この式のままでは使えない。

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第2問　微分積分

指数の置きかえ・値域・部分分数分解・広義積分の極限当サイトの体感難易度：標準

(i) $f (x) = \frac{3 e ^{x} - 1}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}}$ の極値を求める

答 $x = lo g \frac{5}{3}$ で極大値 $\frac{9}{16}$ 。極小値はない

$t = e^{x}$ と置くと $t$ の分数関数になる。 $t$ は $x$ について増加なので、 $t$ についての増減がそのまま $x$ の増減になる。

$t = e^{x} > 0$ と置くと $f = \frac{3 t - 1}{( t + 1 ) ^{2}}$ 。 $t$ で微分して

\frac{df}{d t} = \frac{3 ( t + 1 ) ^{2} - ( 3 t - 1 ) \cdot 2 ( t + 1 )}{( t + 1 ) ^{4}} = \frac{5 - 3 t}{( t + 1 ) ^{3}}

$t > 0$ より分母は正。 $t < \frac{5}{3}$ で増加、 $t > \frac{5}{3}$ で減少。 $\frac{d t}{d x} = t > 0$ なので、 $x$ についても同じ向き。

t = \frac{5}{3} ⟺ x = lo g \frac{5}{3}, f = \frac{5 - 1}{( \frac{8}{3} ) ^{2}} = \frac{4 \cdot 9}{64} = \frac{9}{16}

増加から減少へ変わる1か所だけなので、極大値 $\frac{9}{16}$ のみ。

$lo g \frac{5}{3} = 0.5108 \dots$ で、数値探索でも同じ位置に最大が出る。値は $0.5625 = \frac{9}{16}$ ちょうど。

$t$ で微分したあと $x$ に戻すとき、 $\frac{d t}{d x} = e^{x} > 0$ だから符号が変わらない、と一言書く。

(ii) $y = f (x)$ の値域を求める

答 $- 1 < y \leq \frac{9}{16}$

(i) の増減に、両端での極限を足せば値域が決まる。端の値はとれないので不等号の向きに注意する。

$x \to - \infty$ では $t \to + 0$ で $f \to \frac{- 1}{1} = - 1$ 。 $x \to \infty$ では $t \to \infty$ で $f \approx \frac{3 t}{t ^{2}} \to 0$ 。

$t$ が $0$ から $\frac{5}{3}$ まで … $f$ は $- 1$ から $\frac{9}{16}$ まで増える（ $- 1$ はとらない）
$t$ が $\frac{5}{3}$ から $\infty$ まで … $f$ は $\frac{9}{16}$ から $0$ まで減る（ $0$ はとらない）

$f$ は連続なので、2つの区間で $(- 1, \frac{9}{16}]$ と $(0, \frac{9}{16}]$ をとる。合わせて $- 1 < y \leq \frac{9}{16}$ 。

$x = - 30$ で $f = - 1.0000 \dots$ （ $- 1$ にごく近い）、 $x = 30$ で $f = 2.6 \times 1 0^{- 26}$ 。どちらも端に届かない。

$- 1$ と $0$ は極限であって値ではない。 $\leq$ と $<$ を取り違えない。

$0$ は $(- 1, \frac{9}{16}]$ に含まれるので、2区間を合わせると穴は空かない。

(iii) $I = \int \frac{d t}{t ( t + 1 )}$ 、 $J = \int \frac{d t}{t ( t + 1 ) ^{2}}$ を求める

答 $I = lo g \frac{t}{t + 1}$ 、 $J = lo g \frac{t}{t + 1} + \frac{1}{t + 1}$ （積分定数は省略）

どちらも部分分数に分ける。 $J$ は $(t + 1)^{2}$ があるので、 $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{( t + 1 ) ^{2}}$ の形を置く。

\frac{1}{t ( t + 1 )} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} ⟹ I = lo g ∣ t ∣ - lo g ∣ t + 1∣

$J$ は $\frac{1}{t ( t + 1 ) ^{2}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{( t + 1 ) ^{2}}$ と置いて分母を払うと $1 = A (t + 1)^{2} + B t (t + 1) + C t$ 。

$t = 0$ を入れて $A = 1$
$t = - 1$ を入れて $C = - 1$
$t^{2}$ の係数を比べて $A + B = 0$ 、すなわち $B = - 1$

J = \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}) d t = lo g \frac{t}{t + 1} + \frac{1}{t + 1}

$J$ を微分すると $\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}$ 。通分すると $\frac{( t + 1 ) - t}{t ( t + 1 )} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{t ( t + 1 )} - \frac{1}{( t + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{t ( t + 1 ) ^{2}}$ に戻る。

$\frac{1}{( t + 1 ) ^{2}}$ の積分は $- \frac{1}{t + 1}$ 。符号を落とすと $J$ の最後の項が逆になる。

(iv) $x \leq M$ の範囲で $y = f (x)$ 、 $x$ 軸、直線 $x = M$ が囲む面積を $S (M)$ とするとき、 $S (0)$ と $M \to \infty lim S (M)$ を求める

答 $S (0) = 1 - lo g 2$ 、 $M \to \infty lim S (M) = 3 - 2 lo g 2$

$f$ が $x$ 軸と交わるのは $3 e^{x} = 1$ の1点だけ。そこから $x = M$ までが囲まれる部分で、(iii) の $J$ がそのまま使える形に直せる。

$f (x) = 0$ は $3 e^{x} = 1$ 、つまり $x = - lo g 3$ 。 $x > - lo g 3$ で $f > 0$ なので、囲まれるのは $- lo g 3 \leq x \leq M$ の部分。

$t = e^{x}$ と置くと $d x = \frac{d t}{t}$ で

\int f d x = \int \frac{3 t - 1}{t ( t + 1 ) ^{2}} d t = \int \frac{3}{( t + 1 ) ^{2}} d t - J

$\frac{3 t - 1}{t ( t + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( t + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{t ( t + 1 ) ^{2}}$ と分けただけ。 $\int \frac{3}{( t + 1 ) ^{2}} d t = - \frac{3}{t + 1}$ だから

F (t) = - \frac{4}{t + 1} + lo g \frac{t + 1}{t}

$x = - lo g 3$ は $t = \frac{1}{3}$ にあたり $F (\frac{1}{3}) = - 3 + lo g 4$ 。 $x = 0$ は $t = 1$ で $F (1) = - 2 + lo g 2$ 。

S (0) = (- 2 + lo g 2) - (- 3 + lo g 4) = 1 + lo g \frac{2}{4} = 1 - lo g 2

$M \to \infty$ では $t \to \infty$ で $- \frac{4}{t + 1} \to 0$ 、 $lo g \frac{t + 1}{t} \to lo g 1 = 0$ なので $F (t) \to 0$ 。

M \to \infty lim S (M) = 0 - (- 3 + lo g 4) = 3 - 2 lo g 2

$1 - lo g 2 = 0.30685 \dots$ 、 $3 - 2 lo g 2 = 1.61370 \dots$ 。数値積分（ $- lo g 3$ から $0$ 、および $40$ まで）と一致する。

下端は $0$ ではなく $x = - lo g 3$ 。 $f$ が $x$ 軸と交わる点から数える。

$x \to - \infty$ では $f \to - 1$ なので、 $x$ 軸との間の面積は無限になる。囲まれた領域は交点から右側だけ。

$lo g \frac{t + 1}{t}$ は $lo g \frac{t}{t + 1}$ の符号違い。 $F$ を作るときに向きを揃える。

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第3問　図形と方程式

円上の点と距離・直線が円と交わる条件・正方形と90度回転・三角関数の合成当サイトの体感難易度：難

(i) $P_{α} (- 2 + cos α, sin α)$ に対し、 $Q$ が $C_{2}$ 上を動くときの $P_{α} Q$ の最小値 $L (α)$ と、その最大値を求める

答 $L (α) = 17 - 8 cos α - 1$ 、最大値は $α = π$ のとき $4$

円の外の点から円周までの最短距離は、中心までの距離から半径を引いたもの。 $Q$ を動かす代わりに、 $P_{α}$ と中心 $B (2, 0)$ の距離だけ見ればよい。

P_{α} B^{2} = (cos α - 4)^{2} + sin^{2} α = 17 - 8 cos α

$- 1 \leq cos α \leq 1$ より $9 \leq P_{α} B^{2} \leq 25$ 、つまり $3 \leq P_{α} B \leq 5$ 。半径 $1$ より大きいので $P_{α}$ はつねに $C_{2}$ の外にあり

L (α) = P_{α} B - 1 = 17 - 8 cos α - 1

$17 - 8 cos α$ が最大になるのは $cos α = - 1$ 、すなわち $α = π$ 。このとき $L = 25 - 1 = 4$ 。

$α = π$ のとき $P = (- 3, 0)$ で、 $C_{2}$ の最も近い点は $(1, 0)$ 。距離は $4$ で合う。 $C_{2}$ の円周を2万点に刻んで実際に最小距離を測っても同じ値になる。

最小値を聞かれているので、中心までの距離に半径を足すのではなく引く。

$P_{α}$ が $C_{2}$ の外にあることを確かめてから引く。内部にあると式が変わる。

(ii)直線 $PQ$ の傾き $m$ の最大値を求める

答 $m$ の最大値は $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$

$P, Q$ を動かす代わりに、「傾き $m$ の直線が2つの円の両方と交わるか」を考える。交わる条件は中心から直線までの距離が半径以下、という形で書ける。

直線を $y = m x + c$ とする。 $A (- 2, 0)$ との距離が $1$ 以下、 $B (2, 0)$ との距離が $1$ 以下であればよい。 $s = m^{2} + 1$ と置くと

∣ c - 2 m ∣ \leq s かつ ∣ c + 2 m ∣ \leq s

$c$ は $[2 m - s, 2 m + s]$ と $[- 2 m - s, - 2 m + s]$ の両方に入る必要がある。2つの区間が重なる条件は、中心どうしの距離が幅の和以下、すなわち

∣4 m ∣ \leq 2 s ⟺ 4 m^{2} \leq m^{2} + 1 ⟺ m^{2} \leq \frac{1}{3}

よって $- \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{3}$ で、最大値は $\frac{1}{3}$ 。

$α, β$ をそれぞれ4000等分して $PQ$ の傾きを全部作ると、最大は $0.5774$ で $\frac{1}{3} = 0.57735 \dots$ と一致する。

$x_{Q} - x_{P}$ は $P$ が左の円、 $Q$ が右の円にあるのでつねに正。傾きが定義できないことはない。

「直線が円と交わる」条件に言い換えると、 $P, Q$ を別々に動かす2変数の問題が1変数に落ちる。

(iii)四角形 $PQRS$ が正方形（ $R$ の $y$ 座標は正）のとき、直線 $PR$ の傾き $m^{'}$ の最大値を $a + b N$ の形で表す

答 $m^{'}$ の最大値は $2 + 3$ （ $a = 2, b = 1, N = 3$ ）

$PR$ は正方形の対角線なので、辺 $PQ$ と $4 5^{\circ}$ をなす。傾きの関係は正接の加法定理で書ける。あとは (ii) で出した $m$ の範囲を入れるだけ。

$PQ$ の傾きを $m = tan θ$ とする。 $PR$ は $PQ$ を $4 5^{\circ}$ 回した向きなので

m^{'} = tan (θ + 4 5^{\circ}) = \frac{m + 1}{1 - m}

$- \frac{1}{3} \leq m \leq \frac{1}{3}$ で、 $\frac{m + 1}{1 - m} = - 1 + \frac{2}{1 - m}$ は $m < 1$ の範囲で増加。したがって $m = \frac{1}{3}$ のとき最大。

m^{'} = \frac{\frac{1}{3} + 1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 + 3}{3 - 1} = \frac{( 1 + 3 ) ^{2}}{2} = 2 + 3

$2 + 3 = 3.7320 \dots$ 。 $α, β$ を3000等分した全探索でも最大 $3.7321$ が出る。なお $2 + 3 = tan 7 5^{\circ}$ で、 $θ = 3 0^{\circ}$ に $4 5^{\circ}$ を足した角と合う。

$PR$ は辺ではなく対角線。 $P \to Q \to R \to S$ の順に頂点が並ぶことを使う。

$\frac{m + 1}{1 - m}$ は $m < 1$ で増加。 $m$ の範囲が $1$ より小さいので、端で最大になる。

(iv)点 $S$ の $y$ 座標の最大値と、そのときの $P, Q$ の座標を求める

答最大値 $5 + 2$ 。このとき $P (- 2 - \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ 、 $Q (3, 0)$

$PQ$ を $9 0^{\circ}$ 回すと $PS$ になる。成分で書くと $S$ の $y$ 座標が $α$ だけの式と $β$ だけの式に分かれるので、別々に最大化できる。

$P (- 2 + cos α, sin α)$ 、 $Q (2 + cos β, sin β)$ とし、 $v = PQ = (4 + cos β - cos α, sin β - sin α)$ と置く。

正方形 $PQRS$ では $PS = QR$ で、これは $v$ を $9 0^{\circ}$ 回したもの。 $(x, y)$ を $9 0^{\circ}$ 回すと $(- y, x)$ だから

PS = (sin α - sin β, 4 + cos β - cos α)

回す向きが決まる理由　逆向きに回すと $PS$ の $y$ 成分は $- (4 + cos β - cos α)$ となる。このとき $R$ の $y$ 座標は $sin β - 4 - cos β + cos α \leq - 1 < 0$ となり、「 $R$ の $y$ 座標は正」に反する。だから回す向きは上の1通り。

$S$ の $y$ 座標は

sin α + (4 + cos β - cos α) = (sin α - cos α) + cos β + 4

$α$ と $β$ は独立に動かせる。 $cos β$ の最大は $β = 0$ のとき $1$ 。 $sin α - cos α = 2 sin (α - \frac{π}{4})$ の最大は $α - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ 、すなわち $α = \frac{3 π}{4}$ のとき $2$ 。

最大値 = 2 + 1 + 4 = 5 + 2

そのとき $cos α = - \frac{2}{2}$ 、 $sin α = \frac{2}{2}$ なので $P (- 2 - \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ 、 $Q (2 + 1, 0) = (3, 0)$ 。

$5 + 2 = 6.41421 \dots$ 。 $α, β$ を3000等分した全探索でも同じ値・同じ位置が出る。このとき4辺の長さはすべて $5.7507 \dots$ 、2本の対角線も等しく、確かに正方形になっている。

$S$ の $y$ 座標が $α$ の項と $β$ の項に分かれる。分かれるからこそ別々に最大化できる。分かれない形のまま2変数で動かすと行き詰まる。

$sin α - cos α$ の合成は $2 sin (α - \frac{π}{4})$ 。 $2 sin (α + \frac{π}{4})$ ではない。

「 $R$ の $y$ 座標は正」という条件が、回す向きを1つに決めている。両方調べて片方を捨てる。

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第4問　数列・極限

3項間漸化式・階差をとる置きかえ・等差数列に直す・区分求積法当サイトの体感難易度：やや難

(i) $a_{1}, a_{3}$ を求める

答 $a_{1} = 1, a_{3} = 12$

漸化式に $n = 2$ を入れると、既知の $a_{2}, a_{4}$ だけで $a_{3}$ が決まる。 $a_{3}$ が出れば $n = 1$ の式から $a_{1}$ が出る。既知の値に近いほうから攻める。

$n = 2$ のとき $a_{4} = 4 (a_{3} - a_{2})$ 。 $a_{2} = 4$ 、 $a_{4} = 32$ を入れて $32 = 4 (a_{3} - 4)$ 、 $a_{3} = 12$ 。

$n = 1$ のとき $a_{3} = 4 (a_{2} - a_{1})$ 。 $12 = 4 (4 - a_{1})$ より $a_{1} = 1$ 。

$a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 12, a_{4} = 32$ 。 $a_{5} = 4 (32 - 12) = 80$ で、あとで出す $a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ に $n = 5$ を入れた $5 \cdot 16 = 80$ と合う。

$n = 1$ から順に攻めると $a_{1}$ が未知のまま残る。 $a_{4}$ が与えられているので $n = 2$ から入る。

(ii) $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ とおくとき、 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表し、一般項を求める

答 $b_{n + 1} = 2 b_{n}$ 、 $b_{n} = 2^{n}$

$b_{n + 1}$ を定義どおり書き、漸化式で $a_{n + 2}$ を消す。 $2$ でくくれる形が出る。

b_{n + 1} = a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 4 (a_{n + 1} - a_{n}) - 2 a_{n + 1} = 2 a_{n + 1} - 4 a_{n}

= 2 (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 2 b_{n}

公比 $2$ の等比数列で、 $b_{1} = a_{2} - 2 a_{1} = 4 - 2 = 2$ 。よって $b_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 。

$b_{2} = a_{3} - 2 a_{2} = 12 - 8 = 4 = 2^{2}$ 、 $b_{3} = a_{4} - 2 a_{3} = 32 - 24 = 8 = 2^{3}$ 。合う。

$b_{1}$ を $1$ と早合点しない。 $b_{1} = a_{2} - 2 a_{1}$ を計算する。

(iii) $c_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ とおくとき、 $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表し、 ${c_{n}}$ と ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $c_{n + 1} = c_{n} + \frac{1}{2}$ 、 $c_{n} = \frac{n}{2}$ 、 $a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$

(ii) から $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ 。両辺を $2^{n + 1}$ で割ると、等差数列の形になる。これが $2^{n}$ で割る置きかえの狙い。

a_{n + 1} = b_{n} + 2 a_{n} = 2^{n} + 2 a_{n}

\frac{a _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} = \frac{2 ^{n}}{2 ^{n + 1}} + \frac{2 a _{n}}{2 ^{n + 1}} ⟹ c_{n + 1} = c_{n} + \frac{1}{2}

公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列で $c_{1} = \frac{a _{1}}{2} = \frac{1}{2}$ 。よって $c_{n} = \frac{1}{2} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$ 。

a_{n} = 2^{n} c_{n} = 2^{n} \cdot \frac{n}{2} = n \cdot 2^{n - 1}

$n = 1, 2, 3, 4$ で $1, 4, 12, 32$ 。与えられた $a_{2} = 4$ 、 $a_{4} = 32$ と合う。漸化式 $a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ も $n \leq 30$ で成り立つことを確かめた。

$2^{n}$ で割るのは、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + (等比)$ の形を等差に落とすため。 $2^{n + 1}$ で割る点に注意（ $c_{n + 1}$ の添字に合わせる）。

(iv) $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ 、 $T_{n} = k = 1 \sum n b_{k}$ の一般項を求める

答 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2$ 、 $S_{n} = (n - 1) 2^{n} + 1$

$T_{n}$ は等比の和。 $S_{n}$ は $\sum k \cdot 2^{k - 1}$ だが、 $b_{k} = a_{k + 1} - 2 a_{k}$ を足すと $S$ と $T$ の関係式が出て、 $\sum k x^{k}$ の計算をせずに済む。

T_{n} = k = 1 \sum n 2^{k} = \frac{2 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 2

次に $b_{k} = a_{k + 1} - 2 a_{k}$ を $k = 1$ から $n$ まで足す。 $k = 1 \sum n a_{k + 1} = S_{n + 1} - a_{1} = S_{n} + a_{n + 1} - a_{1}$ なので

T_{n} = (S_{n} + a_{n + 1} - a_{1}) - 2 S_{n} = a_{n + 1} - S_{n} - 1

$a_{n + 1} = (n + 1) 2^{n}$ を入れて $S_{n}$ について解くと

S_{n} = (n + 1) 2^{n} - 1 - (2^{n + 1} - 2) = (n - 1) 2^{n} + 1

$n = 1, 2, 3, 4$ で $S_{n} = 1, 5, 17, 49$ 。直接足した $1, 1 + 4, 1 + 4 + 12, 1 + 4 + 12 + 32$ と一致する。 $T_{n}$ も $2, 6, 14, 30$ で $2^{n + 1} - 2$ と合う。

$k = 1 \sum n a_{k + 1}$ は $S_{n}$ ではない。 $a_{2}$ から $a_{n + 1}$ までなので、 $S_{n}$ に $a_{n + 1}$ を足して $a_{1}$ を引く。

$\sum k \cdot 2^{k - 1}$ をずらし算で出してもよいが、 $b_{k}$ を足すほうが短い。

(v) $n \to \infty lim \frac{2 ^{n}}{n} k = 1 \sum n \frac{a _{k}}{a _{n + k}}$ を求める

答 $1 - lo g 2$

$a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ を入れると、 $2$ の累乗がきれいに約分される。残るのは $\frac{k}{n}$ だけの式になるので、区分求積法で積分に直せる。

\frac{a _{k}}{a _{n + k}} = \frac{k \cdot 2 ^{k - 1}}{( n + k ) \cdot 2 ^{n + k - 1}} = \frac{1}{2 ^{n}} \cdot \frac{k}{n + k}

したがって $\frac{2 ^{n}}{n}$ を掛けると $2^{n}$ が消えて

\frac{2 ^{n}}{n} k = 1 \sum n \frac{a _{k}}{a _{n + k}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n + k} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{\frac{k}{n}}{1 + \frac{k}{n}}

これは $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ の $[0, 1]$ での区分求積。よって

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n g (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1 + x}) d x

= [x - lo g (1 + x)]_{0}^{1} = 1 - lo g 2

$1 - lo g 2 = 0.30685 \dots$ 。 $n = 10, 100, 1000, 5000$ で $0.3312, 0.3093, 0.3071, 0.3069$ と近づく。 $\frac{2 ^{n}}{n} \sum \frac{a _{k}}{a _{n + k}}$ と $\frac{1}{n} \sum \frac{k}{n + k}$ が厳密に等しいことも、分数のまま $n \leq 25$ で確かめた。

$\frac{x}{1 + x}$ はそのままでは積分できない。 $1 - \frac{1}{1 + x}$ に分ける。

区分求積に持ち込むには $\frac{1}{n} \sum f (\frac{k}{n})$ の形にそろえる。 $\frac{k}{n + k}$ を分母分子ともに $n$ で割るのがその操作。

$2^{n}$ は約分で完全に消える。残ると発散する式に見えてしまう。

第4問だけのページ

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問題文について

(i)0<x<π で f(x)=3sin2x+2sin3x が極大・極小をとる x1​, x2​ を求める

(ii)0<x<π で f(x)=0 をみたす x を α とするとき cosα を求める

(iii)0<x<π で y=f(x) と y=3sin2x の交点のうち x 座標が最小のものを (β,f(β)) とするとき β を求める

(iv)I=∫0β​sin2xsin3xdx を求める

(v)0≤x≤β で y=f(x) と y=3sin2x に囲まれた領域 D を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

(i)f(x)=(ex+1)23ex−1​ の極値を求める

(ii)y=f(x) の値域を求める

(iii)I=∫t(t+1)dt​、J=∫t(t+1)2dt​ を求める

(iv)x≤M の範囲で y=f(x)、x 軸、直線 x=M が囲む面積を S(M) とするとき、S(0) と M→∞lim​S(M) を求める

(i)Pα​(−2+cosα, sinα) に対し、Q が C2​ 上を動くときの Pα​Q の最小値 L(α) と、その最大値を求める

(ii)直線 PQ の傾き m の最大値を求める

(iii)四角形 PQRS が正方形（R の y 座標は正）のとき、直線 PR の傾き m′ の最大値を a+bN​ の形で表す

(iv)点 S の y 座標の最大値と、そのときの P,Q の座標を求める

(i)a1​, a3​ を求める

(ii)bn​=an+1​−2an​ とおくとき、bn+1​ を bn​ で表し、一般項を求める

(iii)cn​=2nan​​ とおくとき、cn+1​ を cn​ で表し、{cn​} と {an​} の一般項を求める

(iv)Sn​=k=1∑n​ak​、Tn​=k=1∑n​bk​ の一般項を求める

(v)n→∞lim​n2n​k=1∑n​an+k​ak​​ を求める