電気通信大学　2026年度　前期日程　情報理工学域

第4問数列・極限の解答・解説

3項間漸化式・階差をとる置きかえ・等差数列に直す・区分求積法当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/07

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

問題文を見る（電気通信大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/07に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(i) $a_{1}, a_{3}$ を求める

答 $a_{1} = 1, a_{3} = 12$

漸化式に $n = 2$ を入れると、既知の $a_{2}, a_{4}$ だけで $a_{3}$ が決まる。 $a_{3}$ が出れば $n = 1$ の式から $a_{1}$ が出る。既知の値に近いほうから攻める。

$n = 2$ のとき $a_{4} = 4 (a_{3} - a_{2})$ 。 $a_{2} = 4$ 、 $a_{4} = 32$ を入れて $32 = 4 (a_{3} - 4)$ 、 $a_{3} = 12$ 。

$n = 1$ のとき $a_{3} = 4 (a_{2} - a_{1})$ 。 $12 = 4 (4 - a_{1})$ より $a_{1} = 1$ 。

$a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 12, a_{4} = 32$ 。 $a_{5} = 4 (32 - 12) = 80$ で、あとで出す $a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ に $n = 5$ を入れた $5 \cdot 16 = 80$ と合う。

$n = 1$ から順に攻めると $a_{1}$ が未知のまま残る。 $a_{4}$ が与えられているので $n = 2$ から入る。

(ii) $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ とおくとき、 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表し、一般項を求める

答 $b_{n + 1} = 2 b_{n}$ 、 $b_{n} = 2^{n}$

$b_{n + 1}$ を定義どおり書き、漸化式で $a_{n + 2}$ を消す。 $2$ でくくれる形が出る。

b_{n + 1} = a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 4 (a_{n + 1} - a_{n}) - 2 a_{n + 1} = 2 a_{n + 1} - 4 a_{n}

= 2 (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 2 b_{n}

公比 $2$ の等比数列で、 $b_{1} = a_{2} - 2 a_{1} = 4 - 2 = 2$ 。よって $b_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 。

$b_{2} = a_{3} - 2 a_{2} = 12 - 8 = 4 = 2^{2}$ 、 $b_{3} = a_{4} - 2 a_{3} = 32 - 24 = 8 = 2^{3}$ 。合う。

$b_{1}$ を $1$ と早合点しない。 $b_{1} = a_{2} - 2 a_{1}$ を計算する。

(iii) $c_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ とおくとき、 $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表し、 ${c_{n}}$ と ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $c_{n + 1} = c_{n} + \frac{1}{2}$ 、 $c_{n} = \frac{n}{2}$ 、 $a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$

(ii) から $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ 。両辺を $2^{n + 1}$ で割ると、等差数列の形になる。これが $2^{n}$ で割る置きかえの狙い。

a_{n + 1} = b_{n} + 2 a_{n} = 2^{n} + 2 a_{n}

\frac{a _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} = \frac{2 ^{n}}{2 ^{n + 1}} + \frac{2 a _{n}}{2 ^{n + 1}} ⟹ c_{n + 1} = c_{n} + \frac{1}{2}

公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列で $c_{1} = \frac{a _{1}}{2} = \frac{1}{2}$ 。よって $c_{n} = \frac{1}{2} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$ 。

a_{n} = 2^{n} c_{n} = 2^{n} \cdot \frac{n}{2} = n \cdot 2^{n - 1}

$n = 1, 2, 3, 4$ で $1, 4, 12, 32$ 。与えられた $a_{2} = 4$ 、 $a_{4} = 32$ と合う。漸化式 $a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ も $n \leq 30$ で成り立つことを確かめた。

$2^{n}$ で割るのは、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + (等比)$ の形を等差に落とすため。 $2^{n + 1}$ で割る点に注意（ $c_{n + 1}$ の添字に合わせる）。

(iv) $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ 、 $T_{n} = k = 1 \sum n b_{k}$ の一般項を求める

答 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2$ 、 $S_{n} = (n - 1) 2^{n} + 1$

$T_{n}$ は等比の和。 $S_{n}$ は $\sum k \cdot 2^{k - 1}$ だが、 $b_{k} = a_{k + 1} - 2 a_{k}$ を足すと $S$ と $T$ の関係式が出て、 $\sum k x^{k}$ の計算をせずに済む。

T_{n} = k = 1 \sum n 2^{k} = \frac{2 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 2

次に $b_{k} = a_{k + 1} - 2 a_{k}$ を $k = 1$ から $n$ まで足す。 $k = 1 \sum n a_{k + 1} = S_{n + 1} - a_{1} = S_{n} + a_{n + 1} - a_{1}$ なので

T_{n} = (S_{n} + a_{n + 1} - a_{1}) - 2 S_{n} = a_{n + 1} - S_{n} - 1

$a_{n + 1} = (n + 1) 2^{n}$ を入れて $S_{n}$ について解くと

S_{n} = (n + 1) 2^{n} - 1 - (2^{n + 1} - 2) = (n - 1) 2^{n} + 1

$n = 1, 2, 3, 4$ で $S_{n} = 1, 5, 17, 49$ 。直接足した $1, 1 + 4, 1 + 4 + 12, 1 + 4 + 12 + 32$ と一致する。 $T_{n}$ も $2, 6, 14, 30$ で $2^{n + 1} - 2$ と合う。

$k = 1 \sum n a_{k + 1}$ は $S_{n}$ ではない。 $a_{2}$ から $a_{n + 1}$ までなので、 $S_{n}$ に $a_{n + 1}$ を足して $a_{1}$ を引く。

$\sum k \cdot 2^{k - 1}$ をずらし算で出してもよいが、 $b_{k}$ を足すほうが短い。

(v) $n \to \infty lim \frac{2 ^{n}}{n} k = 1 \sum n \frac{a _{k}}{a _{n + k}}$ を求める

答 $1 - lo g 2$

$a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ を入れると、 $2$ の累乗がきれいに約分される。残るのは $\frac{k}{n}$ だけの式になるので、区分求積法で積分に直せる。

\frac{a _{k}}{a _{n + k}} = \frac{k \cdot 2 ^{k - 1}}{( n + k ) \cdot 2 ^{n + k - 1}} = \frac{1}{2 ^{n}} \cdot \frac{k}{n + k}

したがって $\frac{2 ^{n}}{n}$ を掛けると $2^{n}$ が消えて

\frac{2 ^{n}}{n} k = 1 \sum n \frac{a _{k}}{a _{n + k}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n + k} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{\frac{k}{n}}{1 + \frac{k}{n}}

これは $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ の $[0, 1]$ での区分求積。よって

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n g (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1 + x}) d x

= [x - lo g (1 + x)]_{0}^{1} = 1 - lo g 2

$1 - lo g 2 = 0.30685 \dots$ 。 $n = 10, 100, 1000, 5000$ で $0.3312, 0.3093, 0.3071, 0.3069$ と近づく。 $\frac{2 ^{n}}{n} \sum \frac{a _{k}}{a _{n + k}}$ と $\frac{1}{n} \sum \frac{k}{n + k}$ が厳密に等しいことも、分数のまま $n \leq 25$ で確かめた。