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北海道大学　2024年度（令和6年度）　前期日程　理系

北大理系 2024年度数学第3問（数列・積分）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2024年度（令和6年度・2024年）前期日程・理系入試の数学第3問（分野：数列・積分）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「2項間漸化式・定積分を含む関数列・数学的帰納的構造の把握」を扱います。

出題テーマ：2項間漸化式・定積分を含む関数列・数学的帰納的構造の把握当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)初項 $a_{1} = α$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 2 + (α - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1}$

特性方程式 $c = \frac{1}{2} c + 1$ から定数 $2$ を引き、等比数列の形に直す。

$c = \frac{1}{2} c + 1$ を解くと $c = 2$ である。漸化式の両辺から $2$ を引くと

a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2) (n = 1, 2, 3, \dots)

となる。よって数列 ${a_{n} - 2}$ は初項 $a_{1} - 2 = α - 2$ 、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから

a_{n} - 2 = (α - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1}

すなわち

a_{n} = 2 + (α - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1}

となる。

$n = 1$ で $2 + (α - 2) = α$ 、 $n = 2$ で $2 + \frac{α - 2}{2} = \frac{α}{2} + 1$ となり定義と一致する。

(2) $f_{1} (x) = 3 x$ および $f_{n + 1} (x) = (n + 2) x^{n + 1} + (\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t) x$ で定められる関数 $f_{n} (x)$ を $x$ と $n$ で表す

答 $f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) x$

定積分部分を定数 $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t$ とおき、両辺を $0$ から $1$ まで積分して (1) と同じ形の漸化式を導く。

各自然数 $n$ に対して、定積分 $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t$ とおくと、与えられた関係式は

f_{n + 1} (x) = (n + 2) x^{n + 1} + I_{n} x (n = 1, 2, 3, \dots)

と書ける。まず $n = 1$ のとき $f_{1} (t) = 3 t$ より

I_{1} = \int_{0}^{1} 3 t d t = [\frac{3}{2} t^{2}]_{0}^{1} = \frac{3}{2}

である。また、関係式の両辺の変数を $t$ として $0$ から $1$ まで定積分すると

I_{n + 1} = \int_{0}^{1} {(n + 2) t^{n + 1} + I_{n} t} d t = [t^{n + 2} + \frac{I _{n}}{2} t^{2}]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2} I_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

となる。これは (1) で $α = \frac{3}{2}$ とおいた漸化式にほかならないから、(1) の結果よりすべての自然数 $n$ に対して

I_{n} = 2 + (\frac{3}{2} - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1} = 2 - (\frac{1}{2})^{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}

を得る。したがって $n ≧ 2$ のとき、漸化式で $n$ を $n - 1$ に置き換えて

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + I_{n - 1} x = (n + 1) x^{n} + (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) x

となる。この式に $n = 1$ を代入すると $(1 + 1) x^{1} + (2 - \frac{1}{2 ^{0}}) x = 2 x + x = 3 x = f_{1} (x)$ となるため、 $n = 1$ のときも成り立つ。よってすべての自然数 $n$ について

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) x

である。

順に直接計算すると $f_{2} (x) = 3 x^{2} + \frac{3}{2} x$ 、 $I_{2} = \int_{0}^{1} (3 t^{2} + \frac{3}{2} t) d t = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ 、 $f_{3} (x) = 4 x^{3} + \frac{7}{4} x$ となり、公式に $n = 2, 3$ を代入した値と一致する。

関係式 $f_{n + 1} (x) = \dots$ から $f_{n} (x)$ を書き出すときは $n ≧ 2$ が前提となる。求めた式が $n = 1$ でも $f_{1} (x) = 3 x$ に一致することを必ず確認して一言添える。

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