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北海道大学　2024年度（令和6年度）　前期日程　理系

北大理系 2024年度数学第5問（微分積分）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2024年度（令和6年度・2024年）前期日程・理系入試の数学第5問（分野：微分積分）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「対数関数の微分・接線の方程式・2次導関数と凹凸・部分積分と面積」を扱います。

出題テーマ：対数関数の微分・接線の方程式・2次導関数と凹凸・部分積分と面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)曲線 $C : y = x lo g (x + 2) + 1 (x > - 2)$ の接線のうち傾きが正で原点を通る直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $y = (2 lo g 2 + \frac{1}{2}) x$

接点の $x$ 座標を $p$ とおいて接線の方程式を作り、 $(0, 0)$ を代入して $p$ を求めたあと、傾き $f^{'} (p) > 0$ を満たすものを選ぶ。

$x > - 2$ において $f (x) = x lo g (x + 2) + 1$ を微分すると

f^{'} (x) = lo g (x + 2) + \frac{x}{x + 2}

である。接点の $x$ 座標を $p (p > - 2)$ とおくと、接線の方程式は

y = f^{'} (p) (x - p) + f (p)

これが原点 $(0, 0)$ を通る条件は $f (p) - p f^{'} (p) = 0$ だから

p lo g (p + 2) + 1 - p {lo g (p + 2) + \frac{p}{p + 2}} 1 - \frac{p ^{2}}{p + 2} p^{2} - p - 2 = 0 = 0 = 0

$(p - 2) (p + 1) = 0$ より $p = - 1, 2$ （どちらも $p > - 2$ を満たす）。ここで接線の傾き $f^{'} (p)$ の符号を調べる。

$p = - 1$ のとき： $f^{'} (- 1) = lo g 1 + \frac{- 1}{1} = - 1 < 0$ であり、傾きが正という条件に合わない。
$p = 2$ のとき： $f^{'} (2) = lo g 4 + \frac{2}{4} = 2 lo g 2 + \frac{1}{2} > 0$ であり、条件を満たす。

よって直線 $ℓ$ は原点と傾き $2 lo g 2 + \frac{1}{2}$ をもつ直線であり、方程式は

y = (2 lo g 2 + \frac{1}{2}) x

である。

接点 $x = 2$ において、曲線上の値は $f (2) = 2 lo g 4 + 1 = 4 lo g 2 + 1$ 、直線上の値は $(2 lo g 2 + \frac{1}{2}) \cdot 2 = 4 lo g 2 + 1$ で一致している。

$p = - 1$ を傾き正の条件で除外する過程を必ず明記する。ここを書かずに $p = 2$ だけ出すと減点対象になる。

(2)曲線 $C : y = x lo g (x + 2) + 1 (x > - 2)$ が下に凸であることを証明する

答 $x > - 2$ でつねに $f^{''} (x) = \frac{x + 4}{( x + 2 ) ^{2}} > 0$ となるため下に凸

$f^{'} (x)$ をもう一度微分して $f^{''} (x)$ の符号が $x > - 2$ の全域で正であることを示す。

$f^{'} (x) = lo g (x + 2) + \frac{x}{x + 2} = lo g (x + 2) + 1 - \frac{2}{x + 2}$ を微分すると

f^{''} (x) = \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x + 4}{( x + 2 ) ^{2}}

となる。定義域 $x > - 2$ において、分子 $x + 4 > 2 > 0$ 、分母 $(x + 2)^{2} > 0$ であるから、 $x > - 2$ のすべての $x$ に対して

f^{''} (x) > 0

が成り立つ。したがって曲線 $C$ は下に凸である。

(3)曲線 $C$ 、直線 $ℓ$ 、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める

答 $2 - 2 lo g 2$

(2) の下に凸性より $C$ はつねに接線 $ℓ$ の上側にある。区間 $[0, 2]$ で上端 $f (x)$ から下端 $ℓ (x)$ を引いて積分し、 $x lo g (x + 2)$ は $x^{2} - 4$ の原始関数を使うと計算が簡潔になる。

(2) より $C$ は $x > - 2$ で下に凸であるから、 $x = 2$ における接線 $ℓ$ は $C$ と接点 $(2, 4 lo g 2 + 1)$ だけで共有点をもち、 $0 ≦ x ≦ 2$ において $f (x) ≧ (2 lo g 2 + \frac{1}{2}) x$ が成り立つ。よって求める面積 $S$ は

S = \int_{0}^{2} {x lo g (x + 2) + 1 - (2 lo g 2 + \frac{1}{2}) x} d x

である。 $(\frac{x ^{2} - 4}{2})^{'} = x$ を用いて部分積分を行うと、分母 $x + 2$ を約分できる。

\int_{0}^{2} x lo g (x + 2) d x = [\frac{x ^{2} - 4}{2} lo g (x + 2)]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x ^{2} - 4}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} d x = (0 - (- 2 lo g 2)) - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x - 2) d x = 2 lo g 2 - \frac{1}{2} [\frac{( x - 2 ) ^{2}}{2}]_{0}^{2} = 2 lo g 2 - \frac{1}{2} (0 - 1) = 2 lo g 2 + 1

残りの項を積分すると

\int_{0}^{2} {1 - (2 lo g 2 + \frac{1}{2}) x} d x = [x - (lo g 2 + \frac{1}{4}) x^{2}]_{0}^{2} = 2 - 4 lo g 2 - 1 = 1 - 4 lo g 2

となるので、両者を合わせて

S = (2 lo g 2 + 1) + (1 - 4 lo g 2) = 2 - 2 lo g 2

を得る。

曲線

C : y = x lo g (x + 2) + 1

、接線

ℓ : y = (2 lo g 2 + \frac{1}{2}) x

、および

y

軸で囲まれた領域（網かけ）。

底辺 $2$ （ $x = 0$ から $2$ ）、高さの差が $x = 0$ で $1$ の直角三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ であり、曲線が下に凸なので面積は $1$ より小さいはずである。実際 $2 - 2 lo g 2 \approx 2 - 2 \times 0.693 = 0.614 < 1$ となり整合する。

部分積分で $(\frac{x ^{2}}{2})^{'} = x$ とおいても解けるが、 $\frac{x ^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ の多項式割り算が必要になり符号ミスが起きやすい。 $\frac{x ^{2} - 4}{2}$ を使うと割り切れて計算が半分になる。

囲まれる領域の上下関係を「曲線 $C$ は下に凸なので接線 $ℓ$ の上側にある」と (2) を用いて必ず論述する。

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