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電気通信大学　2019年度　前期日程　情報理工学域

第1問微分積分の解答・解説

対数関数の微分・2階微分で単調性を見る・部分積分・曲線と x 軸で囲む面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i) $f (x) = (2 e - x) lo g x$ （ $x > 0$ ）について $f (x) = 0$ をみたす $x$ をすべて求める

答 $x = 1, 2 e$

積が $0$ なので、どちらかの因数が $0$ 。

$(2 e - x) lo g x = 0$ は $2 e - x = 0$ または $lo g x = 0$ である。 $x > 0$ の範囲で

x = 2 e, x = 1

である。

$f (1) = f (2 e) = 0$ だった。

(ii) $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = - lo g x + \frac{2 e}{x} - 1$ 、 $f^{''} (x) = - \frac{x + 2 e}{x ^{2}}$

積の微分。 $f^{''}$ は分母をそろえる。

f^{'} (x) = - lo g x + (2 e - x) \cdot \frac{1}{x} = - lo g x + \frac{2 e}{x} - 1

である。もう一度微分すると

f^{''} (x) = - \frac{1}{x} - \frac{2 e}{x ^{2}} = - \frac{x + 2 e}{x ^{2}}

である。

$x > 0$ では $f^{''} < 0$ 。つまり $f^{'}$ はつねに減少する。これが (iii) のかぎになる。

$x = 0.5, 1, 3, 6$ で数値微分と一致した。

(iii) $f (x)$ の極値を求める

答 $x = e$ で極大値 $e$ （極小値はない）

$f^{''} < 0$ より $f^{'}$ は減少。 $f^{'} (e) = 0$ に気づけばよい。

(ii) より $x > 0$ で $f^{''} < 0$ なので、 $f^{'}$ は狭義単調減少である。また

f^{'} (e) = - 1 + \frac{2 e}{e} - 1 = - 1 + 2 - 1 = 0

なので、 $f^{'}$ は $0 < x < e$ で正、 $x > e$ で負である。したがって $x = e$ で極大になり

f (e) = (2 e - e) lo g e = e

が極大値である。極小値はない。

$f^{'}$ が減少するので $f^{'} = 0$ の解はたかだか1つ。 $x = e$ で $0$ になることに気づけば、それが唯一の解だと言い切れる。

$1 < x < 6$ を $40$ 万点走査すると最大は $x = 2.7182875$ で値 $2.7182818 = e$ だった。

(iv)不定積分 $I = \int x lo g x d x$ を求める

答 $I = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4}$ （積分定数は省略）

部分積分。 $lo g x$ を微分する側にとる。

I = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4}

である。

数値微分すると $x lo g x$ と一致した。

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = 2 e^{2} lo g 2 - e^{2} + 2 e - \frac{1}{4}$

$1 ≦ x ≦ 2 e$ で $f ≧ 0$ 。 $\int lo g x d x$ と (iv) を使う。

(i) より $f = 0$ は $x = 1, 2 e$ だけで、その間では $f > 0$ （たとえば $f (e) = e > 0$ ）である。 $x < 1$ でも $x > 2 e$ でも $f < 0$ なので、囲まれる部分は $1 ≦ x ≦ 2 e$ の1つだけである。

S = \int_{1}^{2 e} (2 e - x) lo g x d x = 2 e \int_{1}^{2 e} lo g x d x - \int_{1}^{2 e} x lo g x d x

である。 $\int lo g x d x = x lo g x - x$ なので

\int_{1}^{2 e} lo g x d x = (2 e lo g 2 e - 2 e) - (0 - 1) = 2 e lo g 2 + 1

である（ $lo g 2 e = lo g 2 + 1$ ）。また (iv) より

\int_{1}^{2 e} x lo g x d x = (2 e^{2} lo g 2 e - e^{2}) - (- \frac{1}{4}) = 2 e^{2} lo g 2 + e^{2} + \frac{1}{4}

である。したがって

S = (4 e^{2} lo g 2 + 2 e) - (2 e^{2} lo g 2 + e^{2} + \frac{1}{4}) = 2 e^{2} lo g 2 - e^{2} + 2 e - \frac{1}{4}

である（ $8.0409 \dots$ ）。

y = f(x) のグラフ。x = 1 と x = 2e で x 軸と交わり、x = e で極大 e。塗った部分が S。

数値積分すると $8.0409144$ で、式の値も $8.0409144$ だった。

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問題文について

(i)f(x)=(2e−x)logx（x>0）について f(x)=0 をみたす x をすべて求める

(ii)f′(x) と f′′(x) を求める

(iii)f(x) の極値を求める

(iv)不定積分 I=∫xlogxdx を求める

(v)曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める

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