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電気通信大学　2019年度　前期日程　情報理工学域

電通大 2019年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分積分

対数関数の微分・2階微分で単調性を見る・部分積分・曲線と x 軸で囲む面積当サイトの体感難易度：標準

(i) $f (x) = (2 e - x) lo g x$ （ $x > 0$ ）について $f (x) = 0$ をみたす $x$ をすべて求める

答 $x = 1, 2 e$

積が $0$ なので、どちらかの因数が $0$ 。

$(2 e - x) lo g x = 0$ は $2 e - x = 0$ または $lo g x = 0$ である。 $x > 0$ の範囲で

x = 2 e, x = 1

である。

$f (1) = f (2 e) = 0$ だった。

(ii) $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = - lo g x + \frac{2 e}{x} - 1$ 、 $f^{''} (x) = - \frac{x + 2 e}{x ^{2}}$

積の微分。 $f^{''}$ は分母をそろえる。

f^{'} (x) = - lo g x + (2 e - x) \cdot \frac{1}{x} = - lo g x + \frac{2 e}{x} - 1

である。もう一度微分すると

f^{''} (x) = - \frac{1}{x} - \frac{2 e}{x ^{2}} = - \frac{x + 2 e}{x ^{2}}

である。

$x > 0$ では $f^{''} < 0$ 。つまり $f^{'}$ はつねに減少する。これが (iii) のかぎになる。

$x = 0.5, 1, 3, 6$ で数値微分と一致した。

(iii) $f (x)$ の極値を求める

答 $x = e$ で極大値 $e$ （極小値はない）

$f^{''} < 0$ より $f^{'}$ は減少。 $f^{'} (e) = 0$ に気づけばよい。

(ii) より $x > 0$ で $f^{''} < 0$ なので、 $f^{'}$ は狭義単調減少である。また

f^{'} (e) = - 1 + \frac{2 e}{e} - 1 = - 1 + 2 - 1 = 0

なので、 $f^{'}$ は $0 < x < e$ で正、 $x > e$ で負である。したがって $x = e$ で極大になり

f (e) = (2 e - e) lo g e = e

が極大値である。極小値はない。

$f^{'}$ が減少するので $f^{'} = 0$ の解はたかだか1つ。 $x = e$ で $0$ になることに気づけば、それが唯一の解だと言い切れる。

$1 < x < 6$ を $40$ 万点走査すると最大は $x = 2.7182875$ で値 $2.7182818 = e$ だった。

(iv)不定積分 $I = \int x lo g x d x$ を求める

答 $I = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4}$ （積分定数は省略）

部分積分。 $lo g x$ を微分する側にとる。

I = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4}

である。

数値微分すると $x lo g x$ と一致した。

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = 2 e^{2} lo g 2 - e^{2} + 2 e - \frac{1}{4}$

$1 ≦ x ≦ 2 e$ で $f ≧ 0$ 。 $\int lo g x d x$ と (iv) を使う。

(i) より $f = 0$ は $x = 1, 2 e$ だけで、その間では $f > 0$ （たとえば $f (e) = e > 0$ ）である。 $x < 1$ でも $x > 2 e$ でも $f < 0$ なので、囲まれる部分は $1 ≦ x ≦ 2 e$ の1つだけである。

S = \int_{1}^{2 e} (2 e - x) lo g x d x = 2 e \int_{1}^{2 e} lo g x d x - \int_{1}^{2 e} x lo g x d x

である。 $\int lo g x d x = x lo g x - x$ なので

\int_{1}^{2 e} lo g x d x = (2 e lo g 2 e - 2 e) - (0 - 1) = 2 e lo g 2 + 1

である（ $lo g 2 e = lo g 2 + 1$ ）。また (iv) より

\int_{1}^{2 e} x lo g x d x = (2 e^{2} lo g 2 e - e^{2}) - (- \frac{1}{4}) = 2 e^{2} lo g 2 + e^{2} + \frac{1}{4}

である。したがって

S = (4 e^{2} lo g 2 + 2 e) - (2 e^{2} lo g 2 + e^{2} + \frac{1}{4}) = 2 e^{2} lo g 2 - e^{2} + 2 e - \frac{1}{4}

である（ $8.0409 \dots$ ）。

y = f(x) のグラフ。x = 1 と x = 2e で x 軸と交わり、x = e で極大 e。塗った部分が S。

数値積分すると $8.0409144$ で、式の値も $8.0409144$ だった。

第1問だけのページ

第2問　三角関数・積分

2倍角の公式・sin x の3次式に直す・重解と接する形・1/sin x の積分当サイトの体感難易度：やや難

(i) $f (x) = \frac{1}{sin x} - 2 cos 2 x - 1$ （ $0 < x < π$ ）の $f^{'} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = \frac{cos x ( 8 sin ^{3} x - 1 )}{sin ^{2} x}$

$(sin x)^{- 1}$ の微分と $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を使ってまとめる。

f^{'} (x) = - \frac{cos x}{sin ^{2} x} + 4 sin 2 x = - \frac{cos x}{sin ^{2} x} + 8 sin x cos x

である。 $cos x$ でくくり、分母を $sin^{2} x$ にそろえると

f^{'} (x) = \frac{cos x ( 8 sin ^{3} x - 1 )}{sin ^{2} x}

である。

$x = 0.4, 1, 2, 2.8$ で数値微分と一致した。

(ii) $0 < x < π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ をすべて求める

答 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

$2 cos 2 x + 1 = 3 - 4 sin^{2} x$ 。 $s = sin x$ の3次方程式になる。

$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ なので $2 cos 2 x + 1 = 3 - 4 sin^{2} x$ である。 $s = sin x$ （ $0 < s ≦ 1$ ）とおくと

f = \frac{1}{s} - 3 + 4 s^{2}

である。 $f = 0$ の両辺に $s > 0$ を掛けると

4 s^{3} - 3 s + 1 = 0, (s + 1) (2 s - 1)^{2} = 0

となる。 $0 < s ≦ 1$ より $s = \frac{1}{2}$ だけで、 $0 < x < π$ では

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

である。

$(2 s - 1)^{2}$ と重解になっているので、曲線は $x$ 軸に接する。(iii) の極小値が $0$ になるのはこのためである。

$f (\frac{π}{6})$ も $f (\frac{5 π}{6})$ も $0$ （誤差 $1 0^{- 16}$ ）だった。

(iii) $0 < x < π$ における $f (x)$ の極値をすべて求める

答 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ で極小値 $0$ 、 $x = \frac{π}{2}$ で極大値 $2$

(i) の形で $cos x$ と $8 sin^{3} x - 1$ の符号を追う。

$sin^{2} x > 0$ なので符号は $cos x$ と $8 sin^{3} x - 1$ で決まる。 $8 sin^{3} x - 1 > 0$ は $sin x > \frac{1}{2}$ 、つまり $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ である。

$0 < x < \frac{π}{6}$ ： $cos x > 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 < 0$ なので $f^{'} < 0$
$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}$ ： $cos x > 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 > 0$ なので $f^{'} > 0$
$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}$ ： $cos x < 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 > 0$ なので $f^{'} < 0$
$\frac{5 π}{6} < x < π$ ： $cos x < 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 < 0$ なので $f^{'} > 0$

よって $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ で極小、 $x = \frac{π}{2}$ で極大である。値は (ii) の $f = \frac{1}{s} + 4 s^{2} - 3$ に $s = \frac{1}{2}, 1$ を入れて

f (\frac{π}{6}) = f (\frac{5 π}{6}) = 2 + 1 - 3 = 0, f (\frac{π}{2}) = 1 + 4 - 3 = 2

である。

y = f(x)（0 < x < π）。x = π/6 と x = 5π/6 で x 軸に接し（極小 0）、x = π/2 で極大 2。両端では +∞ に発散する。塗った部分が (v) の面積。

$(0, π)$ の $20$ 万点走査で最小は $0$ 、 $f (\frac{π}{2}) = 2$ だった。

(iv)不定積分 $I = \int \frac{d x}{sin x}$ を求める

答 $I = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x}$ （積分定数は省略）

分母分子に $sin x$ を掛けて $u = cos x$ と置換する。

I = \int \frac{sin x}{sin ^{2} x} d x = \int \frac{sin x}{1 - cos ^{2} x} d x

である。 $u = cos x$ とおくと $d u = - sin x d x$ なので

I = - \int \frac{d u}{1 - u ^{2}} = - \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}) d u = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - u}{1 + u}

である（ $0 < x < π$ では $- 1 < u < 1$ なので絶対値は外せる）。 $u = cos x$ に戻して

I = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x}

である（ $= lo g tan \frac{x}{2}$ とも書ける）。

$x = 0.5, 1.5, 2.5$ で数値微分すると $\frac{1}{sin x}$ と一致した。

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = 2 lo g (2 + 3) + 3 - \frac{2 π}{3}$

$f ≧ 0$ で、 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ で接する。その間を積分する。

(ii) より $s f = 4 s^{3} - 3 s + 1 = (s + 1) (2 s - 1)^{2} ≧ 0$ で $s > 0$ だから、 $0 < x < π$ でつねに $f ≧ 0$ である。 $x$ 軸と囲むのは、接する2点のあいだ $\frac{π}{6} ≦ x ≦ \frac{5 π}{6}$ だけである。

S = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (\frac{1}{sin x} - 2 cos 2 x - 1) d x = [\frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x} - sin 2 x - x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}}

である。 $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ なので

\frac{1 - cos x}{1 + cos x} = \frac{2 + 3}{2 - 3} = (2 + 3)^{2}

で、対数の項は $lo g (2 + 3)$ である。同じように $x = \frac{π}{6}$ では $lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)$ になる。また $sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}$ 、 $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ である。よって

S = {lo g (2 + 3) + \frac{3}{2} - \frac{5 π}{6}} - {- lo g (2 + 3) - \frac{3}{2} - \frac{π}{6}}

すなわち

S = 2 lo g (2 + 3) + 3 - \frac{2 π}{3}

である（ $2.2716 \dots$ ）。

$(2 + 3) (2 - 3) = 1$ なので $lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)$ 。だから対数の項が2倍になる。

数値積分すると $2.2715715$ で、式の値も $2.2715715$ だった。

$f ≧ 0$ なので「 $x$ 軸と囲む」のは接点どうしのあいだだけ。両端 $x \to 0, π$ では発散するので、そこまで積分しない。

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第3問　2次曲線

双曲線の漸近線・点と直線の距離・陰関数の微分・直線が通過する領域当サイトの体感難易度：やや難

(i)双曲線 $C : \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} = 1$ の2つの漸近線のうち、 $C$ 上の点 $(5, 6)$ との距離が小さいほうの漸近線 $ℓ_{1}$ の方程式と、その距離 $d$ を求める

答 $ℓ_{1} : y = 2 x$ 、 $d = \frac{4 5}{5}$

漸近線は $y = \pm \frac{8}{4} x = \pm 2 x$ 。点と直線の距離の公式で比べる。

$\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} = 0$ から漸近線は $y = \pm 2 x$ である。 $(5, 6)$ は $\frac{25}{16} - \frac{36}{64} = \frac{25 - 9}{16} = 1$ で確かに $C$ 上にある。

(2 x - y = 0 との距離) = \frac{∣ 10 - 6 ∣}{5} = \frac{4}{5}, (2 x + y = 0) = \frac{∣ 10 + 6 ∣}{5} = \frac{16}{5}

なので、近いほうは $y = 2 x$ で

d = \frac{4}{5} = \frac{4 5}{5}

である。

数値では $1.7888544$ と $7.1554175$ で、 $\frac{4}{5} = 1.7888544$ と一致した。

(ii) $C$ 上の点 $(5, 6)$ における $C$ の接線の傾きを求める

答 $\frac{10}{3}$

両辺を $x$ で微分する（陰関数の微分）。

\frac{2 x}{16} - \frac{2 y y ^{'}}{64} = 0, y^{'} = \frac{4 x}{y}

である。 $(5, 6)$ を入れると

y^{'} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}

である。

$\frac{4 x}{y} = \frac{20}{6} = 3.3333333 = \frac{10}{3}$ だった。

(iii)(ア) $ℓ : 2 (m^{2} + 1) x - (m^{2} - 1) y = 16 m$ が点 $(1, 6)$ を通るような $m$ をすべて求める

答 $m = - 2 \pm 6$

代入して $m$ の2次方程式にする。

2 (m^{2} + 1) - 6 (m^{2} - 1) = 16 m

すなわち $- 4 m^{2} + 8 = 16 m$ 、整理して

m^{2} + 4 m - 2 = 0, m = - 2 \pm 6

である。

$m = - 2 \pm 6$ で左辺と右辺が一致した。

(iii)(イ) $m$ が実数全体を動くとき、 $ℓ$ が通過する領域 $D$ を表す不等式を求める

答 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} ≦ 1$ （つまり $4 x^{2} - y^{2} ≦ 64$ ）

$m$ についての2次方程式とみて、実数解をもつ条件を書く。

$ℓ$ の式を $m$ について整理すると

(2 x - y) m^{2} - 16 m + (2 x + y) = 0

である。点 $(x, y)$ が $D$ に属することは、この $m$ の方程式が実数解をもつことと同じである。

$2 x - y \neq = 0$ のとき：2次方程式なので判別式 $≧ 0$ 、つまり $256 - 4 (2 x - y) (2 x + y) ≧ 0$
$2 x - y = 0$ のとき： $- 16 m + 4 x = 0$ から $m = \frac{x}{4}$ でつねに解がある。このとき $4 x^{2} - y^{2} = 0 ≦ 64$

である。前者を整理すると

(2 x - y) (2 x + y) = 4 x^{2} - y^{2} ≦ 64

で、後者もこれに含まれる。よって $D$ は

4 x^{2} - y^{2} ≦ 64, すなわち \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} ≦ 1

である。

境界は双曲線 $C$ そのもの。 $D$ は「 $C$ の2つの枝にはさまれた側」である。

双曲線 C と漸近線 y = ±2x（点線）。領域 D は 2 つの枝にはさまれた側（境界を含む）で、塗った部分。直線 ℓ はこの中だけを動く。

$m$ と $x$ をランダムに $20$ 万通りとって $ℓ$ 上の点を作ると、 $4 x^{2} - y^{2} > 64$ になることは一度もなかった。

(iii)(ウ) $ℓ$ が $C$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ を通るとき、 $m$ を $x_{1}, y_{1}$ の1次式で表す

答 $m = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{8}$

$C$ 上では判別式が $0$ になり、重解 $m = \frac{8}{2 x _{1} - y _{1}}$ 。 $(2 x_{1} - y_{1}) (2 x_{1} + y_{1}) = 64$ で書き直す。

$(x_{1}, y_{1})$ が $C$ 上なら $4 x_{1}^{2} - y_{1}^{2} = 64$ 、つまり $(2 x_{1} - y_{1}) (2 x_{1} + y_{1}) = 64$ である。(イ) の2次方程式の判別式は

256 - 4 (2 x_{1} - y_{1}) (2 x_{1} + y_{1}) = 256 - 4 \cdot 64 = 0

なので重解で、 $2 x_{1} - y_{1} \neq = 0$ （積が $64 \neq = 0$ だから）より

m = \frac{16}{2 ( 2 x _{1} - y _{1} )} = \frac{8}{2 x _{1} - y _{1}}

である。 $\frac{1}{2 x _{1} - y _{1}} = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{64}$ を使うと

m = \frac{8 ( 2 x _{1} + y _{1} )}{64} = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{8}

である。

判別式が $0$ ということは、 $C$ 上の点を通る $ℓ$ はただ1つで、しかもそこで $C$ に接している。実際 $(5, 6)$ では $m = \frac{10 + 6}{8} = 2$ で、 $ℓ$ は $10 x - 3 y = 32$ 、傾き $\frac{10}{3}$ 。(ii) の接線の傾きと一致する。

$C$ 上の4点で $m = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{8}$ とすると $ℓ$ の式の残差が $1 0^{- 14}$ 以下だった。

第3問だけのページ

第4問　確率

さいころと数直線・余りで分ける・確率の漸化式・極限当サイトの体感難易度：やや難

[I](i)さいころを投げ、 $1, 3, 5$ なら $P$ を $+ 2$ 、 $6$ なら $+ 1$ 、 $2, 4$ なら動かさない。原点から始めて $n$ 回後の座標が $2$ の倍数である確率を $p_{n}$ とするとき、 $p_{1}, p_{2}$ を求める

答 $p_{1} = \frac{5}{6}$ 、 $p_{2} = \frac{13}{18}$

$2$ の倍数かどうかは、 $+ 1$ （確率 $\frac{1}{6}$ ）のときだけ変わる。

$1$ 回の移動量は $+ 2$ （確率 $\frac{1}{2}$ ）、 $+ 1$ （確率 $\frac{1}{6}$ ）、 $0$ （確率 $\frac{1}{3}$ ）である。偶奇は $+ 1$ のときだけ変わる。

$1$ 回後は、 $+ 2$ か $0$ なら偶数のままなので

p_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

である。 $2$ 回後は

p_{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{36} + \frac{1}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}

である（偶数のまま、または奇数から奇数へ戻る）。

分数のまま計算して $p_{1} = \frac{5}{6}$ 、 $p_{2} = \frac{13}{18}$ を確かめた。

[I](ii) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ で表し、 $p_{n}$ を $n$ の式で表す

答 $p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6}$ 、 $p_{n} = \frac{1}{2} {1 + (\frac{2}{3})^{n}}$

偶奇が変わるのは確率 $\frac{1}{6}$ 。特性方程式の解 $\frac{1}{2}$ を引く。

$n$ 回後に偶数なら、 $n + 1$ 回後も偶数である確率は $\frac{5}{6}$ 。奇数なら偶数になる確率は $\frac{1}{6}$ 。よって

p_{n + 1} = \frac{5}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6}

である。 $p = \frac{2}{3} p + \frac{1}{6}$ を解くと $p = \frac{1}{2}$ なので

p_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} (p_{n} - \frac{1}{2})

である。 $p_{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ だから

p_{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n - 1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n}, p_{n} = \frac{1}{2} {1 + (\frac{2}{3})^{n}}

である。

漸化式を分数のまま回すと、 $n = 1$ から $11$ までこの式と一致した。

[II](iii) $n$ 回後の座標が $3$ の倍数である確率を $q_{n}$ とするとき、 $q_{2}$ を求める

答 $q_{2} = \frac{5}{18}$

座標を $3$ で割った余りで分けて、 $2$ 回ぶんを数える。

$1$ 回の移動量を $3$ で割った余りは、 $2$ （確率 $\frac{1}{2}$ ）、 $1$ （確率 $\frac{1}{6}$ ）、 $0$ （確率 $\frac{1}{3}$ ）である。

$2$ 回で余りの和が $3$ の倍数になるのは、 $(0, 0)$ 、 $(1, 2)$ 、 $(2, 1)$ のときなので

q_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{18}

である。

余りの分布を分数のまま追うと $q_{2} = \frac{5}{18}$ になった。

[II](iv) $q_{n + 2}$ を $q_{n}$ で表す

答 $q_{n + 2} = - \frac{1}{12} q_{n} + \frac{13}{36}$

$2$ 回ぶんの移動量の余りを先に計算する。 $1$ と $2$ の確率が等しくなるのがポイント。

$2$ 回ぶんの移動量を $3$ で割った余りの分布を計算すると

余り $0$ ： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$
余り $1$ ： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{36}$
余り $2$ ： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{13}{36}$

である。余り $1$ と $2$ の確率がどちらも $\frac{13}{36}$ で等しいのがかぎ。だから、 $n$ 回後に $3$ の倍数でない（余りが $1$ でも $2$ でも）場合、 $2$ 回後に $3$ の倍数になる確率はどちらも $\frac{13}{36}$ である。したがって

q_{n + 2} = \frac{5}{18} q_{n} + \frac{13}{36} (1 - q_{n}) = - \frac{3}{36} q_{n} + \frac{13}{36} = - \frac{1}{12} q_{n} + \frac{13}{36}

である。

$n = 1$ から $10$ まで、分数のまま計算した $q_{n}$ がこの関係をみたした。

[II](v) $q_{n}$ を求め、 $n \to \infty lim q_{n}$ を求める

答 $n$ が奇数なら $q_{n} = \frac{1}{3}$ 、 $n = 2 m$ （偶数）なら $q_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{12})^{m}$ 。極限は $\frac{1}{3}$

$q_{n + 2} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} (q_{n} - \frac{1}{3})$ 。偶奇で初項が違う。

$q = - \frac{1}{12} q + \frac{13}{36}$ を解くと $q = \frac{1}{3}$ なので

q_{n + 2} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} (q_{n} - \frac{1}{3})

である。 $q_{1}$ は $1$ 回で余りが $0$ になる確率だから $q_{1} = \frac{1}{3}$ で、 $q_{1} - \frac{1}{3} = 0$ 。よって奇数番目はすべて

q_{n} = \frac{1}{3} (n が奇数)

である。偶数番目は $q_{2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{18} - \frac{6}{18} = - \frac{1}{18}$ なので、 $n = 2 m$ のとき

q_{2 m} - \frac{1}{3} = (- \frac{1}{12})^{m - 1} (- \frac{1}{18}) = \frac{2}{3} (- \frac{1}{12})^{m}

である（ $- \frac{1}{18} = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{12})$ ）。すなわち

q_{2 m} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{12})^{m}

である。 $- \frac{1}{12} < 1$ なので $m \to \infty$ で $0$ に行き、奇数番目は $\frac{1}{3}$ そのものだから

n \to \infty lim q_{n} = \frac{1}{3}

である。

奇数回ではちょうど $\frac{1}{3}$ になる。 $1$ 回の移動量の余りが $0, 1, 2$ で $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}$ と偏っているのに、こうなるのは面白い。偶奇で挙動が違うので、漸化式は $q_{n + 1}$ ではなく $q_{n + 2}$ で立てるのが自然である。

全探索した $q_{1}, \dots, q_{6} = \frac{1}{3}, \frac{5}{18}, \frac{1}{3}, \frac{73}{216}, \frac{1}{3}, \frac{863}{2592}$ が式と一致した。

$q_{n + 1}$ を $q_{n}$ だけで書くことはできない（余り $1$ と $2$ の確率が違うため）。 $2$ 回分まとめると対称になる。

第4問だけのページ

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(i)f(x)=(2e−x)logx（x>0）について f(x)=0 をみたす x をすべて求める

(ii)f′(x) と f′′(x) を求める

(iii)f(x) の極値を求める

(iv)不定積分 I=∫xlogxdx を求める

(v)曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める

(i)f(x)=sinx1​−2cos2x−1（0<x<π）の f′(x) を求める

(ii)0<x<π で f(x)=0 をみたす x をすべて求める

(iii)0<x<π における f(x) の極値をすべて求める

(iv)不定積分 I=∫sinxdx​ を求める

(v)曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求める

(i)双曲線 C:16x2​−64y2​=1 の2つの漸近線のうち、C 上の点 (5,6) との距離が小さいほうの漸近線 ℓ1​ の方程式と、その距離 d を求める

(ii)C 上の点 (5,6) における C の接線の傾きを求める

(iii)(ア)ℓ:2(m2+1)x−(m2−1)y=16m が点 (1,6) を通るような m をすべて求める

(iii)(イ)m が実数全体を動くとき、ℓ が通過する領域 D を表す不等式を求める

(iii)(ウ)ℓ が C 上の点 (x1​,y1​) を通るとき、m を x1​,y1​ の1次式で表す

[I](i)さいころを投げ、1,3,5 なら P を +2、6 なら +1、2,4 なら動かさない。原点から始めて n 回後の座標が 2 の倍数である確率を pn​ とするとき、p1​,p2​ を求める

[I](ii)pn+1​ を pn​ で表し、pn​ を n の式で表す

[II](iii)n 回後の座標が 3 の倍数である確率を qn​ とするとき、q2​ を求める

[II](iv)qn+2​ を qn​ で表す

[II](v)qn​ を求め、n→∞lim​qn​ を求める

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(iii) $f (x)$ の極値を求める

(iv)不定積分 $I = \int x lo g x d x$ を求める

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(ii) $0 < x < π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ をすべて求める

(iii) $0 < x < π$ における $f (x)$ の極値をすべて求める

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[I](ii) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ で表し、 $p_{n}$ を $n$ の式で表す

[II](iii) $n$ 回後の座標が $3$ の倍数である確率を $q_{n}$ とするとき、 $q_{2}$ を求める

[II](iv) $q_{n + 2}$ を $q_{n}$ で表す

[II](v) $q_{n}$ を求め、 $n \to \infty lim q_{n}$ を求める