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電気通信大学　2019年度　前期日程　情報理工学域

第4問確率の解答・解説

さいころと数直線・余りで分ける・確率の漸化式・極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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[I](i)さいころを投げ、 $1, 3, 5$ なら $P$ を $+ 2$ 、 $6$ なら $+ 1$ 、 $2, 4$ なら動かさない。原点から始めて $n$ 回後の座標が $2$ の倍数である確率を $p_{n}$ とするとき、 $p_{1}, p_{2}$ を求める

答 $p_{1} = \frac{5}{6}$ 、 $p_{2} = \frac{13}{18}$

$2$ の倍数かどうかは、 $+ 1$ （確率 $\frac{1}{6}$ ）のときだけ変わる。

$1$ 回の移動量は $+ 2$ （確率 $\frac{1}{2}$ ）、 $+ 1$ （確率 $\frac{1}{6}$ ）、 $0$ （確率 $\frac{1}{3}$ ）である。偶奇は $+ 1$ のときだけ変わる。

$1$ 回後は、 $+ 2$ か $0$ なら偶数のままなので

p_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

である。 $2$ 回後は

p_{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{36} + \frac{1}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}

である（偶数のまま、または奇数から奇数へ戻る）。

分数のまま計算して $p_{1} = \frac{5}{6}$ 、 $p_{2} = \frac{13}{18}$ を確かめた。

[I](ii) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ で表し、 $p_{n}$ を $n$ の式で表す

答 $p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6}$ 、 $p_{n} = \frac{1}{2} {1 + (\frac{2}{3})^{n}}$

偶奇が変わるのは確率 $\frac{1}{6}$ 。特性方程式の解 $\frac{1}{2}$ を引く。

$n$ 回後に偶数なら、 $n + 1$ 回後も偶数である確率は $\frac{5}{6}$ 。奇数なら偶数になる確率は $\frac{1}{6}$ 。よって

p_{n + 1} = \frac{5}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6}

である。 $p = \frac{2}{3} p + \frac{1}{6}$ を解くと $p = \frac{1}{2}$ なので

p_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} (p_{n} - \frac{1}{2})

である。 $p_{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ だから

p_{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n - 1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n}, p_{n} = \frac{1}{2} {1 + (\frac{2}{3})^{n}}

である。

漸化式を分数のまま回すと、 $n = 1$ から $11$ までこの式と一致した。

[II](iii) $n$ 回後の座標が $3$ の倍数である確率を $q_{n}$ とするとき、 $q_{2}$ を求める

答 $q_{2} = \frac{5}{18}$

座標を $3$ で割った余りで分けて、 $2$ 回ぶんを数える。

$1$ 回の移動量を $3$ で割った余りは、 $2$ （確率 $\frac{1}{2}$ ）、 $1$ （確率 $\frac{1}{6}$ ）、 $0$ （確率 $\frac{1}{3}$ ）である。

$2$ 回で余りの和が $3$ の倍数になるのは、 $(0, 0)$ 、 $(1, 2)$ 、 $(2, 1)$ のときなので

q_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{18}

である。

余りの分布を分数のまま追うと $q_{2} = \frac{5}{18}$ になった。

[II](iv) $q_{n + 2}$ を $q_{n}$ で表す

答 $q_{n + 2} = - \frac{1}{12} q_{n} + \frac{13}{36}$

$2$ 回ぶんの移動量の余りを先に計算する。 $1$ と $2$ の確率が等しくなるのがポイント。

$2$ 回ぶんの移動量を $3$ で割った余りの分布を計算すると

余り $0$ ： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$
余り $1$ ： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{36}$
余り $2$ ： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{13}{36}$

である。余り $1$ と $2$ の確率がどちらも $\frac{13}{36}$ で等しいのがかぎ。だから、 $n$ 回後に $3$ の倍数でない（余りが $1$ でも $2$ でも）場合、 $2$ 回後に $3$ の倍数になる確率はどちらも $\frac{13}{36}$ である。したがって

q_{n + 2} = \frac{5}{18} q_{n} + \frac{13}{36} (1 - q_{n}) = - \frac{3}{36} q_{n} + \frac{13}{36} = - \frac{1}{12} q_{n} + \frac{13}{36}

である。

$n = 1$ から $10$ まで、分数のまま計算した $q_{n}$ がこの関係をみたした。

[II](v) $q_{n}$ を求め、 $n \to \infty lim q_{n}$ を求める

答 $n$ が奇数なら $q_{n} = \frac{1}{3}$ 、 $n = 2 m$ （偶数）なら $q_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{12})^{m}$ 。極限は $\frac{1}{3}$

$q_{n + 2} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} (q_{n} - \frac{1}{3})$ 。偶奇で初項が違う。

$q = - \frac{1}{12} q + \frac{13}{36}$ を解くと $q = \frac{1}{3}$ なので

q_{n + 2} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} (q_{n} - \frac{1}{3})

である。 $q_{1}$ は $1$ 回で余りが $0$ になる確率だから $q_{1} = \frac{1}{3}$ で、 $q_{1} - \frac{1}{3} = 0$ 。よって奇数番目はすべて

q_{n} = \frac{1}{3} (n が奇数)

である。偶数番目は $q_{2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{18} - \frac{6}{18} = - \frac{1}{18}$ なので、 $n = 2 m$ のとき

q_{2 m} - \frac{1}{3} = (- \frac{1}{12})^{m - 1} (- \frac{1}{18}) = \frac{2}{3} (- \frac{1}{12})^{m}

である（ $- \frac{1}{18} = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{12})$ ）。すなわち

q_{2 m} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{12})^{m}

である。 $- \frac{1}{12} < 1$ なので $m \to \infty$ で $0$ に行き、奇数番目は $\frac{1}{3}$ そのものだから

n \to \infty lim q_{n} = \frac{1}{3}

である。

奇数回ではちょうど $\frac{1}{3}$ になる。 $1$ 回の移動量の余りが $0, 1, 2$ で $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}$ と偏っているのに、こうなるのは面白い。偶奇で挙動が違うので、漸化式は $q_{n + 1}$ ではなく $q_{n + 2}$ で立てるのが自然である。

全探索した $q_{1}, \dots, q_{6} = \frac{1}{3}, \frac{5}{18}, \frac{1}{3}, \frac{73}{216}, \frac{1}{3}, \frac{863}{2592}$ が式と一致した。

$q_{n + 1}$ を $q_{n}$ だけで書くことはできない（余り $1$ と $2$ の確率が違うため）。 $2$ 回分まとめると対称になる。

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問題文について

[I](i)さいころを投げ、1,3,5 なら P を +2、6 なら +1、2,4 なら動かさない。原点から始めて n 回後の座標が 2 の倍数である確率を pn​ とするとき、p1​,p2​ を求める

[I](ii)pn+1​ を pn​ で表し、pn​ を n の式で表す

[II](iii)n 回後の座標が 3 の倍数である確率を qn​ とするとき、q2​ を求める

[II](iv)qn+2​ を qn​ で表す

[II](v)qn​ を求め、n→∞lim​qn​ を求める

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