第2問三角関数・積分の解答・解説

2倍角の公式・sin x の3次式に直す・重解と接する形・1/sin x の積分当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i) $f (x) = \frac{1}{sin x} - 2 cos 2 x - 1$ （ $0 < x < π$ ）の $f^{'} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = \frac{cos x ( 8 sin ^{3} x - 1 )}{sin ^{2} x}$

$(sin x)^{- 1}$ の微分と $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を使ってまとめる。

f^{'} (x) = - \frac{cos x}{sin ^{2} x} + 4 sin 2 x = - \frac{cos x}{sin ^{2} x} + 8 sin x cos x

である。 $cos x$ でくくり、分母を $sin^{2} x$ にそろえると

f^{'} (x) = \frac{cos x ( 8 sin ^{3} x - 1 )}{sin ^{2} x}

である。

$x = 0.4, 1, 2, 2.8$ で数値微分と一致した。

(ii) $0 < x < π$ で $f (x) = 0$ をみたす $x$ をすべて求める

答 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

$2 cos 2 x + 1 = 3 - 4 sin^{2} x$ 。 $s = sin x$ の3次方程式になる。

$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ なので $2 cos 2 x + 1 = 3 - 4 sin^{2} x$ である。 $s = sin x$ （ $0 < s ≦ 1$ ）とおくと

f = \frac{1}{s} - 3 + 4 s^{2}

である。 $f = 0$ の両辺に $s > 0$ を掛けると

4 s^{3} - 3 s + 1 = 0, (s + 1) (2 s - 1)^{2} = 0

となる。 $0 < s ≦ 1$ より $s = \frac{1}{2}$ だけで、 $0 < x < π$ では

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

である。

$(2 s - 1)^{2}$ と重解になっているので、曲線は $x$ 軸に接する。(iii) の極小値が $0$ になるのはこのためである。

$f (\frac{π}{6})$ も $f (\frac{5 π}{6})$ も $0$ （誤差 $1 0^{- 16}$ ）だった。

(iii) $0 < x < π$ における $f (x)$ の極値をすべて求める

答 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ で極小値 $0$ 、 $x = \frac{π}{2}$ で極大値 $2$

(i) の形で $cos x$ と $8 sin^{3} x - 1$ の符号を追う。

$sin^{2} x > 0$ なので符号は $cos x$ と $8 sin^{3} x - 1$ で決まる。 $8 sin^{3} x - 1 > 0$ は $sin x > \frac{1}{2}$ 、つまり $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ である。

$0 < x < \frac{π}{6}$ ： $cos x > 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 < 0$ なので $f^{'} < 0$
$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}$ ： $cos x > 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 > 0$ なので $f^{'} > 0$
$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}$ ： $cos x < 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 > 0$ なので $f^{'} < 0$
$\frac{5 π}{6} < x < π$ ： $cos x < 0$ 、 $8 sin^{3} x - 1 < 0$ なので $f^{'} > 0$

よって $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ で極小、 $x = \frac{π}{2}$ で極大である。値は (ii) の $f = \frac{1}{s} + 4 s^{2} - 3$ に $s = \frac{1}{2}, 1$ を入れて

f (\frac{π}{6}) = f (\frac{5 π}{6}) = 2 + 1 - 3 = 0, f (\frac{π}{2}) = 1 + 4 - 3 = 2

である。

y = f(x)（0 < x < π）。x = π/6 と x = 5π/6 で x 軸に接し（極小 0）、x = π/2 で極大 2。両端では +∞ に発散する。塗った部分が (v) の面積。

$(0, π)$ の $20$ 万点走査で最小は $0$ 、 $f (\frac{π}{2}) = 2$ だった。

(iv)不定積分 $I = \int \frac{d x}{sin x}$ を求める

答 $I = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x}$ （積分定数は省略）

分母分子に $sin x$ を掛けて $u = cos x$ と置換する。

I = \int \frac{sin x}{sin ^{2} x} d x = \int \frac{sin x}{1 - cos ^{2} x} d x

である。 $u = cos x$ とおくと $d u = - sin x d x$ なので

I = - \int \frac{d u}{1 - u ^{2}} = - \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}) d u = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - u}{1 + u}

である（ $0 < x < π$ では $- 1 < u < 1$ なので絶対値は外せる）。 $u = cos x$ に戻して

I = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x}

である（ $= lo g tan \frac{x}{2}$ とも書ける）。

$x = 0.5, 1.5, 2.5$ で数値微分すると $\frac{1}{sin x}$ と一致した。

(v)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める

答 $S = 2 lo g (2 + 3) + 3 - \frac{2 π}{3}$

$f ≧ 0$ で、 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ で接する。その間を積分する。

(ii) より $s f = 4 s^{3} - 3 s + 1 = (s + 1) (2 s - 1)^{2} ≧ 0$ で $s > 0$ だから、 $0 < x < π$ でつねに $f ≧ 0$ である。 $x$ 軸と囲むのは、接する2点のあいだ $\frac{π}{6} ≦ x ≦ \frac{5 π}{6}$ だけである。

S = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (\frac{1}{sin x} - 2 cos 2 x - 1) d x = [\frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x} - sin 2 x - x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}}

である。 $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ なので

\frac{1 - cos x}{1 + cos x} = \frac{2 + 3}{2 - 3} = (2 + 3)^{2}

で、対数の項は $lo g (2 + 3)$ である。同じように $x = \frac{π}{6}$ では $lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)$ になる。また $sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}$ 、 $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ である。よって