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電気通信大学　2019年度　前期日程　情報理工学域

第3問 2次曲線の解答・解説

双曲線の漸近線・点と直線の距離・陰関数の微分・直線が通過する領域当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(i)双曲線 $C : \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} = 1$ の2つの漸近線のうち、 $C$ 上の点 $(5, 6)$ との距離が小さいほうの漸近線 $ℓ_{1}$ の方程式と、その距離 $d$ を求める

答 $ℓ_{1} : y = 2 x$ 、 $d = \frac{4 5}{5}$

漸近線は $y = \pm \frac{8}{4} x = \pm 2 x$ 。点と直線の距離の公式で比べる。

$\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} = 0$ から漸近線は $y = \pm 2 x$ である。 $(5, 6)$ は $\frac{25}{16} - \frac{36}{64} = \frac{25 - 9}{16} = 1$ で確かに $C$ 上にある。

(2 x - y = 0 との距離) = \frac{∣ 10 - 6 ∣}{5} = \frac{4}{5}, (2 x + y = 0) = \frac{∣ 10 + 6 ∣}{5} = \frac{16}{5}

なので、近いほうは $y = 2 x$ で

d = \frac{4}{5} = \frac{4 5}{5}

である。

数値では $1.7888544$ と $7.1554175$ で、 $\frac{4}{5} = 1.7888544$ と一致した。

(ii) $C$ 上の点 $(5, 6)$ における $C$ の接線の傾きを求める

答 $\frac{10}{3}$

両辺を $x$ で微分する（陰関数の微分）。

\frac{2 x}{16} - \frac{2 y y ^{'}}{64} = 0, y^{'} = \frac{4 x}{y}

である。 $(5, 6)$ を入れると

y^{'} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}

である。

$\frac{4 x}{y} = \frac{20}{6} = 3.3333333 = \frac{10}{3}$ だった。

(iii)(ア) $ℓ : 2 (m^{2} + 1) x - (m^{2} - 1) y = 16 m$ が点 $(1, 6)$ を通るような $m$ をすべて求める

答 $m = - 2 \pm 6$

代入して $m$ の2次方程式にする。

2 (m^{2} + 1) - 6 (m^{2} - 1) = 16 m

すなわち $- 4 m^{2} + 8 = 16 m$ 、整理して

m^{2} + 4 m - 2 = 0, m = - 2 \pm 6

である。

$m = - 2 \pm 6$ で左辺と右辺が一致した。

(iii)(イ) $m$ が実数全体を動くとき、 $ℓ$ が通過する領域 $D$ を表す不等式を求める

答 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} ≦ 1$ （つまり $4 x^{2} - y^{2} ≦ 64$ ）

$m$ についての2次方程式とみて、実数解をもつ条件を書く。

$ℓ$ の式を $m$ について整理すると

(2 x - y) m^{2} - 16 m + (2 x + y) = 0

である。点 $(x, y)$ が $D$ に属することは、この $m$ の方程式が実数解をもつことと同じである。

$2 x - y \neq = 0$ のとき：2次方程式なので判別式 $≧ 0$ 、つまり $256 - 4 (2 x - y) (2 x + y) ≧ 0$
$2 x - y = 0$ のとき： $- 16 m + 4 x = 0$ から $m = \frac{x}{4}$ でつねに解がある。このとき $4 x^{2} - y^{2} = 0 ≦ 64$

である。前者を整理すると

(2 x - y) (2 x + y) = 4 x^{2} - y^{2} ≦ 64

で、後者もこれに含まれる。よって $D$ は

4 x^{2} - y^{2} ≦ 64, すなわち \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{64} ≦ 1

である。

境界は双曲線 $C$ そのもの。 $D$ は「 $C$ の2つの枝にはさまれた側」である。

双曲線 C と漸近線 y = ±2x（点線）。領域 D は 2 つの枝にはさまれた側（境界を含む）で、塗った部分。直線 ℓ はこの中だけを動く。

$m$ と $x$ をランダムに $20$ 万通りとって $ℓ$ 上の点を作ると、 $4 x^{2} - y^{2} > 64$ になることは一度もなかった。

(iii)(ウ) $ℓ$ が $C$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ を通るとき、 $m$ を $x_{1}, y_{1}$ の1次式で表す

答 $m = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{8}$

$C$ 上では判別式が $0$ になり、重解 $m = \frac{8}{2 x _{1} - y _{1}}$ 。 $(2 x_{1} - y_{1}) (2 x_{1} + y_{1}) = 64$ で書き直す。

$(x_{1}, y_{1})$ が $C$ 上なら $4 x_{1}^{2} - y_{1}^{2} = 64$ 、つまり $(2 x_{1} - y_{1}) (2 x_{1} + y_{1}) = 64$ である。(イ) の2次方程式の判別式は

256 - 4 (2 x_{1} - y_{1}) (2 x_{1} + y_{1}) = 256 - 4 \cdot 64 = 0

なので重解で、 $2 x_{1} - y_{1} \neq = 0$ （積が $64 \neq = 0$ だから）より

m = \frac{16}{2 ( 2 x _{1} - y _{1} )} = \frac{8}{2 x _{1} - y _{1}}

である。 $\frac{1}{2 x _{1} - y _{1}} = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{64}$ を使うと

m = \frac{8 ( 2 x _{1} + y _{1} )}{64} = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{8}

である。

判別式が $0$ ということは、 $C$ 上の点を通る $ℓ$ はただ1つで、しかもそこで $C$ に接している。実際 $(5, 6)$ では $m = \frac{10 + 6}{8} = 2$ で、 $ℓ$ は $10 x - 3 y = 32$ 、傾き $\frac{10}{3}$ 。(ii) の接線の傾きと一致する。

$C$ 上の4点で $m = \frac{2 x _{1} + y _{1}}{8}$ とすると $ℓ$ の式の残差が $1 0^{- 14}$ 以下だった。

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問題文について

(i)双曲線 C:16x2​−64y2​=1 の2つの漸近線のうち、C 上の点 (5,6) との距離が小さいほうの漸近線 ℓ1​ の方程式と、その距離 d を求める

(ii)C 上の点 (5,6) における C の接線の傾きを求める

(iii)(ア)ℓ:2(m2+1)x−(m2−1)y=16m が点 (1,6) を通るような m をすべて求める

(iii)(イ)m が実数全体を動くとき、ℓ が通過する領域 D を表す不等式を求める

(iii)(ウ)ℓ が C 上の点 (x1​,y1​) を通るとき、m を x1​,y1​ の1次式で表す

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(iii)(ア) $ℓ : 2 (m^{2} + 1) x - (m^{2} - 1) y = 16 m$ が点 $(1, 6)$ を通るような $m$ をすべて求める

(iii)(イ) $m$ が実数全体を動くとき、 $ℓ$ が通過する領域 $D$ を表す不等式を求める

(iii)(ウ) $ℓ$ が $C$ 上の点 $(x_{1}, y_{1})$ を通るとき、 $m$ を $x_{1}, y_{1}$ の1次式で表す