北大理系 2024年度 数学 第1問（三角関数・軌跡）の解答・解説

$\mathrm{P}=\mathrm{Q}$ となるための条件は、$x$ 座標と $y$ 座標がそれぞれ等しいことだから

である。②に $\sin 2t=2\sin t\cos t$ を代入して移行すると

よって $\cos t=0$ または $\sin t=\frac{1}{2}$ である。場合に分けて①を確かめる。

1. $\cos t=0$ のとき：${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t=1$ かつ $\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1=-1$ である。① $\cos 2t=\sin t$ より $\sin t=-1$ となる。$\cos t=0$ かつ $\sin t=-1$ を満たす実数 $t$ は、整数 $n$ を用いて $t=\frac{3}{2}\pi +2n\pi$ である。
2. $\sin t=\frac{1}{2}$ のとき：$\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t=1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\sin t$ となり、①は自動的に成り立つ。$\sin t=\frac{1}{2}$ を満たす実数 $t$ は、整数 $n$ を用いて $t=\frac{\pi }{6}+2n\pi ,\frac{5}{6}\pi +2n\pi$ である。

以上をまとめると（$n$ は整数として）、求める $t$ は

となる。なお、これら3つの系列は単位円上で $\frac{2}{3}\pi$ ずつ等間隔に並んでいるため、整数 $n$ を用いて 1 つの式 $t=\frac{\pi }{6}+\frac{2}{3}n\pi$ と表すこともできる。

点 $\mathrm{P}$ の座標を $\left(x,y\right)$ とおくと、$x=\cos 2t,y=\cos t$ である。2倍角の公式 $\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1$ より $t$ を消去すると

を得る。次に、$0<t<2\pi$ の範囲を $t$ が動くとき、$y=\cos t$ のとりうる値の範囲を調べる。$0<t<\pi$ で $\cos t$ は $1$ 未満から $-1$ まで減少し（$t=\pi$ で $\cos \pi =-1$）、$\pi <t<2\pi$ で $-1$ から $1$ 未満まで増加する。$t=0,2\pi$ は範囲に含まれないため $\cos t=1$ とはならず、$y$ の値域は

である。逆に、$-1\leqq y<1$ を満たす任意の実数 $y$ に対して $\cos t=y$ となる $t\in \left(0,2\pi \right)$ が存在し、その $t$ について $x=2y^2-1$ が成り立つ。よって求める軌跡は、放物線 $x=2y^2-1$ の $-1\leqq y<1$ の部分（点 $\left(1,-1\right)$ を含み、点 $\left(1,1\right)$ を除く）である。

座標軸との共有点を求める。

1. $x$ 軸との共有点（$y=0$）：$-1\leqq 0<1$ を満たし、$x=2\cdot 0^2-1=-1$。よって共有点は $\left(-1,0\right)$ である。
2. $y$ 軸との共有点（$x=0$）：$2y^2-1=0$ より $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。どちらも $-1\leqq y<1$ を満たすので、共有点は $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ である。