北大理系 2024年度 数学 第4問（平面ベクトル）の解答・解説

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ だから

条件 $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=5,\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=10$ を代入すると

$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|>0$ より、辺 $\mathrm{OB}$ の長さは $6$ である。

$\angle \mathrm{AOB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{D}$ とすると、角の二等分線の性質より

であるから

となる。さらに $△\mathrm{OAD}$ において $\mathrm{AI}$ は $\angle \mathrm{OAD}$ の二等分線なので

である。よって点 $\mathrm{I}$ は線分 $\mathrm{OD}$ を $9:5$ に内分するから

を得る。

点 $\mathrm{H}$ は辺 $\mathrm{OA}$ 上にあるから、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ とおける。すると (2) より

である。$\mathrm{H}$ は内接円と辺 $\mathrm{OA}$ の接点なので $\mathrm{HI}\perp \mathrm{OA}$、すなわち $\overrightarrow{\mathrm{HI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$ である。よって

$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2=9,\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=10$ を代入すると

となり、$k=\frac{2}{3}$ を得る（$0<\frac{2}{3}<1$ で確かに辺 $\mathrm{OA}$ 上にある）。したがって

となる。