都立大理系 2025年度数学第3問（空間図形・ベクトル）の解答・解説

東京都立大学（都立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第3問（分野：空間図形・ベクトル）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「直方体と空間座標・ベクトル・なす角の余弦・三角形の面積公式・2次関数の最小値」を扱います。

出題テーマ：直方体と空間座標・ベクトル・なす角の余弦・三角形の面積公式・2次関数の最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

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(1)直方体 $ABCD - EFGH$ （ $AB = 3, AD = 1, AE = 2$ ）において、線分 $BF$ を $t : (1 - t) (0 < t < 1)$ に内分する点を $P$ 、 $θ = ∠ CPE$ とおくとき、 $cos θ$ を $t$ で表す

答 $cos θ = \frac{- 4 t ( 1 - t )}{4 t ^{2} - 8 t + 13 4 t ^{2} + 1}$

頂点 $A$ または $E$ を原点とする直交座標（あるいは直交基底ベクトル）を設定し、 $PE, PC$ の内積と大きさを計算する。

点 $E$ を原点とし、 $EF, EH, EA$ の方向をそれぞれ $x, y, z$ 軸の正の向きとする直交座標系をとると、 $AB = 3, AD = 1, AE = 2$ より各頂点の座標は

E (0, 0, 0), F (3, 0, 0), B (3, 0, 2), C (3, 1, 2)

である。線分 $BF$ を $t : (1 - t)$ に内分する点 $P$ の座標は $P (3, 0, 2 (1 - t))$ であるから

PE = - 3 0 - 2 (1 - t), PC = 01 2 t

となる。よって内積と大きさは

PE \cdot PC PE PC = - 4 t (1 - t) = 4 t^{2} - 4 t, = 9 + 4 (1 - t)^{2} = 4 t^{2} - 8 t + 13, = 1 + 4 t^{2}

であるから、求める $cos θ$ は

cos θ = \frac{PE \cdot PC}{PE PC} = \frac{- 4 t ( 1 - t )}{4 t ^{2} - 8 t + 13 4 t ^{2} + 1}

である。

$0 < t < 1$ では $- 4 t (1 - t) < 0$ だから $∠ CPE$ はつねに鈍角であり、 $t \to 0$ （ $P \to B$ ）や $t \to 1$ （ $P \to F$ ）で直角（ $cos θ \to 0$ ）になる。

(2) $△ CEP$ の面積 $S (t)$ を $t$ を用いて表す

答 $S (t) = \frac{1}{2} 40 t^{2} - 8 t + 13$

面積公式 $S (t) = \frac{1}{2} PE^{2} PC^{2} - (PE \cdot PC)^{2}$ に (1) の結果を代入して根号内を整理する。

(1) より

S (t) = \frac{1}{2} PE PC sin θ = \frac{1}{2} PE^{2} PC^{2} - (PE \cdot PC)^{2} = \frac{1}{2} {9 + 4 (1 - t)^{2}} (1 + 4 t^{2}) - 16 t^{2} (1 - t)^{2} = \frac{1}{2} 9 (1 + 4 t^{2}) + 4 (1 - t)^{2} = \frac{1}{2} 40 t^{2} - 8 t + 13

である。

$t = 0$ （ $P = B$ ）のとき $EB = 13, BC = 1, EB ⊥ BC$ で面積は $\frac{13}{2}$ となり、式と一致する。

$(4 t^{2} - 8 t + 13) (4 t^{2} + 1)$ をいきなり展開するよりも、 ${9 + 4 (1 - t)^{2}} (1 + 4 t^{2}) - 16 t^{2} (1 - t)^{2} = 9 (1 + 4 t^{2}) + 4 (1 - t)^{2}$ と $16 t^{2} (1 - t)^{2}$ を先に相殺すると計算ミスを防げる。

(3) $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき、 $S (t)$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める

答 $t = \frac{1}{10}$ のとき最小値 $\frac{3 35}{10}$

根号内の2次関数 $40 t^{2} - 8 t + 13$ を平方完成する。

(2) の根号内の2次式を平方完成すると

40 t^{2} - 8 t + 13 = 40 (t - \frac{1}{10})^{2} + 13 - \frac{2}{5} = 40 (t - \frac{1}{10})^{2} + \frac{63}{5}

となる。 $t = \frac{1}{10}$ は $0 < t < 1$ の範囲にあるから、 $S (t)$ は $t = \frac{1}{10}$ のとき最小値

S (\frac{1}{10}) = \frac{1}{2} \frac{63}{5} = \frac{3 35}{10}

をとる。

$\frac{3 35}{10} \approx 1.775 < \frac{13}{2} \approx 1.803$ 。

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第3問（空間図形・ベクトル）を解き終えた方へ

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東京都立大理系数学の出題分析（2019〜2026年度（8年分））では、「空間ベクトル・空間図形」が7題（全24題中）出題されています。この大問で扱った直方体と空間座標・ベクトル・なす角の余弦・三角形の面積公式・2次関数の最小値のような論証・計算を、本番の試験時間（75分）で書き切る練習が得点源に直結します。