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東京都立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

都立大理系 2025年度数学第1問（数列・対数）の解答・解説

東京都立大学（都立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第1問（分野：数列・対数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「積と累乗の連立漸化式・対数をとる線形化・等差数列と等比数列」を扱います。

出題テーマ：積と累乗の連立漸化式・対数をとる線形化・等差数列と等比数列当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a_{1} = 4, b_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n}^{3} b_{n}^{4}, b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}^{3}$ に対し、 $c_{n} = lo g_{2} a_{n} - 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

答 $c_{n} = 4 n - 4$

$a_{n} > 0, b_{n} > 0$ を確認したうえで両辺の底 $2$ の対数をとり、 $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表す。

$a_{1} = 4 > 0, b_{1} = 2 > 0$ および漸化式の形より、すべての自然数 $n$ について $a_{n} > 0, b_{n} > 0$ である。2つの漸化式の両辺について底 $2$ の対数をとると

⎩ ⎨ ⎧ lo g_{2} a_{n + 1} = lo g_{2} 4 + 3 lo g_{2} a_{n} + 4 lo g_{2} b_{n} = 3 lo g_{2} a_{n} + 4 lo g_{2} b_{n} + 2 lo g_{2} b_{n + 1} = lo g_{2} \frac{1}{2} + lo g_{2} a_{n} + 3 lo g_{2} b_{n} = lo g_{2} a_{n} + 3 lo g_{2} b_{n} - 1

となる。第1式から第2式の2倍を引くと

c_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} - 2 lo g_{2} b_{n + 1} = (lo g_{2} a_{n} - 2 lo g_{2} b_{n}) + 4 = c_{n} + 4

を得る。よって ${c_{n}}$ は初項 $c_{1} = lo g_{2} 4 - 2 lo g_{2} 2 = 2 - 2 = 0$ 、公差 $4$ の等差数列であり、

c_{n} = 0 + 4 (n - 1) = 4 n - 4

である。

$n = 2$ のとき $a_{2} = 4 \cdot 4^{3} \cdot 2^{4} = 2^{12}, b_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2^{3} = 2^{4}$ より $c_{2} = 12 - 8 = 4 = 4 (2 - 1)$ 。

(2) $d_{n} = lo g_{2} a_{n} + 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

答 $d_{n} = 4 \cdot 5^{n - 1}$

(1) の対数漸化式において、第1式と第2式の2倍を足して $d_{n + 1} = 5 d_{n}$ を導く。

(1) で得た2つの対数漸化式において、第1式に第2式の2倍を加えると

d_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} + 2 lo g_{2} b_{n + 1} = 5 lo g_{2} a_{n} + 10 lo g_{2} b_{n} = 5 (lo g_{2} a_{n} + 2 lo g_{2} b_{n}) = 5 d_{n}

となる。よって ${d_{n}}$ は初項 $d_{1} = lo g_{2} 4 + 2 lo g_{2} 2 = 2 + 2 = 4$ 、公比 $5$ の等比数列であり、

d_{n} = 4 \cdot 5^{n - 1}

である。

$n = 2$ のとき $d_{2} = 12 + 8 = 20 = 4 \cdot 5^{1}$ で一致する。

(3)数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 2^{2 \cdot 5^{n - 1} + 2 n - 2}, b_{n} = 2^{5^{n - 1} - n + 1}$

$lo g_{2} a_{n} = \frac{c _{n} + d _{n}}{2}, lo g_{2} b_{n} = \frac{d _{n} - c _{n}}{4}$ から $a_{n}, b_{n}$ を求める。

(1), (2) より

lo g_{2} a_{n} lo g_{2} b_{n} = \frac{c _{n} + d _{n}}{2} = \frac{( 4 n - 4 ) + 4 \cdot 5 ^{n - 1}}{2} = 2 \cdot 5^{n - 1} + 2 n - 2, = \frac{d _{n} - c _{n}}{4} = \frac{4 \cdot 5 ^{n - 1} - ( 4 n - 4 )}{4} = 5^{n - 1} - n + 1

であるから、求める一般項は

a_{n} = 2^{2 \cdot 5^{n - 1} + 2 n - 2}, b_{n} = 2^{5^{n - 1} - n + 1}

である。

$n = 1$ のとき $a_{1} = 2^{2} = 4, b_{1} = 2^{1} = 2$ 、 $n = 2$ のとき $a_{2} = 2^{12}, b_{2} = 2^{4}$ となりすべて一致する。

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問題文について

(1)a1​=4, b1​=2, an+1​=4an3​bn4​, bn+1​=21​an​bn3​ に対し、cn​=log2​an​−2log2​bn​ の一般項を求める

(2)dn​=log2​an​+2log2​bn​ の一般項を求める

(3)数列 {an​}, {bn​} の一般項を求める

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(1) $a_{1} = 4, b_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n}^{3} b_{n}^{4}, b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}^{3}$ に対し、 $c_{n} = lo g_{2} a_{n} - 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

(2) $d_{n} = lo g_{2} a_{n} + 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

(3)数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項を求める

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