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東京都立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

都立大理系 2025年度数学の解答・解説

東京都立大学（都立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学全3問（第1問：数列・対数、第2問：積分法、第3問：空間図形・ベクトル）について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　数列・対数

積と累乗の連立漸化式・対数をとる線形化・等差数列と等比数列当サイトの体感難易度：標準

(1) $a_{1} = 4, b_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n}^{3} b_{n}^{4}, b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}^{3}$ に対し、 $c_{n} = lo g_{2} a_{n} - 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

答 $c_{n} = 4 n - 4$

$a_{n} > 0, b_{n} > 0$ を確認したうえで両辺の底 $2$ の対数をとり、 $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表す。

$a_{1} = 4 > 0, b_{1} = 2 > 0$ および漸化式の形より、すべての自然数 $n$ について $a_{n} > 0, b_{n} > 0$ である。2つの漸化式の両辺について底 $2$ の対数をとると

⎩ ⎨ ⎧ lo g_{2} a_{n + 1} = lo g_{2} 4 + 3 lo g_{2} a_{n} + 4 lo g_{2} b_{n} = 3 lo g_{2} a_{n} + 4 lo g_{2} b_{n} + 2 lo g_{2} b_{n + 1} = lo g_{2} \frac{1}{2} + lo g_{2} a_{n} + 3 lo g_{2} b_{n} = lo g_{2} a_{n} + 3 lo g_{2} b_{n} - 1

となる。第1式から第2式の2倍を引くと

c_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} - 2 lo g_{2} b_{n + 1} = (lo g_{2} a_{n} - 2 lo g_{2} b_{n}) + 4 = c_{n} + 4

を得る。よって ${c_{n}}$ は初項 $c_{1} = lo g_{2} 4 - 2 lo g_{2} 2 = 2 - 2 = 0$ 、公差 $4$ の等差数列であり、

c_{n} = 0 + 4 (n - 1) = 4 n - 4

である。

$n = 2$ のとき $a_{2} = 4 \cdot 4^{3} \cdot 2^{4} = 2^{12}, b_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2^{3} = 2^{4}$ より $c_{2} = 12 - 8 = 4 = 4 (2 - 1)$ 。

(2) $d_{n} = lo g_{2} a_{n} + 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

答 $d_{n} = 4 \cdot 5^{n - 1}$

(1) の対数漸化式において、第1式と第2式の2倍を足して $d_{n + 1} = 5 d_{n}$ を導く。

(1) で得た2つの対数漸化式において、第1式に第2式の2倍を加えると

d_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} + 2 lo g_{2} b_{n + 1} = 5 lo g_{2} a_{n} + 10 lo g_{2} b_{n} = 5 (lo g_{2} a_{n} + 2 lo g_{2} b_{n}) = 5 d_{n}

となる。よって ${d_{n}}$ は初項 $d_{1} = lo g_{2} 4 + 2 lo g_{2} 2 = 2 + 2 = 4$ 、公比 $5$ の等比数列であり、

d_{n} = 4 \cdot 5^{n - 1}

である。

$n = 2$ のとき $d_{2} = 12 + 8 = 20 = 4 \cdot 5^{1}$ で一致する。

(3)数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 2^{2 \cdot 5^{n - 1} + 2 n - 2}, b_{n} = 2^{5^{n - 1} - n + 1}$

$lo g_{2} a_{n} = \frac{c _{n} + d _{n}}{2}, lo g_{2} b_{n} = \frac{d _{n} - c _{n}}{4}$ から $a_{n}, b_{n}$ を求める。

(1), (2) より

lo g_{2} a_{n} lo g_{2} b_{n} = \frac{c _{n} + d _{n}}{2} = \frac{( 4 n - 4 ) + 4 \cdot 5 ^{n - 1}}{2} = 2 \cdot 5^{n - 1} + 2 n - 2, = \frac{d _{n} - c _{n}}{4} = \frac{4 \cdot 5 ^{n - 1} - ( 4 n - 4 )}{4} = 5^{n - 1} - n + 1

であるから、求める一般項は

a_{n} = 2^{2 \cdot 5^{n - 1} + 2 n - 2}, b_{n} = 2^{5^{n - 1} - n + 1}

である。

$n = 1$ のとき $a_{1} = 2^{2} = 4, b_{1} = 2^{1} = 2$ 、 $n = 2$ のとき $a_{2} = 2^{12}, b_{2} = 2^{4}$ となりすべて一致する。

第1問だけのページ

第2問　積分法

ウォリス積分・部分積分と漸化式・定積分の積の不変量当サイトの体感難易度：標準

(1)自然数 $n$ に対し $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x$ とおくとき、 $I_{1}$ と $I_{2}$ の値を求める

答 $I_{1} = 1, I_{2} = \frac{π}{4}$

$I_{2}$ は半角の公式 $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ を用いて積分する。

定義に従って計算すると

I_{1} I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = [sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = 1, = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos 2 x}{2} d x = [\frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4}

である。

$(1 + 1) I_{1} I_{2} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ となり (3) に繋がる。

(2) $\frac{I _{n + 2}}{I _{n}}$ を求める

答 $\frac{I _{n + 2}}{I _{n}} = \frac{n + 1}{n + 2}$

$cos^{n + 2} x = cos x \cdot cos^{n + 1} x$ とみて部分積分し、 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ を使う。

部分積分法を用いると

I_{n + 2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x)^{'} cos^{n + 1} x d x = [sin x cos^{n + 1} x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x \cdot (n + 1) cos^{n} x (- sin x) d x = (n + 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - cos^{2} x) cos^{n} x d x = (n + 1) (I_{n} - I_{n + 2})

となる。整理すると $(n + 2) I_{n + 2} = (n + 1) I_{n}$ であり、 $0 < x < \frac{π}{2}$ で $cos^{n} x > 0$ より $I_{n} > 0$ だから

\frac{I _{n + 2}}{I _{n}} = \frac{n + 1}{n + 2}

である。

$n = 1$ のとき $I_{3} = \frac{2}{3} I_{1} = \frac{2}{3}$ 。

(3) $(n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ を求める

答 $\frac{π}{2}$

$A_{n} = (n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ とおくと、(2) より $A_{n + 1} = A_{n}$ （定数数列）となることを示す。

$A_{n} = (n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ とおくと、(2) より $(n + 2) I_{n + 2} = (n + 1) I_{n}$ であるから

A_{n + 1} = (n + 2) I_{n + 1} I_{n + 2} = I_{n + 1} \cdot (n + 1) I_{n} = (n + 1) I_{n} I_{n + 1} = A_{n}

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。よって数列 ${A_{n}}$ は定数数列であり、(1) より

(n + 1) I_{n} I_{n + 1} = A_{1} = 2 I_{1} I_{2} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

である。

$n = 2$ でも $3 I_{2} I_{3} = 3 \cdot \frac{π}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{π}{2}$ となり一致する。

第2問だけのページ

第3問　空間図形・ベクトル

直方体と空間座標・ベクトル・なす角の余弦・三角形の面積公式・2次関数の最小値当サイトの体感難易度：標準

(1)直方体 $ABCD - EFGH$ （ $AB = 3, AD = 1, AE = 2$ ）において、線分 $BF$ を $t : (1 - t) (0 < t < 1)$ に内分する点を $P$ 、 $θ = ∠ CPE$ とおくとき、 $cos θ$ を $t$ で表す

答 $cos θ = \frac{- 4 t ( 1 - t )}{4 t ^{2} - 8 t + 13 4 t ^{2} + 1}$

頂点 $A$ または $E$ を原点とする直交座標（あるいは直交基底ベクトル）を設定し、 $PE, PC$ の内積と大きさを計算する。

点 $E$ を原点とし、 $EF, EH, EA$ の方向をそれぞれ $x, y, z$ 軸の正の向きとする直交座標系をとると、 $AB = 3, AD = 1, AE = 2$ より各頂点の座標は

E (0, 0, 0), F (3, 0, 0), B (3, 0, 2), C (3, 1, 2)

である。線分 $BF$ を $t : (1 - t)$ に内分する点 $P$ の座標は $P (3, 0, 2 (1 - t))$ であるから

PE = - 3 0 - 2 (1 - t), PC = 01 2 t

となる。よって内積と大きさは

PE \cdot PC PE PC = - 4 t (1 - t) = 4 t^{2} - 4 t, = 9 + 4 (1 - t)^{2} = 4 t^{2} - 8 t + 13, = 1 + 4 t^{2}

であるから、求める $cos θ$ は

cos θ = \frac{PE \cdot PC}{PE PC} = \frac{- 4 t ( 1 - t )}{4 t ^{2} - 8 t + 13 4 t ^{2} + 1}

である。

$0 < t < 1$ では $- 4 t (1 - t) < 0$ だから $∠ CPE$ はつねに鈍角であり、 $t \to 0$ （ $P \to B$ ）や $t \to 1$ （ $P \to F$ ）で直角（ $cos θ \to 0$ ）になる。

(2) $△ CEP$ の面積 $S (t)$ を $t$ を用いて表す

答 $S (t) = \frac{1}{2} 40 t^{2} - 8 t + 13$

面積公式 $S (t) = \frac{1}{2} PE^{2} PC^{2} - (PE \cdot PC)^{2}$ に (1) の結果を代入して根号内を整理する。

(1) より

S (t) = \frac{1}{2} PE PC sin θ = \frac{1}{2} PE^{2} PC^{2} - (PE \cdot PC)^{2} = \frac{1}{2} {9 + 4 (1 - t)^{2}} (1 + 4 t^{2}) - 16 t^{2} (1 - t)^{2} = \frac{1}{2} 9 (1 + 4 t^{2}) + 4 (1 - t)^{2} = \frac{1}{2} 40 t^{2} - 8 t + 13

である。

$t = 0$ （ $P = B$ ）のとき $EB = 13, BC = 1, EB ⊥ BC$ で面積は $\frac{13}{2}$ となり、式と一致する。

$(4 t^{2} - 8 t + 13) (4 t^{2} + 1)$ をいきなり展開するよりも、 ${9 + 4 (1 - t)^{2}} (1 + 4 t^{2}) - 16 t^{2} (1 - t)^{2} = 9 (1 + 4 t^{2}) + 4 (1 - t)^{2}$ と $16 t^{2} (1 - t)^{2}$ を先に相殺すると計算ミスを防げる。

(3) $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき、 $S (t)$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める

答 $t = \frac{1}{10}$ のとき最小値 $\frac{3 35}{10}$

根号内の2次関数 $40 t^{2} - 8 t + 13$ を平方完成する。

(2) の根号内の2次式を平方完成すると

40 t^{2} - 8 t + 13 = 40 (t - \frac{1}{10})^{2} + 13 - \frac{2}{5} = 40 (t - \frac{1}{10})^{2} + \frac{63}{5}

となる。 $t = \frac{1}{10}$ は $0 < t < 1$ の範囲にあるから、 $S (t)$ は $t = \frac{1}{10}$ のとき最小値

S (\frac{1}{10}) = \frac{1}{2} \frac{63}{5} = \frac{3 35}{10}

をとる。

$\frac{3 35}{10} \approx 1.775 < \frac{13}{2} \approx 1.803$ 。

第3問だけのページ

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問題文について

(1)a1​=4, b1​=2, an+1​=4an3​bn4​, bn+1​=21​an​bn3​ に対し、cn​=log2​an​−2log2​bn​ の一般項を求める

(2)dn​=log2​an​+2log2​bn​ の一般項を求める

(3)数列 {an​}, {bn​} の一般項を求める

(1)自然数 n に対し In​=∫02π​​cosnxdx とおくとき、I1​ と I2​ の値を求める

(2)In​In+2​​ を求める

(3)(n+1)In​In+1​ を求める

(1)直方体 ABCD-EFGH（AB=3, AD=1, AE=2）において、線分 BF を t:(1−t) (0<t<1) に内分する点を P、θ=∠CPE とおくとき、cosθ を t で表す

(2)△CEP の面積 S(t) を t を用いて表す

(3)t が 0<t<1 の範囲を動くとき、S(t) の最小値とそのときの t の値を求める

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(1) $a_{1} = 4, b_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n}^{3} b_{n}^{4}, b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}^{3}$ に対し、 $c_{n} = lo g_{2} a_{n} - 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

(2) $d_{n} = lo g_{2} a_{n} + 2 lo g_{2} b_{n}$ の一般項を求める

(3)数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項を求める

(1)自然数 $n$ に対し $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x$ とおくとき、 $I_{1}$ と $I_{2}$ の値を求める

(2) $\frac{I _{n + 2}}{I _{n}}$ を求める

(3) $(n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ を求める

(1)直方体 $ABCD - EFGH$ （ $AB = 3, AD = 1, AE = 2$ ）において、線分 $BF$ を $t : (1 - t) (0 < t < 1)$ に内分する点を $P$ 、 $θ = ∠ CPE$ とおくとき、 $cos θ$ を $t$ で表す

(2) $△ CEP$ の面積 $S (t)$ を $t$ を用いて表す

(3) $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき、 $S (t)$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める

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