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東京都立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

都立大理系 2025年度数学第2問（積分法）の解答・解説

東京都立大学（都立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第2問（分野：積分法）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「ウォリス積分・部分積分と漸化式・定積分の積の不変量」を扱います。

出題テーマ：ウォリス積分・部分積分と漸化式・定積分の積の不変量当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)自然数 $n$ に対し $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x$ とおくとき、 $I_{1}$ と $I_{2}$ の値を求める

答 $I_{1} = 1, I_{2} = \frac{π}{4}$

$I_{2}$ は半角の公式 $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ を用いて積分する。

定義に従って計算すると

I_{1} I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = [sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = 1, = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos 2 x}{2} d x = [\frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4}

である。

$(1 + 1) I_{1} I_{2} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ となり (3) に繋がる。

(2) $\frac{I _{n + 2}}{I _{n}}$ を求める

答 $\frac{I _{n + 2}}{I _{n}} = \frac{n + 1}{n + 2}$

$cos^{n + 2} x = cos x \cdot cos^{n + 1} x$ とみて部分積分し、 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ を使う。

部分積分法を用いると

I_{n + 2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x)^{'} cos^{n + 1} x d x = [sin x cos^{n + 1} x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x \cdot (n + 1) cos^{n} x (- sin x) d x = (n + 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - cos^{2} x) cos^{n} x d x = (n + 1) (I_{n} - I_{n + 2})

となる。整理すると $(n + 2) I_{n + 2} = (n + 1) I_{n}$ であり、 $0 < x < \frac{π}{2}$ で $cos^{n} x > 0$ より $I_{n} > 0$ だから

\frac{I _{n + 2}}{I _{n}} = \frac{n + 1}{n + 2}

である。

$n = 1$ のとき $I_{3} = \frac{2}{3} I_{1} = \frac{2}{3}$ 。

(3) $(n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ を求める

答 $\frac{π}{2}$

$A_{n} = (n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ とおくと、(2) より $A_{n + 1} = A_{n}$ （定数数列）となることを示す。

$A_{n} = (n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ とおくと、(2) より $(n + 2) I_{n + 2} = (n + 1) I_{n}$ であるから

A_{n + 1} = (n + 2) I_{n + 1} I_{n + 2} = I_{n + 1} \cdot (n + 1) I_{n} = (n + 1) I_{n} I_{n + 1} = A_{n}

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。よって数列 ${A_{n}}$ は定数数列であり、(1) より

(n + 1) I_{n} I_{n + 1} = A_{1} = 2 I_{1} I_{2} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

である。

$n = 2$ でも $3 I_{2} I_{3} = 3 \cdot \frac{π}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{π}{2}$ となり一致する。

2025年度の全3問をまとめて読む

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問題文について

(1)自然数 n に対し In​=∫02π​​cosnxdx とおくとき、I1​ と I2​ の値を求める

(2)In​In+2​​ を求める

(3)(n+1)In​In+1​ を求める

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(1)自然数 $n$ に対し $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x$ とおくとき、 $I_{1}$ と $I_{2}$ の値を求める

(2) $\frac{I _{n + 2}}{I _{n}}$ を求める

(3) $(n + 1) I_{n} I_{n + 1}$ を求める

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