東京都立大理系数学の出題傾向と対策

試験時間75分，大問3題，完全記述式。答案用紙は大問ごとに1枚の計3枚。 問題冊子に配られる公式集はない（名古屋大学などと異なる点なので注意）。 出題範囲は数学I・A・II・B（数列）・III・C（ベクトル，平面上の曲線と複素数平面）である。

配点は非公表である。 実際の持ち点に直すときは，学部の数学満点を150で割った数を掛ければよい。

8年24題を分野で数え直すと，都立大の設計は驚くほどはっきりしている。

（分野が重なる大問は，主題の側で数えた。たとえば 2022年度大問1 は三角関数を素材とするが， 問われているのは面積の計算なので微分積分に，2023年度大問1 は漸化式を含むが 極大値を与える $x$ を微分で求めるのが主題なので微分積分に数えている。）

ここから読み取るべきことは3つある。

• 整数問題が8年間1題も出ていない。合同式・不定方程式の対策に時間を使うのは， この試験に限れば効率が悪い。
• 空間ベクトルは実質の必答枠である。内積が数値で与えられる型，座標で与えられる型， 図が添えられる立体の型の3つを，どれも手が止まらないところまで固めておく。
• 積分漸化式（$I_n$ 型）が8年で3回出ている。 $I_n$ と $I_{n+1}$ あるいは $I_{n+2}$ を結ぶ関係式を作る手つきは， 都立大では単独の頻出テーマとして扱ってよい。

都立大の理系数学は奇問・難問を出さない。 8年間，発想を要求する問題は数えるほどしかなく， ほとんどの小問は教科書の章末問題と標準的な入試問題集の範囲に収まっている。

ではどこで差がつくのか。75分で3題という時間である。 1題あたり25分しかないのに，小問は3〜4問あり，しかも計算量は決して軽くない。 2026年度の ${\int }_0^1\frac{x^n(1-x)}{x+1}dx$，2020年度の $\frac{1}{\sqrt{r_n}}$ の列， 2022年度の $\frac{r(a{)}^2}{a}$ の最大値——どれも 方針はすぐ立つが，最後まで計算しきる体力がないと点にならない。

もう一段細かく見ると，難易度の設計は小問の位置で決まっている。 8年24題の小問を位置ごとに分類すると次のようになる。

すなわち最終小問だけが一段跳ね上がる構造である。 2024年度 1(3) の $\sum _{k=3}^n\frac{\log k}{k^2}<\frac{1}{2}(1+\log 2)$， 2026年度 2(3)(4) の交代級数，2025年度 2(3) の $(n+1)I_n{I}_{n+1}$ が典型で， ここに手が届くかどうかが合否を分ける。

実測すると次のようになる。

すなわち，(1)(2) は本番と同水準に保ちながら， 論証と評価を要求する小問の比率を本番より高くしてある。 第5回だけはさらに一段重く， $\frac{n^2}{2^n}\to 0$ を二項定理で下からおさえて示す， 逆関数を作ってから積分する，といった本番より深い操作を含めた。

目標は2完＋1半（100点前後／150点満点）である。 3題すべての(1)(2)を確実に取るだけで90点に届く。 1題に固執して他題の(1)を落とすのが最悪の失敗であることは， 75分という短さのぶん，名古屋大学などの150分の試験よりもさらに強く効く。