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名古屋工業大学　2020年度　前期日程　工学部

第2問数列・極限の解答・解説

連立漸化式・2乗の差が変わらない形・数学的帰納法・はさみうちの原理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $x_{1} = 2$ 、 $y_{1} = 1$ 、 $x_{n + 1} = 2 x_{n} + 5 y_{n}$ 、 $y_{n + 1} = x_{n} + 2 y_{n}$ のとき、数列 ${x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2}}$ の一般項を求める

答 $x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2} = (- 1)^{n}$

$x_{n + 1}^{2} - 5 y_{n + 1}^{2}$ を展開すると、もとの式の $- 1$ 倍になる。

$a_{n} = x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2}$ とおく。漸化式を代入すると

a_{n + 1} = (2 x_{n} + 5 y_{n})^{2} - 5 (x_{n} + 2 y_{n})^{2}

である。展開すると

= 4 x_{n}^{2} + 20 x_{n} y_{n} + 25 y_{n}^{2} - 5 x_{n}^{2} - 20 x_{n} y_{n} - 20 y_{n}^{2} = - x_{n}^{2} + 5 y_{n}^{2} = - a_{n}

となり、 $x_{n} y_{n}$ の項が消える。 $a_{1} = 2^{2} - 5 \cdot 1^{2} = - 1$ なので、 ${a_{n}}$ は公比 $- 1$ の等比数列で

a_{n} = (- 1) \cdot (- 1)^{n - 1} = (- 1)^{n}

である。

$(x, y) \mapsto (2 x + 5 y, x + 2 y)$ は $x^{2} - 5 y^{2}$ を $- 1$ 倍する。 $2^{2} - 5 \cdot 1^{2} = - 1$ だからで、 $x + y 5$ に $2 + 5$ を掛ける操作だと思うと見通しがよい。

整数のまま $n = 1$ から $14$ まで計算して、 $x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2} = (- 1)^{n}$ を確かめた。

(2)条件 $(P_{n})$ 「 $x_{n} ≧ 2 y_{n}$ かつ $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ 」について、 $(P_{k})$ ならば $(P_{k + 1})$ を示す

答 $x_{k + 1} - 2 y_{k + 1} = y_{k} > 0$ と $y_{k + 1} = x_{k} + 2 y_{k} ≧ 4 y_{k} ≧ 4^{k}$ からいえる

差 $x_{k + 1} - 2 y_{k + 1}$ を計算すると $y_{k}$ だけが残る。

$(P_{k})$ が成り立つとする。まず $y_{k} ≧ 4^{k - 1} > 0$ で、 $x_{k} ≧ 2 y_{k} > 0$ である。

1つめの条件。

x_{k + 1} - 2 y_{k + 1} = (2 x_{k} + 5 y_{k}) - 2 (x_{k} + 2 y_{k}) = y_{k} > 0

なので $x_{k + 1} ≧ 2 y_{k + 1}$ である（ $x_{k}$ が消えるのがポイント）。

2つめの条件。 $x_{k} ≧ 2 y_{k}$ を使うと

y_{k + 1} = x_{k} + 2 y_{k} ≧ 2 y_{k} + 2 y_{k} = 4 y_{k} ≧ 4 \cdot 4^{k - 1} = 4^{k}

である。よって $(P_{k + 1})$ が成り立つ。

$(P_{1})$ は $x_{1} = 2 ≧ 2 y_{1} = 2$ 、 $y_{1} = 1 ≧ 4^{0} = 1$ でどちらも等号つきで成り立つ。したがって帰納法によりすべての自然数 $n$ で $(P_{n})$ が成り立つ。(3) ではこれを使う。

$n = 1$ から $14$ まで、 $x_{n} ≧ 2 y_{n}$ と $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ がどちらも成り立つことを確かめた。

(3)極限 $n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}}$ を求める

答 $n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = 5$

(1) を $y_{n}^{2}$ で割る。(2) から $y_{n} \to \infty$ なので右辺は $0$ に行く。

(1) の両辺を $y_{n}^{2} > 0$ で割ると

(\frac{x _{n}}{y _{n}})^{2} - 5 = \frac{( - 1 ) ^{n}}{y _{n}^{2}}

である。(2) より $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ なので

\frac{( - 1 ) ^{n}}{y _{n}^{2}} = \frac{1}{y _{n}^{2}} ≦ \frac{1}{1 6 ^{n - 1}} \to 0 (n \to \infty)

であり、はさみうちの原理から

n \to \infty lim (\frac{x _{n}}{y _{n}})^{2} = 5

である。また (2) より $\frac{x _{n}}{y _{n}} ≧ 2 > 0$ なので、 $\frac{x _{n}}{y _{n}}$ は正の値をとり続ける。 $u \mapsto u^{2}$ は $u > 0$ で連続で単調なので

n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = 5

である。

$\frac{x _{n}}{y _{n}}$ は $5$ の近似分数を作っていく。 $\frac{2}{1}, \frac{9}{4}, \frac{38}{17}, \frac{161}{72}, \dots$ と $5 = 2.2360679 \dots$ に速く近づく。

$n = 40$ で $\frac{x _{n}}{y _{n}} = 2.23606797749979$ となり、 $5 = 2.23606797749979$ と一致した。

2乗の極限が $5$ でも、それだけでは $\frac{x _{n}}{y _{n}} \to 5$ とはいえない。符号が一定であることを (2) から言う。

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問題文について

(1)x1​=2、y1​=1、xn+1​=2xn​+5yn​、yn+1​=xn​+2yn​ のとき、数列 {xn2​−5yn2​} の一般項を求める

(2)条件 (Pn​)「xn​≧2yn​ かつ yn​≧4n−1」について、(Pk​) ならば (Pk+1​) を示す

(3)極限 n→∞lim​yn​xn​​ を求める

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(2)条件 $(P_{n})$ 「 $x_{n} ≧ 2 y_{n}$ かつ $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ 」について、 $(P_{k})$ ならば $(P_{k + 1})$ を示す

(3)極限 $n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}}$ を求める