独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

名古屋工業大学　2020年度　前期日程　工学部

名工大 2020年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分積分

積と合成の微分・分数関数の増減・定数を分離して解の個数・極値をとる点の個数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x > - 1$ で $f (x) = \frac{e ^{k x}}{x ^{3} + 1}$ （ $k$ は定数）のとき $f^{'} (x)$ を計算する

答 $f^{'} (x) = \frac{e ^{k x} { 2 k ( x ^{3} + 1 ) - 3 x ^{2} }}{2 ( x ^{3} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}$

$f = e^{k x} (x^{3} + 1)^{- \frac{1}{2}}$ と書いて積の微分。

$x > - 1$ では $x^{3} + 1 > 0$ なので、 $f (x) = e^{k x} (x^{3} + 1)^{- \frac{1}{2}}$ と書ける。積の微分で

f^{'} (x) = k e^{k x} (x^{3} + 1)^{- \frac{1}{2}} + e^{k x} \cdot (- \frac{1}{2}) (x^{3} + 1)^{- \frac{3}{2}} \cdot 3 x^{2}

である。 $(x^{3} + 1)^{- \frac{3}{2}}$ でくくると

f^{'} (x) = \frac{e ^{k x}}{2 ( x ^{3} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} {2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2}}

である。

$e^{k x} > 0$ 、 $(x^{3} + 1)^{\frac{3}{2}} > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2}$ の符号だけで決まる。(3)(4) はここが出発点になる。

$k = - 1, 0.3, 2$ 、 $x = - 0.5, 0.2, 1.3, 3$ で数値微分と一致した。

(2) $g (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1}$ （ $x > - 1$ ）の増減を調べ、極値を求める

答 $x = 0$ で極小値 $0$ 、 $x = 32$ で極大値 $\frac{3 4}{3}$

商の微分。分子は $- x^{4} + 2 x = x (2 - x^{3})$ ときれいに因数分解できる。

g^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{3} + 1 ) - x ^{2} \cdot 3 x ^{2}}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}} = \frac{- x ^{4} + 2 x}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ( 2 - x ^{3} )}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}}

である。分母は正なので、符号は $x (2 - x^{3})$ で決まる。 $g^{'} = 0$ となるのは $x = 0, 32$ である。

$- 1 < x < 0$ ： $x < 0$ 、 $2 - x^{3} > 2 > 0$ なので $g^{'} < 0$ （減少）
$0 < x < 32$ ： $x > 0$ 、 $2 - x^{3} > 0$ なので $g^{'} > 0$ （増加）
$x > 32$ ： $x > 0$ 、 $2 - x^{3} < 0$ なので $g^{'} < 0$ （減少）

よって $x = 0$ で極小、 $x = 32$ で極大である。値は

g (0) = 0, g (32) = \frac{3 4}{2 + 1} = \frac{3 4}{3}

である。

端のようすも見ておく。 $x \to - 1 + 0$ では分母が $+ 0$ 、分子が $1$ に近づくので $g \to + \infty$ 。 $x \to \infty$ では $g \sim \frac{1}{x} \to + 0$ である。

y = g(x) のグラフ（x > −1）。x = −1 の右で +∞、x = 0 で極小 0、x = ∛2 で極大 ∛4/3、その後 +0 に近づく。点線は水平な直線 y = 2k/3 で、交点の個数が (3) の答えになる。

極大値は $0.5291337$ で $\frac{3 4}{3} = 0.5291337$ と一致し、 $g^{'}$ の式も数値微分と合った。

(3)方程式 $f^{'} (x) = 0$ の相異なる実数解の個数を求める

答 $k < 0$ のとき $0$ 個、 $k = 0$ のとき $1$ 個、 $0 < k < \frac{3 4}{2}$ のとき $3$ 個、 $k = \frac{3 4}{2}$ のとき $2$ 個、 $k > \frac{3 4}{2}$ のとき $1$ 個

(1) より $f^{'} = 0$ は $2 k = 3 g (x)$ 。(2) のグラフと水平な直線の交点の個数を数える。

(1) より、 $x > - 1$ で $f^{'} (x) = 0$ は $2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2} = 0$ と同じである。 $x^{3} + 1 > 0$ で割ると

2 k = 3 \cdot \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1} = 3 g (x), つまり g (x) = \frac{2 k}{3}

である。求める個数は、 $y = g (x)$ のグラフと水平な直線 $y = \frac{2 k}{3}$ の共有点の個数である。

(2) より $g$ は $(- 1, 0)$ で $+ \infty$ から $0$ まで減り、 $(0, 32)$ で $0$ から $\frac{3 4}{3}$ まで増え、 $(32, \infty)$ で $\frac{3 4}{3}$ から $+ 0$ まで減る。 $\frac{2 k}{3} = c$ とおくと

$c < 0$ ：どの区間とも交わらない。 $0$ 個
$c = 0$ ： $x = 0$ だけ。 $1$ 個
$0 < c < \frac{3 4}{3}$ ：3つの区間で1個ずつ。 $3$ 個
$c = \frac{3 4}{3}$ ：1つめの区間で1個、あとの2区間は $x = 32$ で1個。 $2$ 個
$c > \frac{3 4}{3}$ ：1つめの区間だけ。 $1$ 個

$c = \frac{2 k}{3}$ なので、 $c = \frac{3 4}{3}$ は $k = \frac{3 4}{2}$ にあたる。したがって

$k < 0$ のとき $0$ 個
$k = 0$ のとき $1$ 個
$0 < k < \frac{3 4}{2}$ のとき $3$ 個
$k = \frac{3 4}{2}$ のとき $2$ 個
$k > \frac{3 4}{2}$ のとき $1$ 個

$\frac{3 4}{2} = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} = 2^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3 2}$ である。 $0.7937 \dots$ になる。

$k = - 1, 0, 0.1, 0.5, 0.7, \frac{3 4}{2}, 0.9, 2$ で数えると、順に $0, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 1$ 個だった。

$k$ をかけたまま3次方程式として扱うと場合分けが重くなる。 $k$ を分離して「グラフと水平な直線」に持ち込む。

(4) $f (x)$ が極値をとる $x$ の値の個数を求める

答 $k ≦ 0$ のとき $0$ 個、 $0 < k < \frac{3 4}{2}$ のとき $3$ 個、 $k ≧ \frac{3 4}{2}$ のとき $1$ 個

解の個数ではなく符号が変わる点の個数。 $g$ が極値をとる点で接するときは符号が変わらない。

(1) より $f^{'}$ の符号は $2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2}$ の符号、つまり $x^{3} + 1 > 0$ で割った $\frac{2 k}{3} - g (x)$ の符号と同じである。 $f$ が $x_{0}$ で極値をとるのは、 $g (x) - \frac{2 k}{3}$ が $x_{0}$ の前後で符号を変えるときに限る。

(3) で数えた共有点のうち、 $g$ が単調な区間の内部で横切るものは符号が変わる。符号が変わらないのは、水平な直線が $g$ の極大・極小のところで接する場合、すなわち

$c = 0$ （ $k = 0$ ）で $x = 0$ のとき … $g$ の極小。 $g ≧ 0$ なので符号は変わらない
$c = \frac{3 4}{3}$ （ $k = \frac{3 4}{2}$ ）で $x = 32$ のとき … $g$ の極大。符号は変わらない

の2つである。よって極値をとる $x$ の個数は

$k < 0$ ：共有点が $0$ 個なので $0$ 個
$k = 0$ ：共有点 $1$ 個はすべて接するので $0$ 個
$0 < k < \frac{3 4}{2}$ ：共有点 $3$ 個すべてで符号が変わるので $3$ 個
$k = \frac{3 4}{2}$ ：共有点 $2$ 個のうち $x = 32$ は接するので $1$ 個
$k > \frac{3 4}{2}$ ：共有点 $1$ 個で符号が変わるので $1$ 個

すなわち $k ≦ 0$ で $0$ 個、 $0 < k < \frac{3 4}{2}$ で $3$ 個、 $k ≧ \frac{3 4}{2}$ で $1$ 個である。

$k = 0$ のときは $f (x) = \frac{1}{x ^{3} + 1}$ で、 $f^{'} (x) = - \frac{3 x ^{2}}{2 ( x ^{3} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} ≦ 0$ 。 $x = 0$ でだけ $0$ になるが、ずっと減少なので極値はない。(3) と (4) で答えがずれるのはここである。

符号が変わる点を数えると、 $k = - 1, 0, 0.1, 0.5, \frac{3 4}{2}, 0.9, 2$ で順に $0, 0, 3, 3, 1, 1, 1$ 個だった。

$f^{'} (x_{0}) = 0$ は極値であることの必要条件にすぎない。重解（接する場合）を落とさない。

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第2問　数列・極限

連立漸化式・2乗の差が変わらない形・数学的帰納法・はさみうちの原理当サイトの体感難易度：標準

(1) $x_{1} = 2$ 、 $y_{1} = 1$ 、 $x_{n + 1} = 2 x_{n} + 5 y_{n}$ 、 $y_{n + 1} = x_{n} + 2 y_{n}$ のとき、数列 ${x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2}}$ の一般項を求める

答 $x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2} = (- 1)^{n}$

$x_{n + 1}^{2} - 5 y_{n + 1}^{2}$ を展開すると、もとの式の $- 1$ 倍になる。

$a_{n} = x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2}$ とおく。漸化式を代入すると

a_{n + 1} = (2 x_{n} + 5 y_{n})^{2} - 5 (x_{n} + 2 y_{n})^{2}

である。展開すると

= 4 x_{n}^{2} + 20 x_{n} y_{n} + 25 y_{n}^{2} - 5 x_{n}^{2} - 20 x_{n} y_{n} - 20 y_{n}^{2} = - x_{n}^{2} + 5 y_{n}^{2} = - a_{n}

となり、 $x_{n} y_{n}$ の項が消える。 $a_{1} = 2^{2} - 5 \cdot 1^{2} = - 1$ なので、 ${a_{n}}$ は公比 $- 1$ の等比数列で

a_{n} = (- 1) \cdot (- 1)^{n - 1} = (- 1)^{n}

である。

$(x, y) \mapsto (2 x + 5 y, x + 2 y)$ は $x^{2} - 5 y^{2}$ を $- 1$ 倍する。 $2^{2} - 5 \cdot 1^{2} = - 1$ だからで、 $x + y 5$ に $2 + 5$ を掛ける操作だと思うと見通しがよい。

整数のまま $n = 1$ から $14$ まで計算して、 $x_{n}^{2} - 5 y_{n}^{2} = (- 1)^{n}$ を確かめた。

(2)条件 $(P_{n})$ 「 $x_{n} ≧ 2 y_{n}$ かつ $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ 」について、 $(P_{k})$ ならば $(P_{k + 1})$ を示す

答 $x_{k + 1} - 2 y_{k + 1} = y_{k} > 0$ と $y_{k + 1} = x_{k} + 2 y_{k} ≧ 4 y_{k} ≧ 4^{k}$ からいえる

差 $x_{k + 1} - 2 y_{k + 1}$ を計算すると $y_{k}$ だけが残る。

$(P_{k})$ が成り立つとする。まず $y_{k} ≧ 4^{k - 1} > 0$ で、 $x_{k} ≧ 2 y_{k} > 0$ である。

1つめの条件。

x_{k + 1} - 2 y_{k + 1} = (2 x_{k} + 5 y_{k}) - 2 (x_{k} + 2 y_{k}) = y_{k} > 0

なので $x_{k + 1} ≧ 2 y_{k + 1}$ である（ $x_{k}$ が消えるのがポイント）。

2つめの条件。 $x_{k} ≧ 2 y_{k}$ を使うと

y_{k + 1} = x_{k} + 2 y_{k} ≧ 2 y_{k} + 2 y_{k} = 4 y_{k} ≧ 4 \cdot 4^{k - 1} = 4^{k}

である。よって $(P_{k + 1})$ が成り立つ。

$(P_{1})$ は $x_{1} = 2 ≧ 2 y_{1} = 2$ 、 $y_{1} = 1 ≧ 4^{0} = 1$ でどちらも等号つきで成り立つ。したがって帰納法によりすべての自然数 $n$ で $(P_{n})$ が成り立つ。(3) ではこれを使う。

$n = 1$ から $14$ まで、 $x_{n} ≧ 2 y_{n}$ と $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ がどちらも成り立つことを確かめた。

(3)極限 $n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}}$ を求める

答 $n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = 5$

(1) を $y_{n}^{2}$ で割る。(2) から $y_{n} \to \infty$ なので右辺は $0$ に行く。

(1) の両辺を $y_{n}^{2} > 0$ で割ると

(\frac{x _{n}}{y _{n}})^{2} - 5 = \frac{( - 1 ) ^{n}}{y _{n}^{2}}

である。(2) より $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ なので

\frac{( - 1 ) ^{n}}{y _{n}^{2}} = \frac{1}{y _{n}^{2}} ≦ \frac{1}{1 6 ^{n - 1}} \to 0 (n \to \infty)

であり、はさみうちの原理から

n \to \infty lim (\frac{x _{n}}{y _{n}})^{2} = 5

である。また (2) より $\frac{x _{n}}{y _{n}} ≧ 2 > 0$ なので、 $\frac{x _{n}}{y _{n}}$ は正の値をとり続ける。 $u \mapsto u^{2}$ は $u > 0$ で連続で単調なので

n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = 5

である。

$\frac{x _{n}}{y _{n}}$ は $5$ の近似分数を作っていく。 $\frac{2}{1}, \frac{9}{4}, \frac{38}{17}, \frac{161}{72}, \dots$ と $5 = 2.2360679 \dots$ に速く近づく。

$n = 40$ で $\frac{x _{n}}{y _{n}} = 2.23606797749979$ となり、 $5 = 2.23606797749979$ と一致した。

2乗の極限が $5$ でも、それだけでは $\frac{x _{n}}{y _{n}} \to 5$ とはいえない。符号が一定であることを (2) から言う。

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第3問　図形と方程式・積分法

円と直線の交点・扇形を使った面積・置換積分・断面積から体積当サイトの体感難易度：難

(1)円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : y = - x + 2 t$ （ $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ ）の共有点で $D$ に属する点を $B$ 、 $ℓ$ と $x$ 軸の交点を $A$ 、 $∠ AOB = θ$ とするとき、 $t$ を $θ$ で表す

答 $t = cos (θ - \frac{π}{4})$ （このとき $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ ）

$B$ は単位円上なので $B = (cos θ, sin θ)$ 。これを $ℓ$ の式に入れて合成する。

$A = (2 t, 0)$ は $x$ 軸の正の部分にある（ $t > 0$ ）。 $B$ は単位円上の点で、 $D$ の条件 $0 ≦ y ≦ x$ から $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ である。よって

B = (cos θ, sin θ)

とおける。 $B$ は $ℓ$ 上にあるので $sin θ = - cos θ + 2 t$ 、すなわち

cos θ + sin θ = 2 t

である。左辺を合成すると $2 cos (θ - \frac{π}{4})$ なので

t = cos (θ - \frac{π}{4})

である。 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ のとき $- \frac{π}{4} ≦ θ - \frac{π}{4} ≦ 0$ で、 $t$ は $\frac{1}{2}$ から $1$ まで動く。問題の $t$ の範囲とちょうど対応している。

円と直線の交点は2つあるが、 $x ≧ y$ を満たすほうが $B$ である。連立して解くと $x = \frac{t \pm 1 - t ^{2}}{2}$ で、 $+$ のほうが $B$ にあたる。

$t = 0.75, 0.85, 0.95, 1$ で $B$ を直接求めると $∣ OB ∣ = 1$ で、 $cos (θ - \frac{π}{4})$ がそれぞれ $t$ に一致した。

(2) $D$ の面積 $S (t)$ を $θ$ で表す

答 $S = \frac{1}{2} (sin^{2} θ + sin θ cos θ - θ)$

極座標で書くと $D = {0 ≦ φ ≦ θ, 1 ≦ r ≦ \frac{t}{cos ( φ - \frac{π}{4} )}}$ 。

$(x, y) = (r cos φ, r sin φ)$ とおく。 $0 ≦ y ≦ x$ は $0 ≦ φ ≦ \frac{π}{4}$ 、 $x^{2} + y^{2} ≧ 1$ は $r ≧ 1$ である。 $ℓ$ は $r (cos φ + sin φ) = 2 t$ 、つまり

r = \frac{t}{cos ( φ - \frac{π}{4} )} (= ρ (φ) とおく)

なので、 $y ≦ - x + 2 t$ は $r ≦ ρ (φ)$ である。 $ρ (φ) ≧ 1$ となるのは $cos (φ - \frac{π}{4}) ≦ t = cos (θ - \frac{π}{4})$ 、すなわち $0 ≦ φ ≦ θ$ のときである。よって

S = \int_{0}^{θ} \frac{1}{2} {ρ (φ)^{2} - 1^{2}} d φ = \frac{1}{2} \int_{0}^{θ} {\frac{t ^{2}}{cos ^{2} ( φ - \frac{π}{4} )} - 1} d φ

である。 $\int \frac{d φ}{cos ^{2} ( φ - \frac{π}{4} )} = tan (φ - \frac{π}{4})$ なので

S = \frac{t ^{2}}{2} {tan (θ - \frac{π}{4}) + 1} - \frac{θ}{2}

である。 $t = cos (θ - \frac{π}{4})$ を入れて $ψ = θ - \frac{π}{4}$ とおくと

\frac{t ^{2}}{2} (tan ψ + 1) = \frac{cos ψ sin ψ + cos ^{2} ψ}{2} = \frac{1 + sin 2 ψ + cos 2 ψ}{4}

で、 $2 ψ = 2 θ - \frac{π}{2}$ より $sin 2 ψ = - cos 2 θ$ 、 $cos 2 ψ = sin 2 θ$ である。したがって

S = \frac{1 - cos 2 θ + sin 2 θ}{4} - \frac{θ}{2} = \frac{1}{2} (sin^{2} θ + sin θ cos θ - θ)

である。 $θ = 0$ なら $S = 0$ （ $A$ と $B$ が重なる）、 $θ = \frac{π}{4}$ なら $S = \frac{1}{2} - \frac{π}{8}$ で、三角形から扇形を引いた値と合う。

D のようす（図は t = 0.95 のとき）。単位円の外、直線 ℓ の下、2直線 y = 0 と y = x のあいだ。塗った部分が D で、左下の角が θ。

$t = 0.75, 0.85, 0.95, 1$ で、極座標による数値積分と式の値が小数7桁まで一致した。

$D$ は「三角形から扇形を引いたもの」ではない。 $θ < \frac{π}{4}$ のときは円が $ℓ$ からはみ出すので、角 $φ$ の範囲も $θ$ までに切れる。

(3) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} S (t) d t$ の値を求める

答 $\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8}$

$t = cos α$ （ $α = \frac{π}{4} - θ$ ）と置換する。 $d t = - sin α d α$ 。

$α = \frac{π}{4} - θ$ とおくと $t = cos α$ で、 $t : \frac{1}{2} \to 1$ は $α : \frac{π}{4} \to 0$ にあたる。(2) の途中の式に $θ = \frac{π}{4} - α$ を入れると

S = \frac{cos ^{2} α - sin α cos α}{2} + \frac{α}{2} - \frac{π}{8}

である。 $d t = - sin α d α$ なので

\int_{\frac{1}{2}}^{1} S d t = \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\frac{cos ^{2} α - sin α cos α}{2} + \frac{α}{2} - \frac{π}{8}} sin α d α

である。4つに分けて計算する。

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{2} α sin α d α = \frac{1}{2} [- \frac{cos ^{3} α}{3}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{6} (1 - \frac{2}{4})

- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} α cos α d α = - \frac{1}{2} [\frac{sin ^{3} α}{3}]_{0}^{\frac{π}{4}} = - \frac{2}{24}

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} α sin α d α = \frac{1}{2} [sin α - α cos α]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{2}{4} - \frac{2 π}{16}

- \frac{π}{8} \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin α d α = - \frac{π}{8} (1 - \frac{2}{2}) = - \frac{π}{8} + \frac{2 π}{16}

足すと $\frac{2 π}{16}$ が消えて

\int_{\frac{1}{2}}^{1} S d t = \frac{1}{6} - \frac{2}{24} - \frac{2}{24} + \frac{2}{4} - \frac{π}{8} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} - \frac{π}{8}

すなわち $\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8}$ （ $0.00967 \dots$ ）である。

数値積分すると $0.0096698$ で、 $\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8} = 0.0096698$ と一致した。

$S$ は $θ$ の式なので、 $d t$ のままでは積分できない。 $t = cos α$ と置換して $α$ の積分に直す。

(4) $4$ 点 $(\pm 2, 0, 0)$ 、 $(0, \pm 2, 0)$ を頂点とする正方形を底面、 $(0, 0, 1)$ を頂点とする四角錐 $V$ から、円柱 $W : x^{2} + y^{2} < 1$ 、 $0 ≦ z ≦ 1$ を除いた立体 $K$ の体積を求める

答 $\frac{4 ( 1 + 2 )}{3} - π$

高さ $z$ の断面は「正方形から単位円板を除いた4すみ」。すみ1つぶんの面積が (2) の $S$ そのものになる。

高さ $z$ での $V$ の断面は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≦ a$ （ $a = 2 (1 - z)$ ）である。 $K$ の断面はここから $x^{2} + y^{2} < 1$ を除いたものになる。

正方形が単位円の内側に入ってしまうのは、頂点までの距離 $a$ が $1$ 以下のとき、つまり $a ≦ 1$ のときで、このとき断面は空である。 $a = 2 (1 - z) > 1$ は $0 ≦ z < 1 - \frac{1}{2}$ にあたる。

$a > 1$ のとき、断面は4すみの合同な図形からなる。 $x$ 軸の正の向きにあるすみは、直線 $x + y = a$ と $x - y = a$ と単位円で囲まれる部分である。 $\frac{a}{2} = t$ とおくと、上半分は

x^{2} + y^{2} ≧ 1, y ≦ - x + 2 t, 0 ≦ y ≦ x

そのもので、これは $D$ である。 $a : 1 \to 2$ は $t : \frac{1}{2} \to 1$ に対応するので、断面積は

A (z) = 4 \times 2 S (t) = 8 S (t), t = 1 - z

である（ $t = \frac{a}{2} = 1 - z$ ）。 $d z = - d t$ で、 $z : 0 \to 1 - \frac{1}{2}$ は $t : 1 \to \frac{1}{2}$ だから

(K の体積) = \int_{0}^{1 - \frac{1}{2}} 8 S (1 - z) d z = 8 \int_{\frac{1}{2}}^{1} S (t) d t

となり、(3) がそのまま使える。

(K の体積) = 8 (\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8}) = \frac{4 ( 1 + 2 )}{3} - π

である（ $0.0774 \dots$ ）。

高さ z での断面（図は a = 1.25 のとき）。正方形 |x| + |y| ≦ a から単位円の内部を除くと、合同な4すみが残る。右のすみの上半分が (2) の D にあたる。

$a = 2$ （ $z = 0$ ）では断面積が $2 a^{2} - π = 4 - π$ で、正方形から円をまるごと引いた値になる。 $8 S (1) = 8 (\frac{1}{2} - \frac{π}{8}) = 4 - π$ と合う。

断面積を数値積分して体積を求めると $0.077359$ で、 $\frac{4 ( 1 + 2 )}{3} - π = 0.077359$ と一致した。

$a ≦ 1$ の範囲では断面が空になる。 $z$ の積分範囲を $0 ≦ z ≦ 1$ のままにしない。

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第4問　ベクトル

内積と三角形の面積・外心の位置ベクトル・直線が辺と交わる条件・面積比の最小当サイトの体感難易度：やや難

(1) $OA = 8$ 、 $OB = 10$ 、 $AB = 12$ の三角形 $OAB$ で、 $a = OA$ 、 $b = OB$ とするとき $a \cdot b$ を求める

答 $a \cdot b = 10$

$b - a^{2} = AB^{2}$ を展開する。

AB^{2} = b - a^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + b^{2}

に $AB = 12$ 、 $∣ a ∣ = 8$ 、 $b = 10$ を入れると

144 = 64 - 2 a \cdot b + 100, a \cdot b = \frac{164 - 144}{2} = 10

である。

座標で取り直すと内積は $10$ 、 $AB = 12$ になった。

(2)三角形 $OAB$ の面積 $S$ を求める

答 $S = 157$

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} b^{2} - (a \cdot b)^{2}$ 。

S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} b^{2} - (a \cdot b)^{2} = \frac{1}{2} 64 \cdot 100 - 100 = \frac{1}{2} 6300

で、 $6300 = 900 \times 7$ だから

S = \frac{1}{2} \cdot 307 = 157

である（ $39.686 \dots$ ）。

座標から求めた面積は $39.6862697$ で、 $157 = 39.6862697$ と一致した。

(3)三角形 $OAB$ の外心を $G$ とするとき、 $OG$ を $a, b$ で表す

答 $OG = \frac{3}{7} a + \frac{16}{35} b$

外心は $OG \cdot a = \frac{∣ a ∣ ^{2}}{2}$ 、 $OG \cdot b = \frac{b ^{2}}{2}$ で決まる。

$G$ は $OA$ の垂直二等分線上にあるので、 $OA$ の中点を $M$ として $(OG - \frac{a}{2}) \cdot a = 0$ 、つまり

OG \cdot a = \frac{∣ a ∣ ^{2}}{2} = 32, OG \cdot b = \frac{b ^{2}}{2} = 50

である。 $OG = s a + t b$ とおくと、 $a \cdot b = 10$ を使って

{64 s + 10 t = 32 10 s + 100 t = 50

となる。2式目は $s + 10 t = 5$ なので $s = 5 - 10 t$ 。1式目に入れると

64 (5 - 10 t) + 10 t = 32, - 630 t = - 288, t = \frac{16}{35}

で、 $s = 5 - \frac{160}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$ である。よって

OG = \frac{3}{7} a + \frac{16}{35} b

である。

係数の和は $\frac{15}{35} + \frac{16}{35} = \frac{31}{35} < 1$ なので、 $G$ は辺 $AB$ より $O$ 側にある。どちらの係数も正なので三角形の内部にある（この三角形は鋭角三角形）。

外心を連立で求めると3頂点までの距離がどれも $6.0474316$ で、係数は $\frac{3}{7}$ と $\frac{16}{35}$ になった。

(4)辺 $OA$ 上に $O$ と異なる点 $D$ をとり $\frac{OD}{OA} = x$ とする。直線 $DG$ が辺 $OB$ と交わるための $x$ の範囲を求める

答 $\frac{15}{19} ≦ x ≦ 1$

直線 $DG$ 上の点で $a$ の係数が $0$ になるものを求め、 $b$ の係数が $0$ と $1$ のあいだに入る条件を書く。

$OD = x a$ （ $0 < x ≦ 1$ ）である。直線 $DG$ 上の点は $u$ を実数として

(1 - u) x a + u (\frac{3}{7} a + \frac{16}{35} b) = {(1 - u) x + \frac{3 u}{7}} a + \frac{16 u}{35} b

と書ける。これが直線 $OB$ 上にあるのは $a$ の係数が $0$ のとき、つまり

(1 - u) x + \frac{3 u}{7} = 0, u (\frac{3}{7} - x) = - x, u = \frac{7 x}{7 x - 3}

のときである（ $x = \frac{3}{7}$ なら $DG$ は $OB$ と平行で交わらない）。このとき

OE = \frac{16 u}{35} b = \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )} b

である。 $E$ が辺 $OB$ 上（ $O$ を除く）にある条件は $0 < \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )} ≦ 1$ である。

$x > 0$ なので、正であることから $7 x - 3 > 0$ 、つまり $x > \frac{3}{7}$
$1$ 以下であることから $16 x ≦ 5 (7 x - 3) = 35 x - 15$ 、つまり $19 x ≧ 15$ 、 $x ≧ \frac{15}{19}$

$\frac{15}{19} > \frac{3}{7}$ なので、 $x > \frac{3}{7}$ は自動で満たされる。 $D$ は辺 $OA$ 上なので $x ≦ 1$ も必要である。よって

\frac{15}{19} ≦ x ≦ 1

である。

$x$ を $0.00001$ 刻みで動かすと、 $E$ が辺 $OB$ 上に乗る最小の $x$ は $0.78948$ で、 $\frac{15}{19} = 0.7894737$ と合った。

「直線 $OB$ と交わる」ではなく「辺 $OB$ と交わる」。 $b$ の係数が $0$ より大きく $1$ 以下であることまで書く。

(5)(4) の範囲で $D$ を動かす。直線 $DG$ と辺 $OB$ の交点を $E$ とするとき、三角形 $ODE$ の面積の最小値とそのときの $x$ を求める

答 $x = \frac{6}{7}$ のとき最小値 $\frac{576 7}{49}$

面積は $x \cdot \frac{OE}{OB} \cdot S$ 。 $x$ の分数関数になるので微分する。

$\frac{OD}{OA} = x$ 、 $\frac{OE}{OB} = \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )}$ なので

△ ODE = x \cdot \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )} \cdot S = \frac{16 x ^{2}}{5 ( 7 x - 3 )} \cdot 157 = 487 \cdot \frac{x ^{2}}{7 x - 3}

である。 $h (x) = \frac{x ^{2}}{7 x - 3}$ とおくと

h^{'} (x) = \frac{2 x ( 7 x - 3 ) - 7 x ^{2}}{( 7 x - 3 ) ^{2}} = \frac{7 x ^{2} - 6 x}{( 7 x - 3 ) ^{2}} = \frac{x ( 7 x - 6 )}{( 7 x - 3 ) ^{2}}

である。 $\frac{15}{19} ≦ x ≦ 1$ では $x > 0$ なので符号は $7 x - 6$ で決まり、 $x = \frac{6}{7}$ の前後で負から正に変わる。 $\frac{15}{19} = 0.789 \dots < \frac{6}{7} = 0.857 \dots < 1$ なので、 $x = \frac{6}{7}$ で最小になる。

h (\frac{6}{7}) = \frac{\frac{36}{49}}{6 - 3} = \frac{12}{49}

なので、最小値は

487 \cdot \frac{12}{49} = \frac{576 7}{49}

である（ $31.10 \dots$ ）。

三角形 OAB と外心 G。点線は最小のときの直線 DE（x = 6/7）で、G を通る。うすい円は外接円。

$x$ を $0.00001$ 刻みで動かすと、最小は $x = 0.85714$ で $31.1010766$ 、 $\frac{576 7}{49} = 31.1010766$ と一致した。

$x = \frac{6}{7}$ が (4) の範囲に入っているかを必ず確かめる。入っていなければ端点が最小になる。

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問題文について

(1)x>−1 で f(x)=x3+1​ekx​（k は定数）のとき f′(x) を計算する

(2)g(x)=x3+1x2​（x>−1）の増減を調べ、極値を求める

(3)方程式 f′(x)=0 の相異なる実数解の個数を求める

(4)f(x) が極値をとる x の値の個数を求める

(1)x1​=2、y1​=1、xn+1​=2xn​+5yn​、yn+1​=xn​+2yn​ のとき、数列 {xn2​−5yn2​} の一般項を求める

(2)条件 (Pn​)「xn​≧2yn​ かつ yn​≧4n−1」について、(Pk​) ならば (Pk+1​) を示す

(3)極限 n→∞lim​yn​xn​​ を求める

(1)円 C:x2+y2=1 と直線 ℓ:y=−x+2​t（2​1​≦t≦1）の共有点で D に属する点を B、ℓ と x 軸の交点を A、∠AOB=θ とするとき、t を θ で表す

(2)D の面積 S(t) を θ で表す

(3)∫2​1​1​S(t)dt の値を求める

(4)4 点 (±2​,0,0)、(0,±2​,0) を頂点とする正方形を底面、(0,0,1) を頂点とする四角錐 V から、円柱 W:x2+y2<1、0≦z≦1 を除いた立体 K の体積を求める

(1)OA=8、OB=10、AB=12 の三角形 OAB で、a=OA、b=OB とするとき a⋅b を求める

(2)三角形 OAB の面積 S を求める

(3)三角形 OAB の外心を G とするとき、OG を a,b で表す

(4)辺 OA 上に O と異なる点 D をとり OAOD​=x とする。直線 DG が辺 OB と交わるための x の範囲を求める

(5)(4) の範囲で D を動かす。直線 DG と辺 OB の交点を E とするとき、三角形 ODE の面積の最小値とそのときの x を求める

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(2)条件 $(P_{n})$ 「 $x_{n} ≧ 2 y_{n}$ かつ $y_{n} ≧ 4^{n - 1}$ 」について、 $(P_{k})$ ならば $(P_{k + 1})$ を示す

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(1)円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : y = - x + 2 t$ （ $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ ）の共有点で $D$ に属する点を $B$ 、 $ℓ$ と $x$ 軸の交点を $A$ 、 $∠ AOB = θ$ とするとき、 $t$ を $θ$ で表す

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