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名古屋工業大学　2020年度　前期日程　工学部

第3問図形と方程式・積分法の解答・解説

円と直線の交点・扇形を使った面積・置換積分・断面積から体積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : y = - x + 2 t$ （ $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ ）の共有点で $D$ に属する点を $B$ 、 $ℓ$ と $x$ 軸の交点を $A$ 、 $∠ AOB = θ$ とするとき、 $t$ を $θ$ で表す

答 $t = cos (θ - \frac{π}{4})$ （このとき $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ ）

$B$ は単位円上なので $B = (cos θ, sin θ)$ 。これを $ℓ$ の式に入れて合成する。

$A = (2 t, 0)$ は $x$ 軸の正の部分にある（ $t > 0$ ）。 $B$ は単位円上の点で、 $D$ の条件 $0 ≦ y ≦ x$ から $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ である。よって

B = (cos θ, sin θ)

とおける。 $B$ は $ℓ$ 上にあるので $sin θ = - cos θ + 2 t$ 、すなわち

cos θ + sin θ = 2 t

である。左辺を合成すると $2 cos (θ - \frac{π}{4})$ なので

t = cos (θ - \frac{π}{4})

である。 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ のとき $- \frac{π}{4} ≦ θ - \frac{π}{4} ≦ 0$ で、 $t$ は $\frac{1}{2}$ から $1$ まで動く。問題の $t$ の範囲とちょうど対応している。

円と直線の交点は2つあるが、 $x ≧ y$ を満たすほうが $B$ である。連立して解くと $x = \frac{t \pm 1 - t ^{2}}{2}$ で、 $+$ のほうが $B$ にあたる。

$t = 0.75, 0.85, 0.95, 1$ で $B$ を直接求めると $∣ OB ∣ = 1$ で、 $cos (θ - \frac{π}{4})$ がそれぞれ $t$ に一致した。

(2) $D$ の面積 $S (t)$ を $θ$ で表す

答 $S = \frac{1}{2} (sin^{2} θ + sin θ cos θ - θ)$

極座標で書くと $D = {0 ≦ φ ≦ θ, 1 ≦ r ≦ \frac{t}{cos ( φ - \frac{π}{4} )}}$ 。

$(x, y) = (r cos φ, r sin φ)$ とおく。 $0 ≦ y ≦ x$ は $0 ≦ φ ≦ \frac{π}{4}$ 、 $x^{2} + y^{2} ≧ 1$ は $r ≧ 1$ である。 $ℓ$ は $r (cos φ + sin φ) = 2 t$ 、つまり

r = \frac{t}{cos ( φ - \frac{π}{4} )} (= ρ (φ) とおく)

なので、 $y ≦ - x + 2 t$ は $r ≦ ρ (φ)$ である。 $ρ (φ) ≧ 1$ となるのは $cos (φ - \frac{π}{4}) ≦ t = cos (θ - \frac{π}{4})$ 、すなわち $0 ≦ φ ≦ θ$ のときである。よって

S = \int_{0}^{θ} \frac{1}{2} {ρ (φ)^{2} - 1^{2}} d φ = \frac{1}{2} \int_{0}^{θ} {\frac{t ^{2}}{cos ^{2} ( φ - \frac{π}{4} )} - 1} d φ

である。 $\int \frac{d φ}{cos ^{2} ( φ - \frac{π}{4} )} = tan (φ - \frac{π}{4})$ なので

S = \frac{t ^{2}}{2} {tan (θ - \frac{π}{4}) + 1} - \frac{θ}{2}

である。 $t = cos (θ - \frac{π}{4})$ を入れて $ψ = θ - \frac{π}{4}$ とおくと

\frac{t ^{2}}{2} (tan ψ + 1) = \frac{cos ψ sin ψ + cos ^{2} ψ}{2} = \frac{1 + sin 2 ψ + cos 2 ψ}{4}

で、 $2 ψ = 2 θ - \frac{π}{2}$ より $sin 2 ψ = - cos 2 θ$ 、 $cos 2 ψ = sin 2 θ$ である。したがって

S = \frac{1 - cos 2 θ + sin 2 θ}{4} - \frac{θ}{2} = \frac{1}{2} (sin^{2} θ + sin θ cos θ - θ)

である。 $θ = 0$ なら $S = 0$ （ $A$ と $B$ が重なる）、 $θ = \frac{π}{4}$ なら $S = \frac{1}{2} - \frac{π}{8}$ で、三角形から扇形を引いた値と合う。

D のようす（図は t = 0.95 のとき）。単位円の外、直線 ℓ の下、2直線 y = 0 と y = x のあいだ。塗った部分が D で、左下の角が θ。

$t = 0.75, 0.85, 0.95, 1$ で、極座標による数値積分と式の値が小数7桁まで一致した。

$D$ は「三角形から扇形を引いたもの」ではない。 $θ < \frac{π}{4}$ のときは円が $ℓ$ からはみ出すので、角 $φ$ の範囲も $θ$ までに切れる。

(3) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} S (t) d t$ の値を求める

答 $\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8}$

$t = cos α$ （ $α = \frac{π}{4} - θ$ ）と置換する。 $d t = - sin α d α$ 。

$α = \frac{π}{4} - θ$ とおくと $t = cos α$ で、 $t : \frac{1}{2} \to 1$ は $α : \frac{π}{4} \to 0$ にあたる。(2) の途中の式に $θ = \frac{π}{4} - α$ を入れると

S = \frac{cos ^{2} α - sin α cos α}{2} + \frac{α}{2} - \frac{π}{8}

である。 $d t = - sin α d α$ なので

\int_{\frac{1}{2}}^{1} S d t = \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\frac{cos ^{2} α - sin α cos α}{2} + \frac{α}{2} - \frac{π}{8}} sin α d α

である。4つに分けて計算する。

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{2} α sin α d α = \frac{1}{2} [- \frac{cos ^{3} α}{3}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{6} (1 - \frac{2}{4})

- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} α cos α d α = - \frac{1}{2} [\frac{sin ^{3} α}{3}]_{0}^{\frac{π}{4}} = - \frac{2}{24}

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} α sin α d α = \frac{1}{2} [sin α - α cos α]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{2}{4} - \frac{2 π}{16}

- \frac{π}{8} \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin α d α = - \frac{π}{8} (1 - \frac{2}{2}) = - \frac{π}{8} + \frac{2 π}{16}

足すと $\frac{2 π}{16}$ が消えて

\int_{\frac{1}{2}}^{1} S d t = \frac{1}{6} - \frac{2}{24} - \frac{2}{24} + \frac{2}{4} - \frac{π}{8} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} - \frac{π}{8}

すなわち $\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8}$ （ $0.00967 \dots$ ）である。

数値積分すると $0.0096698$ で、 $\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8} = 0.0096698$ と一致した。

$S$ は $θ$ の式なので、 $d t$ のままでは積分できない。 $t = cos α$ と置換して $α$ の積分に直す。

(4) $4$ 点 $(\pm 2, 0, 0)$ 、 $(0, \pm 2, 0)$ を頂点とする正方形を底面、 $(0, 0, 1)$ を頂点とする四角錐 $V$ から、円柱 $W : x^{2} + y^{2} < 1$ 、 $0 ≦ z ≦ 1$ を除いた立体 $K$ の体積を求める

答 $\frac{4 ( 1 + 2 )}{3} - π$

高さ $z$ の断面は「正方形から単位円板を除いた4すみ」。すみ1つぶんの面積が (2) の $S$ そのものになる。

高さ $z$ での $V$ の断面は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≦ a$ （ $a = 2 (1 - z)$ ）である。 $K$ の断面はここから $x^{2} + y^{2} < 1$ を除いたものになる。

正方形が単位円の内側に入ってしまうのは、頂点までの距離 $a$ が $1$ 以下のとき、つまり $a ≦ 1$ のときで、このとき断面は空である。 $a = 2 (1 - z) > 1$ は $0 ≦ z < 1 - \frac{1}{2}$ にあたる。

$a > 1$ のとき、断面は4すみの合同な図形からなる。 $x$ 軸の正の向きにあるすみは、直線 $x + y = a$ と $x - y = a$ と単位円で囲まれる部分である。 $\frac{a}{2} = t$ とおくと、上半分は

x^{2} + y^{2} ≧ 1, y ≦ - x + 2 t, 0 ≦ y ≦ x

そのもので、これは $D$ である。 $a : 1 \to 2$ は $t : \frac{1}{2} \to 1$ に対応するので、断面積は

A (z) = 4 \times 2 S (t) = 8 S (t), t = 1 - z

である（ $t = \frac{a}{2} = 1 - z$ ）。 $d z = - d t$ で、 $z : 0 \to 1 - \frac{1}{2}$ は $t : 1 \to \frac{1}{2}$ だから

(K の体積) = \int_{0}^{1 - \frac{1}{2}} 8 S (1 - z) d z = 8 \int_{\frac{1}{2}}^{1} S (t) d t

となり、(3) がそのまま使える。

(K の体積) = 8 (\frac{1 + 2}{6} - \frac{π}{8}) = \frac{4 ( 1 + 2 )}{3} - π

である（ $0.0774 \dots$ ）。

高さ z での断面（図は a = 1.25 のとき）。正方形 |x| + |y| ≦ a から単位円の内部を除くと、合同な4すみが残る。右のすみの上半分が (2) の D にあたる。

$a = 2$ （ $z = 0$ ）では断面積が $2 a^{2} - π = 4 - π$ で、正方形から円をまるごと引いた値になる。 $8 S (1) = 8 (\frac{1}{2} - \frac{π}{8}) = 4 - π$ と合う。

断面積を数値積分して体積を求めると $0.077359$ で、 $\frac{4 ( 1 + 2 )}{3} - π = 0.077359$ と一致した。

$a ≦ 1$ の範囲では断面が空になる。 $z$ の積分範囲を $0 ≦ z ≦ 1$ のままにしない。

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問題文について

(1)円 C:x2+y2=1 と直線 ℓ:y=−x+2​t（2​1​≦t≦1）の共有点で D に属する点を B、ℓ と x 軸の交点を A、∠AOB=θ とするとき、t を θ で表す

(2)D の面積 S(t) を θ で表す

(3)∫2​1​1​S(t)dt の値を求める

(4)4 点 (±2​,0,0)、(0,±2​,0) を頂点とする正方形を底面、(0,0,1) を頂点とする四角錐 V から、円柱 W:x2+y2<1、0≦z≦1 を除いた立体 K の体積を求める