第1問微分積分の解答・解説

積と合成の微分・分数関数の増減・定数を分離して解の個数・極値をとる点の個数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x > - 1$ で $f (x) = \frac{e ^{k x}}{x ^{3} + 1}$ （ $k$ は定数）のとき $f^{'} (x)$ を計算する

答 $f^{'} (x) = \frac{e ^{k x} { 2 k ( x ^{3} + 1 ) - 3 x ^{2} }}{2 ( x ^{3} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}$

$f = e^{k x} (x^{3} + 1)^{- \frac{1}{2}}$ と書いて積の微分。

$x > - 1$ では $x^{3} + 1 > 0$ なので、 $f (x) = e^{k x} (x^{3} + 1)^{- \frac{1}{2}}$ と書ける。積の微分で

f^{'} (x) = k e^{k x} (x^{3} + 1)^{- \frac{1}{2}} + e^{k x} \cdot (- \frac{1}{2}) (x^{3} + 1)^{- \frac{3}{2}} \cdot 3 x^{2}

である。 $(x^{3} + 1)^{- \frac{3}{2}}$ でくくると

f^{'} (x) = \frac{e ^{k x}}{2 ( x ^{3} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} {2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2}}

である。

$e^{k x} > 0$ 、 $(x^{3} + 1)^{\frac{3}{2}} > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2}$ の符号だけで決まる。(3)(4) はここが出発点になる。

$k = - 1, 0.3, 2$ 、 $x = - 0.5, 0.2, 1.3, 3$ で数値微分と一致した。

(2) $g (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1}$ （ $x > - 1$ ）の増減を調べ、極値を求める

答 $x = 0$ で極小値 $0$ 、 $x = 32$ で極大値 $\frac{3 4}{3}$

商の微分。分子は $- x^{4} + 2 x = x (2 - x^{3})$ ときれいに因数分解できる。

g^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{3} + 1 ) - x ^{2} \cdot 3 x ^{2}}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}} = \frac{- x ^{4} + 2 x}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ( 2 - x ^{3} )}{( x ^{3} + 1 ) ^{2}}

である。分母は正なので、符号は $x (2 - x^{3})$ で決まる。 $g^{'} = 0$ となるのは $x = 0, 32$ である。

$- 1 < x < 0$ ： $x < 0$ 、 $2 - x^{3} > 2 > 0$ なので $g^{'} < 0$ （減少）
$0 < x < 32$ ： $x > 0$ 、 $2 - x^{3} > 0$ なので $g^{'} > 0$ （増加）
$x > 32$ ： $x > 0$ 、 $2 - x^{3} < 0$ なので $g^{'} < 0$ （減少）

よって $x = 0$ で極小、 $x = 32$ で極大である。値は

g (0) = 0, g (32) = \frac{3 4}{2 + 1} = \frac{3 4}{3}

である。

端のようすも見ておく。 $x \to - 1 + 0$ では分母が $+ 0$ 、分子が $1$ に近づくので $g \to + \infty$ 。 $x \to \infty$ では $g \sim \frac{1}{x} \to + 0$ である。

y = g(x) のグラフ（x > −1）。x = −1 の右で +∞、x = 0 で極小 0、x = ∛2 で極大 ∛4/3、その後 +0 に近づく。点線は水平な直線 y = 2k/3 で、交点の個数が (3) の答えになる。

極大値は $0.5291337$ で $\frac{3 4}{3} = 0.5291337$ と一致し、 $g^{'}$ の式も数値微分と合った。

(3)方程式 $f^{'} (x) = 0$ の相異なる実数解の個数を求める

答 $k < 0$ のとき $0$ 個、 $k = 0$ のとき $1$ 個、 $0 < k < \frac{3 4}{2}$ のとき $3$ 個、 $k = \frac{3 4}{2}$ のとき $2$ 個、 $k > \frac{3 4}{2}$ のとき $1$ 個

(1) より $f^{'} = 0$ は $2 k = 3 g (x)$ 。(2) のグラフと水平な直線の交点の個数を数える。

(1) より、 $x > - 1$ で $f^{'} (x) = 0$ は $2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2} = 0$ と同じである。 $x^{3} + 1 > 0$ で割ると

2 k = 3 \cdot \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1} = 3 g (x), つまり g (x) = \frac{2 k}{3}

である。求める個数は、 $y = g (x)$ のグラフと水平な直線 $y = \frac{2 k}{3}$ の共有点の個数である。

(2) より $g$ は $(- 1, 0)$ で $+ \infty$ から $0$ まで減り、 $(0, 32)$ で $0$ から $\frac{3 4}{3}$ まで増え、 $(32, \infty)$ で $\frac{3 4}{3}$ から $+ 0$ まで減る。 $\frac{2 k}{3} = c$ とおくと

$c < 0$ ：どの区間とも交わらない。 $0$ 個
$c = 0$ ： $x = 0$ だけ。 $1$ 個
$0 < c < \frac{3 4}{3}$ ：3つの区間で1個ずつ。 $3$ 個
$c = \frac{3 4}{3}$ ：1つめの区間で1個、あとの2区間は $x = 32$ で1個。 $2$ 個
$c > \frac{3 4}{3}$ ：1つめの区間だけ。 $1$ 個

$c = \frac{2 k}{3}$ なので、 $c = \frac{3 4}{3}$ は $k = \frac{3 4}{2}$ にあたる。したがって

$k < 0$ のとき $0$ 個
$k = 0$ のとき $1$ 個
$0 < k < \frac{3 4}{2}$ のとき $3$ 個
$k = \frac{3 4}{2}$ のとき $2$ 個
$k > \frac{3 4}{2}$ のとき $1$ 個

$\frac{3 4}{2} = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} = 2^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3 2}$ である。 $0.7937 \dots$ になる。

$k = - 1, 0, 0.1, 0.5, 0.7, \frac{3 4}{2}, 0.9, 2$ で数えると、順に $0, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 1$ 個だった。

$k$ をかけたまま3次方程式として扱うと場合分けが重くなる。 $k$ を分離して「グラフと水平な直線」に持ち込む。

(4) $f (x)$ が極値をとる $x$ の値の個数を求める

答 $k ≦ 0$ のとき $0$ 個、 $0 < k < \frac{3 4}{2}$ のとき $3$ 個、 $k ≧ \frac{3 4}{2}$ のとき $1$ 個

解の個数ではなく符号が変わる点の個数。 $g$ が極値をとる点で接するときは符号が変わらない。

(1) より $f^{'}$ の符号は $2 k (x^{3} + 1) - 3 x^{2}$ の符号、つまり $x^{3} + 1 > 0$ で割った $\frac{2 k}{3} - g (x)$ の符号と同じである。 $f$ が $x_{0}$ で極値をとるのは、 $g (x) - \frac{2 k}{3}$ が $x_{0}$ の前後で符号を変えるときに限る。

(3) で数えた共有点のうち、 $g$ が単調な区間の内部で横切るものは符号が変わる。符号が変わらないのは、水平な直線が $g$ の極大・極小のところで接する場合、すなわち

$c = 0$ （ $k = 0$ ）で $x = 0$ のとき … $g$ の極小。 $g ≧ 0$ なので符号は変わらない
$c = \frac{3 4}{3}$ （ $k = \frac{3 4}{2}$ ）で $x = 32$ のとき … $g$ の極大。符号は変わらない

の2つである。よって極値をとる $x$ の個数は

$k < 0$ ：共有点が $0$ 個なので $0$ 個
$k = 0$ ：共有点 $1$ 個はすべて接するので $0$ 個
$0 < k < \frac{3 4}{2}$ ：共有点 $3$ 個すべてで符号が変わるので $3$ 個
$k = \frac{3 4}{2}$ ：共有点 $2$ 個のうち $x = 32$ は接するので $1$ 個
$k > \frac{3 4}{2}$ ：共有点 $1$ 個で符号が変わるので $1$ 個

すなわち $k ≦ 0$ で $0$ 個、 $0 < k < \frac{3 4}{2}$ で $3$ 個、 $k ≧ \frac{3 4}{2}$ で $1$ 個である。

$k = 0$ のときは $f (x) = \frac{1}{x ^{3} + 1}$ で、 $f^{'} (x) = - \frac{3 x ^{2}}{2 ( x ^{3} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} ≦ 0$ 。 $x = 0$ でだけ $0$ になるが、ずっと減少なので極値はない。(3) と (4) で答えがずれるのはここである。