独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問5問・無料

名古屋工業大学　2020年度　前期日程　工学部

第4問ベクトルの解答・解説

内積と三角形の面積・外心の位置ベクトル・直線が辺と交わる条件・面積比の最小当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $OA = 8$ 、 $OB = 10$ 、 $AB = 12$ の三角形 $OAB$ で、 $a = OA$ 、 $b = OB$ とするとき $a \cdot b$ を求める

答 $a \cdot b = 10$

$b - a^{2} = AB^{2}$ を展開する。

AB^{2} = b - a^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + b^{2}

に $AB = 12$ 、 $∣ a ∣ = 8$ 、 $b = 10$ を入れると

144 = 64 - 2 a \cdot b + 100, a \cdot b = \frac{164 - 144}{2} = 10

である。

座標で取り直すと内積は $10$ 、 $AB = 12$ になった。

(2)三角形 $OAB$ の面積 $S$ を求める

答 $S = 157$

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} b^{2} - (a \cdot b)^{2}$ 。

S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} b^{2} - (a \cdot b)^{2} = \frac{1}{2} 64 \cdot 100 - 100 = \frac{1}{2} 6300

で、 $6300 = 900 \times 7$ だから

S = \frac{1}{2} \cdot 307 = 157

である（ $39.686 \dots$ ）。

座標から求めた面積は $39.6862697$ で、 $157 = 39.6862697$ と一致した。

(3)三角形 $OAB$ の外心を $G$ とするとき、 $OG$ を $a, b$ で表す

答 $OG = \frac{3}{7} a + \frac{16}{35} b$

外心は $OG \cdot a = \frac{∣ a ∣ ^{2}}{2}$ 、 $OG \cdot b = \frac{b ^{2}}{2}$ で決まる。

$G$ は $OA$ の垂直二等分線上にあるので、 $OA$ の中点を $M$ として $(OG - \frac{a}{2}) \cdot a = 0$ 、つまり

OG \cdot a = \frac{∣ a ∣ ^{2}}{2} = 32, OG \cdot b = \frac{b ^{2}}{2} = 50

である。 $OG = s a + t b$ とおくと、 $a \cdot b = 10$ を使って

{64 s + 10 t = 32 10 s + 100 t = 50

となる。2式目は $s + 10 t = 5$ なので $s = 5 - 10 t$ 。1式目に入れると

64 (5 - 10 t) + 10 t = 32, - 630 t = - 288, t = \frac{16}{35}

で、 $s = 5 - \frac{160}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$ である。よって

OG = \frac{3}{7} a + \frac{16}{35} b

である。

係数の和は $\frac{15}{35} + \frac{16}{35} = \frac{31}{35} < 1$ なので、 $G$ は辺 $AB$ より $O$ 側にある。どちらの係数も正なので三角形の内部にある（この三角形は鋭角三角形）。

外心を連立で求めると3頂点までの距離がどれも $6.0474316$ で、係数は $\frac{3}{7}$ と $\frac{16}{35}$ になった。

(4)辺 $OA$ 上に $O$ と異なる点 $D$ をとり $\frac{OD}{OA} = x$ とする。直線 $DG$ が辺 $OB$ と交わるための $x$ の範囲を求める

答 $\frac{15}{19} ≦ x ≦ 1$

直線 $DG$ 上の点で $a$ の係数が $0$ になるものを求め、 $b$ の係数が $0$ と $1$ のあいだに入る条件を書く。

$OD = x a$ （ $0 < x ≦ 1$ ）である。直線 $DG$ 上の点は $u$ を実数として

(1 - u) x a + u (\frac{3}{7} a + \frac{16}{35} b) = {(1 - u) x + \frac{3 u}{7}} a + \frac{16 u}{35} b

と書ける。これが直線 $OB$ 上にあるのは $a$ の係数が $0$ のとき、つまり

(1 - u) x + \frac{3 u}{7} = 0, u (\frac{3}{7} - x) = - x, u = \frac{7 x}{7 x - 3}

のときである（ $x = \frac{3}{7}$ なら $DG$ は $OB$ と平行で交わらない）。このとき

OE = \frac{16 u}{35} b = \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )} b

である。 $E$ が辺 $OB$ 上（ $O$ を除く）にある条件は $0 < \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )} ≦ 1$ である。

$x > 0$ なので、正であることから $7 x - 3 > 0$ 、つまり $x > \frac{3}{7}$
$1$ 以下であることから $16 x ≦ 5 (7 x - 3) = 35 x - 15$ 、つまり $19 x ≧ 15$ 、 $x ≧ \frac{15}{19}$

$\frac{15}{19} > \frac{3}{7}$ なので、 $x > \frac{3}{7}$ は自動で満たされる。 $D$ は辺 $OA$ 上なので $x ≦ 1$ も必要である。よって

\frac{15}{19} ≦ x ≦ 1

である。

$x$ を $0.00001$ 刻みで動かすと、 $E$ が辺 $OB$ 上に乗る最小の $x$ は $0.78948$ で、 $\frac{15}{19} = 0.7894737$ と合った。

「直線 $OB$ と交わる」ではなく「辺 $OB$ と交わる」。 $b$ の係数が $0$ より大きく $1$ 以下であることまで書く。

(5)(4) の範囲で $D$ を動かす。直線 $DG$ と辺 $OB$ の交点を $E$ とするとき、三角形 $ODE$ の面積の最小値とそのときの $x$ を求める

答 $x = \frac{6}{7}$ のとき最小値 $\frac{576 7}{49}$

面積は $x \cdot \frac{OE}{OB} \cdot S$ 。 $x$ の分数関数になるので微分する。

$\frac{OD}{OA} = x$ 、 $\frac{OE}{OB} = \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )}$ なので

△ ODE = x \cdot \frac{16 x}{5 ( 7 x - 3 )} \cdot S = \frac{16 x ^{2}}{5 ( 7 x - 3 )} \cdot 157 = 487 \cdot \frac{x ^{2}}{7 x - 3}

である。 $h (x) = \frac{x ^{2}}{7 x - 3}$ とおくと

h^{'} (x) = \frac{2 x ( 7 x - 3 ) - 7 x ^{2}}{( 7 x - 3 ) ^{2}} = \frac{7 x ^{2} - 6 x}{( 7 x - 3 ) ^{2}} = \frac{x ( 7 x - 6 )}{( 7 x - 3 ) ^{2}}

である。 $\frac{15}{19} ≦ x ≦ 1$ では $x > 0$ なので符号は $7 x - 6$ で決まり、 $x = \frac{6}{7}$ の前後で負から正に変わる。 $\frac{15}{19} = 0.789 \dots < \frac{6}{7} = 0.857 \dots < 1$ なので、 $x = \frac{6}{7}$ で最小になる。

h (\frac{6}{7}) = \frac{\frac{36}{49}}{6 - 3} = \frac{12}{49}

なので、最小値は

487 \cdot \frac{12}{49} = \frac{576 7}{49}

である（ $31.10 \dots$ ）。

三角形 OAB と外心 G。点線は最小のときの直線 DE（x = 6/7）で、G を通る。うすい円は外接円。

$x$ を $0.00001$ 刻みで動かすと、最小は $x = 0.85714$ で $31.1010766$ 、 $\frac{576 7}{49} = 31.1010766$ と一致した。

$x = \frac{6}{7}$ が (4) の範囲に入っているかを必ず確かめる。入っていなければ端点が最小になる。

2020年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名工大数学 2027

名工大数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・116ページ・2026年7月26日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)OA=8、OB=10、AB=12 の三角形 OAB で、a=OA、b=OB とするとき a⋅b を求める

(2)三角形 OAB の面積 S を求める

(3)三角形 OAB の外心を G とするとき、OG を a,b で表す

(4)辺 OA 上に O と異なる点 D をとり OAOD​=x とする。直線 DG が辺 OB と交わるための x の範囲を求める

(5)(4) の範囲で D を動かす。直線 DG と辺 OB の交点を E とするとき、三角形 ODE の面積の最小値とそのときの x を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $OA = 8$ 、 $OB = 10$ 、 $AB = 12$ の三角形 $OAB$ で、 $a = OA$ 、 $b = OB$ とするとき $a \cdot b$ を求める

(2)三角形 $OAB$ の面積 $S$ を求める

(3)三角形 $OAB$ の外心を $G$ とするとき、 $OG$ を $a, b$ で表す

(4)辺 $OA$ 上に $O$ と異なる点 $D$ をとり $\frac{OD}{OA} = x$ とする。直線 $DG$ が辺 $OB$ と交わるための $x$ の範囲を求める

(5)(4) の範囲で $D$ を動かす。直線 $DG$ と辺 $OB$ の交点を $E$ とするとき、三角形 $ODE$ の面積の最小値とそのときの $x$ を求める