第1問空間ベクトルの解答・解説

法線ベクトル・直線と平面の交点・点と直線の距離・2次関数の最小当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $P (a, b, t)$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $x y$ 平面との交点 $Q$ の座標を求める

答 $Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)$

平面の法線ベクトルは $AB$ と $AC$ の外積で出る。あとは $P$ から法線方向に進んで $z = 0$ になるところを探すだけである。

$AB = (- 2, - 2, 12)$ 、 $AC = (0, - 2, 8)$ である。法線ベクトル $n = (p, q, r)$ は

{- 2 p - 2 q + 12 r = 0 - 2 q + 8 r = 0

をみたす。2本目から $q = 4 r$ 、1本目に入れて $- 2 p - 8 r + 12 r = 0$ より $p = 2 r$ 。 $r = 1$ ととって

n = (2, 4, 1)

である（外積 $AB \times AC = (8, 16, 4) = 4 (2, 4, 1)$ でもよい）。

交点。 $P (a, b, t)$ を通り $n$ に平行な直線は

(x, y, z) = (a + 2 s, b + 4 s, t + s)

である。 $x y$ 平面との交点は $z = 0$ 、すなわち $s = - t$ のときだから

Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)

である。

$AB \times AC = (8, 16, 4)$ で、 $(2, 4, 1)$ の $4$ 倍である。 $(a, b, t)$ を $20$ 万組ランダムにとって計算しても、交点は $(a - 2 t, b - 4 t, 0)$ に一致した。

法線ベクトルは向きと大きさの自由度があるが、 $(2, 4, 1)$ の定数倍ならどれでもよい。ここでは $z$ 成分を $1$ にそろえると、 $s = - t$ がすぐ出る。

$A, B, C$ が本当に三角形をなす（ $AB, AC$ が平行でない）ことは、外積が $0$ でないことで確かめられる。

(2) $t$ がすべての実数値を動くときの $OQ$ の最小値が $1$ 以下となる $a, b$ の条件を求める

答 $∣ 2 a - b ∣ \leq 5$

$OQ^{2}$ は $t$ の2次関数なので平方完成すればよい。幾何的には「原点から、点 $(a, b)$ を通り方向 $(2, 4)$ の直線までの距離」なので、点と直線の距離の公式でも出る。

(1) より $Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)$ なので

OQ^{2} = (a - 2 t)^{2} + (b - 4 t)^{2} = 20 t^{2} - 4 (a + 2 b) t + a^{2} + b^{2}

である。 $t$ の2次関数（ $t^{2}$ の係数 $20 > 0$ ）なので、 $t = \frac{a + 2 b}{10}$ で最小になり

min OQ^{2} = a^{2} + b^{2} - \frac{{ 4 ( a + 2 b ) } ^{2}}{4 \cdot 20} = a^{2} + b^{2} - \frac{( a + 2 b ) ^{2}}{5} = \frac{5 a ^{2} + 5 b ^{2} - a ^{2} - 4 ab - 4 b ^{2}}{5} = \frac{( 2 a - b ) ^{2}}{5}

である。したがって

min OQ = \frac{∣ 2 a - b ∣}{5}

で、これが $1$ 以下という条件は

\frac{∣ 2 a - b ∣}{5} \leq 1 ⟺ ∣ 2 a - b ∣ \leq 5

すなわち $- 5 \leq 2 a - b \leq 5$ である。

$t$ が動くと $Q$ は $x y$ 平面内で、点 $(a, b)$ を通り方向ベクトル $(2, 4)$ の直線を描く。 $min OQ$ はこの直線と原点の距離で、直線の式 $2 x - y = 2 a - b$ に点と直線の距離の公式を使っても $\frac{∣2 a - b ∣}{5}$ が出る。

(a, b) = (2, 1)

のときの

Q

の軌跡（

x y

平面内の直線

2 x - y = 3

）。原点からの距離の最小は垂線の足までの長さ

\frac{3}{5} = 1.342

で、公式

\frac{∣2 a - b ∣}{5}

と一致する。

$(a, b) = (2, 1)$ では $\frac{∣2 \cdot 2 - 1∣}{5} = \frac{3}{5} = 1.341641$ で、 $t$ を $80$ 万点動かした直接計算でも $1.341641$ になる。 $(a, b) = (1, 2)$ では $2 a - b = 0$ で最小は $0$ 、実際 $t = \frac{1}{2}$ で $Q$ が原点に一致する。