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九州大学　2025年度　前期日程　理科系

第4問図形の解答・解説

円周角・直径と直角・弦の長さ・三角形の面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $∠ ACB$ を求める

答 $∠ ACB = \frac{π}{8} (= 22. 5^{\circ})$

円周上の点は中心から見た角度（中心角）で位置が決まる。 $AD$ が直径なので $A$ と $D$ は $18 0^{\circ}$ 離れ、 $AC = CD$ から $C$ はその中点、 $AB = BC$ から $B$ は弧 $AC$ の中点になる。あとは円周角の定理である。

中心を $O$ とする。弧の中心角で位置を測る。 $AD$ が直径なので、 $A$ から反時計回りに $D$ までの中心角は $18 0^{\circ}$ である。

$C$ の位置。 弦の長さは中心角で決まる（中心角 $θ$ の弦は $2 sin \frac{θ}{2}$ ）ので、 $AC = CD$ は弧 $AC$ と弧 $CD$ の中心角が等しいことを意味する。和が $18 0^{\circ}$ だから、どちらも $9 0^{\circ}$ である。

$B$ の位置。 同じく $AB = BC$ より、弧 $AB$ と弧 $BC$ の中心角は等しく、和が $9 0^{\circ}$ だからどちらも $4 5^{\circ}$ である。

円周角。 $∠ ACB$ は弦 $AB$ に対する円周角（ $C$ は弧 $AB$ の反対側にある）なので、中心角 $4 5^{\circ}$ の半分で

∠ ACB = \frac{4 5 ^{\circ}}{2} = 22. 5^{\circ} = \frac{π}{8}

である。

半径

1

の円周上に

A (1, 0)

、

B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})

、

C (0, 1)

、

D (- 1, 0)

。

AD

が直径で、弧

AB

と

BC

が

4 5^{\circ}

、弧

CD

が

9 0^{\circ}

。

E

は

AC

と

BD

の交点。

$A (1, 0)$ 、 $B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ 、 $C (0, 1)$ 、 $D (- 1, 0)$ とすると $AC = CD = 1.414214 = 2$ 、 $AB = BC = 0.765367$ で条件をみたし、 $∠ ACB = 22.50000 0^{\circ}$ である。

「弦が等しい ⟺ 中心角（弧）が等しい」を使う。 $AC = CD$ から直接 $C$ が弧の中点だと言える。

$∠ ACB$ は弦 $AB$ に対する円周角である。弦 $BC$ ではない。

(2) $BC$ を求める

答 $BC = 2 - 2$

弧 $BC$ の中心角が $4 5^{\circ}$ なので、弦の長さの公式 $2 sin \frac{θ}{2}$ （半径 $1$ ）で出る。半角の公式で $sin 22. 5^{\circ}$ を根号で書く。

(1) より弧 $BC$ の中心角は $4 5^{\circ}$ である。半径 $1$ の円で中心角 $θ$ の弦の長さは $2 sin \frac{θ}{2}$ だから

BC = 2 sin 22. 5^{\circ}

である。半角の公式より

sin^{2} 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

なので $sin 22. 5^{\circ} = \frac{2 - 2}{2}$ 、したがって

BC = 2 - 2

である（ $0.7654$ ほど）。

$△ OBC$ で余弦定理を使っても同じで、 $BC^{2} = 1 + 1 - 2 cos 4 5^{\circ} = 2 - 2$ となる。

$B$ と $C$ の距離を座標から計算すると $0.765366865$ で、 $2 - 2 = 0.765366865$ と一致する。

$2 - 2$ の二重根号は外せない（ $2 - 2$ のままが答え）。無理に変形しない。

半径が $1$ なので弦は $2 sin \frac{θ}{2}$ である。直径 $2$ を掛け忘れない。

(3) $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とするとき、 $△ BCE$ の面積を求める

答 $\frac{3 - 2 2}{2}$

位置が完全に決まっているので、座標を入れてしまうのがいちばん速い。 $A (1, 0)$ 、 $C (0, 1)$ 、 $D (- 1, 0)$ 、 $B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ として、2直線の交点を出す。

中心を原点にとり、 $A (1, 0)$ 、 $D (- 1, 0)$ とする。(1) より $C$ は $A$ から反時計回りに $9 0^{\circ}$ 、 $B$ は $4 5^{\circ}$ の位置だから

B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}), C (0, 1)

である。

交点 $E$ 。 直線 $AC$ は $x + y = 1$ である。直線 $BD$ は $D (- 1, 0)$ を通り方向

DB = (\frac{2}{2} + 1, \frac{2}{2})

なので、 $(x, y) = (- 1, 0) + s DB$ と書ける。 $x + y = 1$ に代入すると

- 1 + s (2 + 1) = 1 ⟹ s = \frac{2}{2 + 1} = 2 (2 - 1)

である。 $(2 - 1) (\frac{2}{2} + 1) = \frac{2}{2}$ に注意すると

E (2 - 1, 2 - 2)

である（ $x + y = 1$ をみたしている）。

面積。

BC = (- \frac{2}{2}, 1 - \frac{2}{2}), BE = (\frac{2}{2} - 1, 2 - \frac{3 2}{2})

なので、外積の大きさの半分として

△ BCE = \frac{1}{2} (- \frac{2}{2}) (2 - \frac{3 2}{2}) - (1 - \frac{2}{2}) (\frac{2}{2} - 1) = \frac{1}{2} (- 2 + \frac{3}{2}) + (1 - \frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2} \frac{3}{2} - 2 + \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 2 2}{2}

である（ $0.0858$ ほど）。 $3 - 22 = (2 - 1)^{2}$ なので $\frac{( 2 - 1 ) ^{2}}{2}$ とも書ける。

$E (2 - 1, 2 - 2) = (0.414214, 0.585786)$ は $x + y = 1$ をみたし、 $D, B$ と同一直線上にある。 $△ BCE$ を座標から計算すると $0.085786438$ で、 $\frac{3 - 2 2}{2} = 0.085786438$ と一致する。