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九州大学　2025年度　前期日程　理科系

第3問整数の解答・解説

平方数の余り・mod 8・指数方程式・場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は九州大学が公開しています。

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)整数 $n$ について $n^{2}$ を $8$ で割った余りが $0, 1, 4$ のいずれかであることを示す

答 $n = 4 k + r$ （ $r = 0, 1, 2, 3$ ）とすると $n^{2} \equiv r^{2} \equiv 0, 1, 4, 1 (mod 8)$

$n$ を $4$ で割った余りで分ければよい。 $n^{2}$ の $8$ を法とする値は、 $n$ の $4$ を法とする値だけで決まる（ $n$ を $8 k$ 増やす必要はない）。

$n$ を $4$ で割った余りを $r \in {0, 1, 2, 3}$ とし、 $n = 4 k + r$ と書く。

n^{2} = 16 k^{2} + 8 k r + r^{2} \equiv r^{2} (mod 8)

である（ $16 k^{2}$ も $8 k r$ も $8$ の倍数）。あとは $r^{2}$ を計算して

r = 0 : 0, r = 1 : 1, r = 2 : 4, r = 3 : 9 \equiv 1

となるので、 $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

別の見方をすると、 $n$ が奇数なら $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ （連続2整数の積が偶数であることから $n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ が $8$ の倍数）、 $n$ が偶数なら $n = 2 k$ で $n^{2} = 4 k^{2} \equiv 0$ または $4$ 、となる。

$- 20 \leq n \leq 20$ で $n^{2} mod 8$ を計算すると、現れるのは $0, 1, 4$ の3つだけだった。

$8$ で割った余りを調べるのに $n$ を $8$ 通りに分ける必要はない。 $4$ 通りで足りる（ $n$ と $n + 4$ の平方は $8$ を法として等しい）。

$r = 3$ のとき $r^{2} = 9 \equiv 1$ である。 $9$ のまま答えに書かない。

(2) $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたす $0$ 以上の整数の組 $(m, n)$ をすべて求める

答 $(m, n) = (2, 1)$

$m \geq 3$ なら左辺は $8$ の倍数なので、 $n^{2} \equiv - 3 \equiv 5 (mod 8)$ が必要になる。(1) よりこれは不可能なので、 $m \leq 2$ に絞られる。

$m \geq 3$ は不可能。 このとき $2^{m}$ は $8$ の倍数なので

n^{2} + 3 \equiv 0 (mod 8) ⟺ n^{2} \equiv - 3 \equiv 5 (mod 8)

となる。しかし (1) より $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかで、 $5$ にはならない。よって $m \geq 3$ では解がない。

$m \leq 2$ を調べる。

$m = 0$ ： $1 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = - 2$ 。不可。
$m = 1$ ： $2 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = - 1$ 。不可。
$m = 2$ ： $4 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = 1$ 、 $n \geq 0$ より $n = 1$ 。◯

したがって求める組は

(m, n) = (2, 1)

だけである。

$0 \leq m \leq 39$ 、 $0 \leq n \leq 9999$ で全探索すると、 $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたすのは $(m, n) = (2, 1)$ だけだった。

$m$ も $n$ も「 $0$ 以上の整数」なので、 $m = 0, 1$ も調べる。 $n = 0$ も候補だが $2^{m} = 3$ となり不可。

$- 3 \equiv 5 (mod 8)$ である。符号を直してから (1) と突き合わせる。

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