第2問積分法の解答・解説

tan の微分・置換積分・部分分数分解・次数下げ当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $y = tan x$ のとき $\frac{d y}{d x}$ を $y$ の整式で表す

答 $\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ を商の微分で計算すると $\frac{1}{cos ^{2} x}$ になり、これは $1 + tan^{2} x$ に等しい。

\frac{d y}{d x} = (\frac{sin x}{cos x})^{'} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}

であり、 $\frac{1}{cos ^{2} x} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$ だから

\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}

である。

$x = \frac{π}{4}$ で $y = 1$ 、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{c o s ^{2} ( π /4 )} = 2$ で、 $1 + y^{2} = 2$ と一致する。

「 $y$ の整式で表せ」なので、 $\frac{1}{c o s ^{2} x}$ のままでは答えにならない。 $1 + tan^{2} x$ に直す。

(2) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{tan ^{4} x - tan ^{2} x - 2}{tan ^{2} x - 4} d x$ を求める

答 $1 - \frac{1}{2} lo g 3$

(1) から $d y = (1 + y^{2}) d x$ なので、 $y = tan x$ で置換すると $d x = \frac{d y}{1 + y ^{2}}$ である。分子が $(tan^{2} x - 2) (tan^{2} x + 1)$ と因数分解でき、 $1 + y^{2}$ がちょうど約分される。

分子を因数分解すると

tan^{4} x - tan^{2} x - 2 = (tan^{2} x - 2) (tan^{2} x + 1)

である。 $y = tan x$ とおくと (1) より $d x = \frac{d y}{1 + y ^{2}}$ で、 $x : 0 \to \frac{π}{4}$ のとき $y : 0 \to 1$ だから

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{( y ^{2} - 2 ) ( y ^{2} + 1 )}{y ^{2} - 4} \cdot \frac{d y}{1 + y ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} d y

となる（ $0 \leq y \leq 1$ では $y^{2} - 4 < 0$ で、分母は $0$ にならない）。

部分分数に分ける。

\frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} = 1 + \frac{2}{y ^{2} - 4} = 1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})

なので

\int_{0}^{1} \frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} d y = [y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} [lo g \frac{y - 2}{y + 2}]_{0}^{1}

である。 $y = 1$ で $\frac{- 1}{3} = \frac{1}{3}$ 、 $y = 0$ で $\frac{- 2}{2} = 1$ だから

= 1 + \frac{1}{2} (lo g \frac{1}{3} - lo g 1) = 1 - \frac{1}{2} lo g 3

である（ $0.4507$ ほど）。

$400$ 万点の数値積分で $0.450693856$ となり、 $1 - \frac{1}{2} lo g 3 = 0.450693856$ と一致する。

$tan^{4} x - tan^{2} x - 2$ を $t^{2} - t - 2 = (t - 2) (t + 1)$ （ $t = tan^{2} x$ ）と見て因数分解する。分母の $tan^{2} x - 4$ とは約分できないが、 $tan^{2} x + 1$ が置換で出る $\frac{1}{1 + y ^{2}}$ と約分される。

$\frac{2}{y ^{2} - 4} = \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})$ の係数 $\frac{1}{2}$ を落とさない。 $\frac{1}{( y - 2 ) ( y + 2 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})$ なので、 $2$ 倍して $\frac{1}{2}$ になる。