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九州大学　2025年度　前期日程　理科系

九大理系 2025年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は九州大学が公開しています。

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　空間ベクトル

法線ベクトル・直線と平面の交点・点と直線の距離・2次関数の最小当サイトの体感難易度：標準

(1) $P (a, b, t)$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $x y$ 平面との交点 $Q$ の座標を求める

答 $Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)$

平面の法線ベクトルは $AB$ と $AC$ の外積で出る。あとは $P$ から法線方向に進んで $z = 0$ になるところを探すだけである。

$AB = (- 2, - 2, 12)$ 、 $AC = (0, - 2, 8)$ である。法線ベクトル $n = (p, q, r)$ は

{- 2 p - 2 q + 12 r = 0 - 2 q + 8 r = 0

をみたす。2本目から $q = 4 r$ 、1本目に入れて $- 2 p - 8 r + 12 r = 0$ より $p = 2 r$ 。 $r = 1$ ととって

n = (2, 4, 1)

である（外積 $AB \times AC = (8, 16, 4) = 4 (2, 4, 1)$ でもよい）。

交点。 $P (a, b, t)$ を通り $n$ に平行な直線は

(x, y, z) = (a + 2 s, b + 4 s, t + s)

である。 $x y$ 平面との交点は $z = 0$ 、すなわち $s = - t$ のときだから

Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)

である。

$AB \times AC = (8, 16, 4)$ で、 $(2, 4, 1)$ の $4$ 倍である。 $(a, b, t)$ を $20$ 万組ランダムにとって計算しても、交点は $(a - 2 t, b - 4 t, 0)$ に一致した。

法線ベクトルは向きと大きさの自由度があるが、 $(2, 4, 1)$ の定数倍ならどれでもよい。ここでは $z$ 成分を $1$ にそろえると、 $s = - t$ がすぐ出る。

$A, B, C$ が本当に三角形をなす（ $AB, AC$ が平行でない）ことは、外積が $0$ でないことで確かめられる。

(2) $t$ がすべての実数値を動くときの $OQ$ の最小値が $1$ 以下となる $a, b$ の条件を求める

答 $∣ 2 a - b ∣ \leq 5$

$OQ^{2}$ は $t$ の2次関数なので平方完成すればよい。幾何的には「原点から、点 $(a, b)$ を通り方向 $(2, 4)$ の直線までの距離」なので、点と直線の距離の公式でも出る。

(1) より $Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)$ なので

OQ^{2} = (a - 2 t)^{2} + (b - 4 t)^{2} = 20 t^{2} - 4 (a + 2 b) t + a^{2} + b^{2}

である。 $t$ の2次関数（ $t^{2}$ の係数 $20 > 0$ ）なので、 $t = \frac{a + 2 b}{10}$ で最小になり

min OQ^{2} = a^{2} + b^{2} - \frac{{ 4 ( a + 2 b ) } ^{2}}{4 \cdot 20} = a^{2} + b^{2} - \frac{( a + 2 b ) ^{2}}{5} = \frac{5 a ^{2} + 5 b ^{2} - a ^{2} - 4 ab - 4 b ^{2}}{5} = \frac{( 2 a - b ) ^{2}}{5}

である。したがって

min OQ = \frac{∣ 2 a - b ∣}{5}

で、これが $1$ 以下という条件は

\frac{∣ 2 a - b ∣}{5} \leq 1 ⟺ ∣ 2 a - b ∣ \leq 5

すなわち $- 5 \leq 2 a - b \leq 5$ である。

$t$ が動くと $Q$ は $x y$ 平面内で、点 $(a, b)$ を通り方向ベクトル $(2, 4)$ の直線を描く。 $min OQ$ はこの直線と原点の距離で、直線の式 $2 x - y = 2 a - b$ に点と直線の距離の公式を使っても $\frac{∣2 a - b ∣}{5}$ が出る。

(a, b) = (2, 1)

のときの

Q

の軌跡（

x y

平面内の直線

2 x - y = 3

）。原点からの距離の最小は垂線の足までの長さ

\frac{3}{5} = 1.342

で、公式

\frac{∣2 a - b ∣}{5}

と一致する。

$(a, b) = (2, 1)$ では $\frac{∣2 \cdot 2 - 1∣}{5} = \frac{3}{5} = 1.341641$ で、 $t$ を $80$ 万点動かした直接計算でも $1.341641$ になる。 $(a, b) = (1, 2)$ では $2 a - b = 0$ で最小は $0$ 、実際 $t = \frac{1}{2}$ で $Q$ が原点に一致する。

$OQ$ ではなく $OQ^{2}$ を最小にする。平方根のまま平方完成しない。

$min OQ^{2} = \frac{( 2 a - b ) ^{2}}{5}$ まで整理できると、条件が絶対値ひとつで書ける。

$t$ は「すべての実数値」をとるので、頂点がかならず定義域に入る。端の場合分けは要らない。

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第2問　積分法

tan の微分・置換積分・部分分数分解・次数下げ当サイトの体感難易度：標準

(1) $y = tan x$ のとき $\frac{d y}{d x}$ を $y$ の整式で表す

答 $\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ を商の微分で計算すると $\frac{1}{cos ^{2} x}$ になり、これは $1 + tan^{2} x$ に等しい。

\frac{d y}{d x} = (\frac{sin x}{cos x})^{'} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}

であり、 $\frac{1}{cos ^{2} x} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$ だから

\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}

である。

$x = \frac{π}{4}$ で $y = 1$ 、 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{c o s ^{2} ( π /4 )} = 2$ で、 $1 + y^{2} = 2$ と一致する。

「 $y$ の整式で表せ」なので、 $\frac{1}{c o s ^{2} x}$ のままでは答えにならない。 $1 + tan^{2} x$ に直す。

(2) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{tan ^{4} x - tan ^{2} x - 2}{tan ^{2} x - 4} d x$ を求める

答 $1 - \frac{1}{2} lo g 3$

(1) から $d y = (1 + y^{2}) d x$ なので、 $y = tan x$ で置換すると $d x = \frac{d y}{1 + y ^{2}}$ である。分子が $(tan^{2} x - 2) (tan^{2} x + 1)$ と因数分解でき、 $1 + y^{2}$ がちょうど約分される。

分子を因数分解すると

tan^{4} x - tan^{2} x - 2 = (tan^{2} x - 2) (tan^{2} x + 1)

である。 $y = tan x$ とおくと (1) より $d x = \frac{d y}{1 + y ^{2}}$ で、 $x : 0 \to \frac{π}{4}$ のとき $y : 0 \to 1$ だから

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{( y ^{2} - 2 ) ( y ^{2} + 1 )}{y ^{2} - 4} \cdot \frac{d y}{1 + y ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} d y

となる（ $0 \leq y \leq 1$ では $y^{2} - 4 < 0$ で、分母は $0$ にならない）。

部分分数に分ける。

\frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} = 1 + \frac{2}{y ^{2} - 4} = 1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})

なので

\int_{0}^{1} \frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} d y = [y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} [lo g \frac{y - 2}{y + 2}]_{0}^{1}

である。 $y = 1$ で $\frac{- 1}{3} = \frac{1}{3}$ 、 $y = 0$ で $\frac{- 2}{2} = 1$ だから

= 1 + \frac{1}{2} (lo g \frac{1}{3} - lo g 1) = 1 - \frac{1}{2} lo g 3

である（ $0.4507$ ほど）。

$400$ 万点の数値積分で $0.450693856$ となり、 $1 - \frac{1}{2} lo g 3 = 0.450693856$ と一致する。

$tan^{4} x - tan^{2} x - 2$ を $t^{2} - t - 2 = (t - 2) (t + 1)$ （ $t = tan^{2} x$ ）と見て因数分解する。分母の $tan^{2} x - 4$ とは約分できないが、 $tan^{2} x + 1$ が置換で出る $\frac{1}{1 + y ^{2}}$ と約分される。

$\frac{2}{y ^{2} - 4} = \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})$ の係数 $\frac{1}{2}$ を落とさない。 $\frac{1}{( y - 2 ) ( y + 2 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})$ なので、 $2$ 倍して $\frac{1}{2}$ になる。

$lo g$ の中は絶対値をつける。 $0 \leq y \leq 1$ では $y - 2 < 0$ である。

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第3問　整数

平方数の余り・mod 8・指数方程式・場合分け当サイトの体感難易度：標準

(1)整数 $n$ について $n^{2}$ を $8$ で割った余りが $0, 1, 4$ のいずれかであることを示す

答 $n = 4 k + r$ （ $r = 0, 1, 2, 3$ ）とすると $n^{2} \equiv r^{2} \equiv 0, 1, 4, 1 (mod 8)$

$n$ を $4$ で割った余りで分ければよい。 $n^{2}$ の $8$ を法とする値は、 $n$ の $4$ を法とする値だけで決まる（ $n$ を $8 k$ 増やす必要はない）。

$n$ を $4$ で割った余りを $r \in {0, 1, 2, 3}$ とし、 $n = 4 k + r$ と書く。

n^{2} = 16 k^{2} + 8 k r + r^{2} \equiv r^{2} (mod 8)

である（ $16 k^{2}$ も $8 k r$ も $8$ の倍数）。あとは $r^{2}$ を計算して

r = 0 : 0, r = 1 : 1, r = 2 : 4, r = 3 : 9 \equiv 1

となるので、 $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

別の見方をすると、 $n$ が奇数なら $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ （連続2整数の積が偶数であることから $n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ が $8$ の倍数）、 $n$ が偶数なら $n = 2 k$ で $n^{2} = 4 k^{2} \equiv 0$ または $4$ 、となる。

$- 20 \leq n \leq 20$ で $n^{2} mod 8$ を計算すると、現れるのは $0, 1, 4$ の3つだけだった。

$8$ で割った余りを調べるのに $n$ を $8$ 通りに分ける必要はない。 $4$ 通りで足りる（ $n$ と $n + 4$ の平方は $8$ を法として等しい）。

$r = 3$ のとき $r^{2} = 9 \equiv 1$ である。 $9$ のまま答えに書かない。

(2) $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたす $0$ 以上の整数の組 $(m, n)$ をすべて求める

答 $(m, n) = (2, 1)$

$m \geq 3$ なら左辺は $8$ の倍数なので、 $n^{2} \equiv - 3 \equiv 5 (mod 8)$ が必要になる。(1) よりこれは不可能なので、 $m \leq 2$ に絞られる。

$m \geq 3$ は不可能。 このとき $2^{m}$ は $8$ の倍数なので

n^{2} + 3 \equiv 0 (mod 8) ⟺ n^{2} \equiv - 3 \equiv 5 (mod 8)

となる。しかし (1) より $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかで、 $5$ にはならない。よって $m \geq 3$ では解がない。

$m \leq 2$ を調べる。

$m = 0$ ： $1 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = - 2$ 。不可。
$m = 1$ ： $2 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = - 1$ 。不可。
$m = 2$ ： $4 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = 1$ 、 $n \geq 0$ より $n = 1$ 。◯

したがって求める組は

(m, n) = (2, 1)

だけである。

$0 \leq m \leq 39$ 、 $0 \leq n \leq 9999$ で全探索すると、 $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたすのは $(m, n) = (2, 1)$ だけだった。

$m$ も $n$ も「 $0$ 以上の整数」なので、 $m = 0, 1$ も調べる。 $n = 0$ も候補だが $2^{m} = 3$ となり不可。

$- 3 \equiv 5 (mod 8)$ である。符号を直してから (1) と突き合わせる。

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第4問　図形

円周角・直径と直角・弦の長さ・三角形の面積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $∠ ACB$ を求める

答 $∠ ACB = \frac{π}{8} (= 22. 5^{\circ})$

円周上の点は中心から見た角度（中心角）で位置が決まる。 $AD$ が直径なので $A$ と $D$ は $18 0^{\circ}$ 離れ、 $AC = CD$ から $C$ はその中点、 $AB = BC$ から $B$ は弧 $AC$ の中点になる。あとは円周角の定理である。

中心を $O$ とする。弧の中心角で位置を測る。 $AD$ が直径なので、 $A$ から反時計回りに $D$ までの中心角は $18 0^{\circ}$ である。

$C$ の位置。 弦の長さは中心角で決まる（中心角 $θ$ の弦は $2 sin \frac{θ}{2}$ ）ので、 $AC = CD$ は弧 $AC$ と弧 $CD$ の中心角が等しいことを意味する。和が $18 0^{\circ}$ だから、どちらも $9 0^{\circ}$ である。

$B$ の位置。 同じく $AB = BC$ より、弧 $AB$ と弧 $BC$ の中心角は等しく、和が $9 0^{\circ}$ だからどちらも $4 5^{\circ}$ である。

円周角。 $∠ ACB$ は弦 $AB$ に対する円周角（ $C$ は弧 $AB$ の反対側にある）なので、中心角 $4 5^{\circ}$ の半分で

∠ ACB = \frac{4 5 ^{\circ}}{2} = 22. 5^{\circ} = \frac{π}{8}

である。

半径

1

の円周上に

A (1, 0)

、

B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})

、

C (0, 1)

、

D (- 1, 0)

。

AD

が直径で、弧

AB

と

BC

が

4 5^{\circ}

、弧

CD

が

9 0^{\circ}

。

E

は

AC

と

BD

の交点。

$A (1, 0)$ 、 $B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ 、 $C (0, 1)$ 、 $D (- 1, 0)$ とすると $AC = CD = 1.414214 = 2$ 、 $AB = BC = 0.765367$ で条件をみたし、 $∠ ACB = 22.50000 0^{\circ}$ である。

「弦が等しい ⟺ 中心角（弧）が等しい」を使う。 $AC = CD$ から直接 $C$ が弧の中点だと言える。

$∠ ACB$ は弦 $AB$ に対する円周角である。弦 $BC$ ではない。

(2) $BC$ を求める

答 $BC = 2 - 2$

弧 $BC$ の中心角が $4 5^{\circ}$ なので、弦の長さの公式 $2 sin \frac{θ}{2}$ （半径 $1$ ）で出る。半角の公式で $sin 22. 5^{\circ}$ を根号で書く。

(1) より弧 $BC$ の中心角は $4 5^{\circ}$ である。半径 $1$ の円で中心角 $θ$ の弦の長さは $2 sin \frac{θ}{2}$ だから

BC = 2 sin 22. 5^{\circ}

である。半角の公式より

sin^{2} 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

なので $sin 22. 5^{\circ} = \frac{2 - 2}{2}$ 、したがって

BC = 2 - 2

である（ $0.7654$ ほど）。

$△ OBC$ で余弦定理を使っても同じで、 $BC^{2} = 1 + 1 - 2 cos 4 5^{\circ} = 2 - 2$ となる。

$B$ と $C$ の距離を座標から計算すると $0.765366865$ で、 $2 - 2 = 0.765366865$ と一致する。

$2 - 2$ の二重根号は外せない（ $2 - 2$ のままが答え）。無理に変形しない。

半径が $1$ なので弦は $2 sin \frac{θ}{2}$ である。直径 $2$ を掛け忘れない。

(3) $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とするとき、 $△ BCE$ の面積を求める

答 $\frac{3 - 2 2}{2}$

位置が完全に決まっているので、座標を入れてしまうのがいちばん速い。 $A (1, 0)$ 、 $C (0, 1)$ 、 $D (- 1, 0)$ 、 $B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ として、2直線の交点を出す。

中心を原点にとり、 $A (1, 0)$ 、 $D (- 1, 0)$ とする。(1) より $C$ は $A$ から反時計回りに $9 0^{\circ}$ 、 $B$ は $4 5^{\circ}$ の位置だから

B (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}), C (0, 1)

である。

交点 $E$ 。 直線 $AC$ は $x + y = 1$ である。直線 $BD$ は $D (- 1, 0)$ を通り方向

DB = (\frac{2}{2} + 1, \frac{2}{2})

なので、 $(x, y) = (- 1, 0) + s DB$ と書ける。 $x + y = 1$ に代入すると

- 1 + s (2 + 1) = 1 ⟹ s = \frac{2}{2 + 1} = 2 (2 - 1)

である。 $(2 - 1) (\frac{2}{2} + 1) = \frac{2}{2}$ に注意すると

E (2 - 1, 2 - 2)

である（ $x + y = 1$ をみたしている）。

面積。

BC = (- \frac{2}{2}, 1 - \frac{2}{2}), BE = (\frac{2}{2} - 1, 2 - \frac{3 2}{2})

なので、外積の大きさの半分として

△ BCE = \frac{1}{2} (- \frac{2}{2}) (2 - \frac{3 2}{2}) - (1 - \frac{2}{2}) (\frac{2}{2} - 1) = \frac{1}{2} (- 2 + \frac{3}{2}) + (1 - \frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2} \frac{3}{2} - 2 + \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 2 2}{2}

である（ $0.0858$ ほど）。 $3 - 22 = (2 - 1)^{2}$ なので $\frac{( 2 - 1 ) ^{2}}{2}$ とも書ける。

$E (2 - 1, 2 - 2) = (0.414214, 0.585786)$ は $x + y = 1$ をみたし、 $D, B$ と同一直線上にある。 $△ BCE$ を座標から計算すると $0.085786438$ で、 $\frac{3 - 2 2}{2} = 0.085786438$ と一致する。

座標を入れるときは $A, D$ を $x$ 軸上にとる。 $AD$ が直径なので、中心が原点、 $A (1, 0)$ 、 $D (- 1, 0)$ が自然である。

$E$ は線分 $AC$ と $BD$ の交点で、どちらの線分の内部にもある。 $s = 2 (2 - 1) = 0.83$ で $0 < s < 1$ だから、確かに線分 $DB$ の内部である。

$\frac{2}{2 + 1}$ は有理化して $2 (2 - 1)$ にする。

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第5問　確率

判別式・解の個数・自然数解・場合の数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x) = 0$ をみたす実数 $x$ の個数が $1$ 個である確率を求める

答 $\frac{13}{27}$

$f (x) = (x^{2} - a x + b) (x - c)$ なので、解は $x = c$ と2次方程式の解である。 $x = c$ はつねに解なので、実数解がちょうど1個になるのは「2次方程式が実数解をもたない」か「重解をもってそれが $c$ に一致する」かのどちらかである。

$f (x) = 0$ の解は $x = c$ と $x^{2} - a x + b = 0$ の解である。判別式を $D = a^{2} - 4 b$ とする。

$D < 0$ ：2次方程式は実数解をもたないので、実数解は $x = c$ の1個。◯
$D = 0$ ：重解 $x = \frac{a}{2}$ をもつ。実数解が1個になるのは $\frac{a}{2} = c$ のとき。
$D > 0$ ：異なる2つの実数解があるので、 $c$ と合わせて2個以上になる。×

$D < 0$ の場合を数える。 $a^{2} < 4 b$ をみたす $(a, b)$ は

a = 1 a = 2 a = 3 a = 4 a = 5, 6 : 1 < 4 b \Rightarrow b = 1, \dots, 6 : 4 < 4 b \Rightarrow b = 2, \dots, 6 : 9 < 4 b \Rightarrow b = 3, \dots, 6 : 16 < 4 b \Rightarrow b = 5, 6 : なし 6 通り 5 通り 4 通り 2 通り 0 通り

で合計 $17$ 通り。 $c$ は何でもよいので $17 \times 6 = 102$ 通りである。

$D = 0$ の場合。 $a^{2} = 4 b$ をみたすのは $(a, b) = (2, 1), (4, 4)$ の2通り（ $a = 6$ だと $b = 9 > 6$ ）。それぞれ $c = \frac{a}{2}$ 、つまり $c = 1$ 、 $c = 2$ の1通りずつなので $2$ 通りである。

合わせて $102 + 2 = 104$ 通りだから

P = \frac{104}{216} = \frac{13}{27}

である。

$216$ 通りをすべて列挙して解の個数を数えると、実数解がちょうど1個になるのは $104$ 通りで、 $\frac{104}{216} = \frac{13}{27} = 0.4815$ である。

$x = c$ はつねに解なので、実数解が $0$ 個になることはない。 $1$ 個になる条件だけを考えればよい。

$D = 0$ のときに重解が $c$ と一致するかで場合が分かれる。一致しなければ解は2個である。

$a = 4$ では $4 b > 16$ すなわち $b > 4$ なので $b = 5, 6$ の2通り。 $b = 4$ （ $D = 0$ ）を入れない。

(2) $f (x) = 0$ をみたす自然数 $x$ の個数が $3$ 個である確率を求める

答 $\frac{5}{54}$

解は高々3個なので、3個とも自然数で互いに異なる必要がある。つまり「2次方程式が相異なる2つの自然数解をもち、しかも $c$ がそのどちらとも違う」である。2次方程式の2解を $p, q$ とすると $p + q = a \leq 6$ 、 $pq = b \leq 6$ という強い制約がつく。

解は $x = c$ と2次方程式の2解の最大3個である。自然数解がちょうど3個になるには、この3つがすべて自然数で互いに異なればよい。 $c$ は $1$ 以上 $6$ 以下なので自然数である。したがって条件は

$x^{2} - a x + b = 0$ が相異なる2つの自然数解 $p < q$ をもつ
$c \neq = p$ かつ $c \neq = q$

である。

$(p, q)$ を数える。 解と係数の関係より $p + q = a$ 、 $pq = b$ で、 $1 \leq a \leq 6$ 、 $1 \leq b \leq 6$ だから

p + q \leq 6, pq \leq 6, 1 \leq p < q

をみたす組を探すと

(p, q) = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3)

の5通りである（ $(1, 6)$ は $a = 7$ 、 $(2, 4)$ は $b = 8$ で範囲外）。それぞれ $(a, b) = (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (5, 6)$ と1対1に対応する。

$c$ の選び方。 $c$ は $1, \dots, 6$ のうち $p, q$ 以外だから $6 - 2 = 4$ 通りである。よって

5 \times 4 = 20 通り

で

P = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}

である。

$216$ 通りを全探索すると、自然数解がちょうど3個になるのは $20$ 通りで、 $\frac{20}{216} = \frac{5}{54} = 0.0926$ である。

「自然数 $x$ の個数が3個」なので、3つの解が相異なる必要がある。 $c$ が $p$ か $q$ と一致すると2個になってしまう。

$p = q$ （重解）だと解は2個以下になる。 $p < q$ に限る。

$p + q \leq 6$ と $pq \leq 6$ の両方で絞る。 $(1, 6)$ や $(2, 4)$ は片方だけ見ると見落とす。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる九大理系数学 2027

九大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・140ページ・2026年8月2日発売

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)P(a,b,t) を通り平面 α に垂直な直線と xy 平面との交点 Q の座標を求める

(2)t がすべての実数値を動くときの OQ の最小値が 1 以下となる a,b の条件を求める

(1)y=tanx のとき dxdy​ を y の整式で表す

(2)∫04π​​tan2x−4tan4x−tan2x−2​dx を求める

(1)整数 n について n2 を 8 で割った余りが 0,1,4 のいずれかであることを示す

(2)2m=n2+3 をみたす 0 以上の整数の組 (m,n) をすべて求める

(1)∠ACB を求める

(2)BC を求める

(3)AC と BD の交点を E とするとき、△BCE の面積を求める

(1)f(x)=0 をみたす実数 x の個数が 1 個である確率を求める

(2)f(x)=0 をみたす自然数 x の個数が 3 個である確率を求める

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(1) $P (a, b, t)$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $x y$ 平面との交点 $Q$ の座標を求める

(2) $t$ がすべての実数値を動くときの $OQ$ の最小値が $1$ 以下となる $a, b$ の条件を求める

(1) $y = tan x$ のとき $\frac{d y}{d x}$ を $y$ の整式で表す

(2) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{tan ^{4} x - tan ^{2} x - 2}{tan ^{2} x - 4} d x$ を求める

(1)整数 $n$ について $n^{2}$ を $8$ で割った余りが $0, 1, 4$ のいずれかであることを示す

(2) $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたす $0$ 以上の整数の組 $(m, n)$ をすべて求める

(1) $∠ ACB$ を求める

(2) $BC$ を求める

(3) $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とするとき、 $△ BCE$ の面積を求める

(1) $f (x) = 0$ をみたす実数 $x$ の個数が $1$ 個である確率を求める

(2) $f (x) = 0$ をみたす自然数 $x$ の個数が $3$ 個である確率を求める