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京都大学　2025年度　前期日程　理系

第6問確率の解答・解説

確率漸化式・偶奇の追跡・隣り合う2項の積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

$Y_{n} = k = 2 \sum n X_{k - 1} X_{k}$ が奇数である確率 $p_{n}$ を求める

答 $n = 2 m$ のときも $n = 2 m + 1$ のときも $p_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 ^{m}})$

$Y_{n}$ の値そのものではなく偶奇だけを追う。 $n$ 回目までの結果で次に必要なのは「最後が表か裏か」と「ここまでの偶奇」の2つだけなので、4つの状態の確率漸化式になる。さらに「偶の確率から奇の確率を引いた量」を見ると、2つの式に減って一気に解ける。

$X_{k - 1} X_{k}$ は、 $k - 1$ 回目と $k$ 回目がどちらも表のとき $1$ 、それ以外は $0$ である。したがって $Y_{n}$ は「表が隣り合う箇所の個数」を数えている。

$n$ 回目までの状況を、最後の出目と $Y_{n}$ の偶奇で4つに分ける。 $a_{n}, b_{n}$ を「 $X_{n} = 1$ で $Y_{n}$ が偶数・奇数」である確率、 $c_{n}, d_{n}$ を「 $X_{n} = 0$ で $Y_{n}$ が偶数・奇数」である確率とする。 $a_{n} + b_{n} + c_{n} + d_{n} = 1$ であり、求めるものは $p_{n} = b_{n} + d_{n}$ である。

$n + 1$ 回目を投げたとき、 $Y$ が増えるのは「直前が表で、今回も表」のときだけで、そのとき $1$ だけ増えて偶奇が入れ替わる。それ以外では偶奇は変わらない。どの目も確率 $\frac{1}{2}$ だから

a_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{1}{2} (b_{n} + c_{n}), = \frac{1}{2} (a_{n} + c_{n}), b_{n + 1} d_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + d_{n}), = \frac{1}{2} (b_{n} + d_{n})

となる。 $a_{n + 1}$ の右辺に $b_{n}$ が入るのは、直前が表で $Y$ が奇数だったものが、今回も表で偶数に変わるからである。

このまま4つを追うのは重い。偶奇を分けたまま扱うより、差を見るほうが式が減る。 $u_{n} = a_{n} - b_{n}$ 、 $v_{n} = c_{n} - d_{n}$ とおくと、上の4式から

u_{n + 1} = \frac{1}{2} (- u_{n} + v_{n}), v_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + v_{n})

を得る。さらに $w_{n} = u_{n} + v_{n}$ とおくと、2式を足して $w_{n + 1} = v_{n}$ 、下の式から $v_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n}$ だから

w_{n + 2} = v_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n}

となる。 $w$ は1つ飛ばしで公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

初期値を求める。 $n = 1$ では $Y_{1}$ は和が空なので $Y_{1} = 0$ であり、偶数である。表なら $a_{1} = \frac{1}{2}$ 、裏なら $c_{1} = \frac{1}{2}$ で $b_{1} = d_{1} = 0$ だから $u_{1} = \frac{1}{2}$ 、 $v_{1} = \frac{1}{2}$ 、よって $w_{1} = 1$ 。また $w_{2} = v_{1} = \frac{1}{2}$ である。

$w_{n + 2} = \frac{1}{2} w_{n}$ と $w_{1} = 1$ 、 $w_{2} = \frac{1}{2}$ から、 $m$ を $0$ 以上の整数として

w_{2 m + 1} = (\frac{1}{2})^{m}, w_{2 m} = (\frac{1}{2})^{m}

となる。一方 $w_{n} = (a_{n} + c_{n}) - (b_{n} + d_{n})$ は「偶数である確率」から「奇数である確率」を引いたものだから、 $w_{n} = (1 - p_{n}) - p_{n} = 1 - 2 p_{n}$ である。したがって

p_{n} = \frac{1 - w _{n}}{2}

であり、 $n = 2 m$ のときも $n = 2 m + 1$ のときも $p_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 ^{m}})$ となる。 $n$ が $2$ 以上という条件のもとでは $m \geq 1$ である。

言い換えると、 $n$ を $2$ で割った商を $m$ とすれば $p_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 ^{m}})$ で、 $n$ が1つ増えても $n$ が偶数から奇数に変わるときは値が変わらない。

$n = 2$ では $Y_{2} = X_{1} X_{2}$ が奇数になるのは2回とも表のときだけで $p_{2} = \frac{1}{4}$ 。式でも $m = 1$ として $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ 。 $n = 5$ では全探索で $\frac{3}{8}$ 、式でも $m = 2$ として $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{8}$ 。 $n = 8$ では全探索・式ともに $\frac{15}{32}$ になる。

$Y_{n}$ は「表の個数」ではない。表が3つ連続すれば寄与は $2$ である。隣り合う組を数えていることを最初に押さえないと、 $n$ 回中の表の個数の偶奇を求める別の問題を解いてしまう。

$n = 1$ のとき和は空で $Y_{1} = 0$ とする。この初期値を $n = 2$ から立てると、 $w_{1}, w_{2}$ の両方が要る漸化式の初期条件が1つ足りなくなる。

偶奇を追う問題では、確率そのものより「偶の確率と奇の確率の差」を変数に取ると式が減ることが多い。差の総和 $w_{n}$ が $1 - 2 p_{n}$ になることは、答えに戻すときに必ず使う。

▸ 別解：表の個数と表の連なりの個数の差として見る

表が連続している1つのかたまりの長さを $L$ とすると、そのかたまりが $Y_{n}$ に与える寄与は $L - 1$ である。したがって、表の総数を $H$ 、表のかたまりの個数を $R$ とすると $Y_{n} = H - R$ と書ける。

$Y_{n}$ の偶奇は $H$ と $R$ の偶奇が一致するかどうかで決まる。この見方からも同じ漸化式が立つが、 $H$ と $R$ を同時に追うことになるので、状態は結局4つのままである。上の解き方のほうが短い。

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Yn​=k=2∑n​Xk−1​Xk​ が奇数である確率 pn​ を求める

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