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京都大学　2025年度　前期日程　理系

第1問小問集合（複素数平面・積分法）の解答・解説

複素数の絶対値・2倍角・置換積分・半角の公式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

問1 $∣ z ∣ = 2$ を動く複素数 $z$ について $z - \frac{i}{z}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{5}{2}$ 、最小値 $\frac{3}{2}$

$∣ z ∣ = 2$ という条件は $z = 2 (cos θ + i sin θ)$ と置けば1つの変数に落ちる。絶対値は2乗して実部・虚部から計算すると、 $θ$ の2倍角だけが残る形にまとまる。

$∣ z ∣ = 2$ より $z = 2 (cos θ + i sin θ)$ とおける。このとき $z \overline{z} = 4$ だから $\frac{1}{z} = \frac{z}{4}$ であり

z - \frac{i}{z} = z - \frac{i z}{4} = 2 (cos θ + i sin θ) - \frac{i}{2} (cos θ - i sin θ)

となる。実部と虚部に分けると

z - \frac{i}{z} = (2 cos θ - \frac{1}{2} sin θ) + i (2 sin θ - \frac{1}{2} cos θ)

であるから、絶対値の2乗は

z - \frac{i}{z}^{2} = (2 cos θ - \frac{1}{2} sin θ)^{2} + (2 sin θ - \frac{1}{2} cos θ)^{2} = \frac{17}{4} - 4 sin θ cos θ = \frac{17}{4} - 2 sin 2 θ

となる。 $θ$ が実数全体を動くとき $sin 2 θ$ は $- 1$ から $1$ までのすべての値を取るので、この2乗は $\frac{17}{4} - 2 = \frac{9}{4}$ から $\frac{17}{4} + 2 = \frac{25}{4}$ までを動く。絶対値は $0$ 以上だから、求める最大値は $\frac{25}{4} = \frac{5}{2}$ 、最小値は $\frac{9}{4} = \frac{3}{2}$ である。

$2 θ = - \frac{π}{2}$ すなわち $θ = - \frac{π}{4}$ のとき $z = 2 - 2 i$ で、 $z - \frac{i}{z} = \frac{5 2}{4} - \frac{5 2}{4} i$ となり絶対値は $\frac{5}{2}$ 。 $θ = \frac{π}{4}$ では絶対値が $\frac{3}{2}$ になる。

$\frac{i}{z}$ を $\frac{i z}{∣ z ∣ ^{2}}$ に直すところで $∣ z ∣^{2} = 4$ を使う。 $∣ z ∣ = 2$ をそのまま分母に置くと符号と大きさがずれる。

$z - \frac{i}{z} \leq ∣ z ∣ + \frac{i}{z} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ という評価だけでは、等号が成り立つ $θ$ が実際にあることを言わないと最大値とは言えない。2乗して計算すれば、その確認まで一度に済む。

問2(1) $\int_{0}^{3} \frac{x x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} d x$ を求める

答 $4 - 2 lo g 2 + \frac{π}{3}$

分子が3つの項の和なので、分母で割って3つの積分に分ける。分けてしまえば、順に「 $x^{2} + 1$ の微分」「割り算で次数を下げる」「 $tan$ の置換」という別々の型になる。

被積分関数を項ごとに分けると

\frac{x x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1} + \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}

となる。第1項は $(x^{2} + 1)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ だから、そのまま積分できて

\int_{0}^{3} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = [x^{2} + 1]_{0}^{3} = 2 - 1 = 1

である。第2項は分子の次数が分母より高いので、割り算をして

\frac{2 x ^{3}}{x ^{2} + 1} = 2 x - \frac{2 x}{x ^{2} + 1}, \int_{0}^{3} (2 x - \frac{2 x}{x ^{2} + 1}) d x = [x^{2} - lo g (x^{2} + 1)]_{0}^{3} = 3 - lo g 4

となる。第3項は $x = tan t$ と置けば $d x = \frac{d t}{cos ^{2} t}$ 、 $x^{2} + 1 = \frac{1}{cos ^{2} t}$ で、 $x$ が $0$ から $3$ まで動くとき $t$ は $0$ から $\frac{π}{3}$ まで動くから

\int_{0}^{3} \frac{d x}{x ^{2} + 1} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} d t = \frac{π}{3}

である。以上を足し合わせて、求める値は $1 + (3 - lo g 4) + \frac{π}{3} = 4 - 2 lo g 2 + \frac{π}{3}$ となる。

$4 - 2 lo g 2 + \frac{π}{3} = 3.6609031901 \dots$ 。数値積分でも同じ値になる。

第1項で $\frac{x x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1}$ を約分し忘れると、置換の形が見えないまま手が止まる。 $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ である。

$lo g 4$ を $2 lo g 2$ に直すところまで書いておくと、答えの形が他の項とそろう。

問2(2) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - cos x}{1 + cos x} d x$ を求める

答 $lo g 2$

根号の中が半角の公式そのものの形をしている。 $tan^{2} \frac{x}{2}$ に直せば根号が外れ、あとは $tan$ の積分になる。外すときに符号の確認が要る。

半角の公式 $1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}$ 、 $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ より

\frac{1 - cos x}{1 + cos x} = \frac{sin ^{2} \frac{x}{2}}{cos ^{2} \frac{x}{2}} = tan^{2} \frac{x}{2}

である。積分区間 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ では $0 \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{4}$ だから $tan \frac{x}{2} \geq 0$ であり、根号はそのまま外れて被積分関数は $tan \frac{x}{2}$ になる。

したがって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} tan \frac{x}{2} d x = [- 2 lo g cos \frac{x}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} = - 2 lo g \frac{1}{2} + 2 lo g 1 = lo g 2

となる。

$lo g 2 = 0.6931471806 \dots$ 。数値積分でも同じ値になる。

$tan^{2} \frac{x}{2} = tan \frac{x}{2}$ である。区間の中で $tan \frac{x}{2}$ が $0$ 以上であることを断ってから絶対値を外す。断らずに外した答案は、ここで減点される。

$cos \frac{x}{2}$ は区間内で正なので、 $lo g$ の中に絶対値は要らない。要らないことを確かめたうえで書かないのと、確かめずに書かないのとでは意味が違う。

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問1∣z∣=2 を動く複素数 z について ​z−zi​​ の最大値と最小値を求める

問2(1)∫03​​x2+1xx2+1​+2x3+1​dx を求める

問2(2)∫02π​​1+cosx1−cosx​​dx を求める

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