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京都大学 2025年度 前期日程 理系
第2問 整数の解答・解説
平方数・因数分解・合同式・4乗数の剰余当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11
問題文について
大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は京都大学が公開しています。
掲載ページ名「令和7年度 試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。 公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。
正の整数 を用いて と表される正の整数 の最小値を求める
答（）
だから、条件は「 が平方数になる」こと。平方数の差の形に直せば因数分解でき、 を1つ決めるごとに の候補が有限個に絞れる。 を大きくすると がすぐ大きくなるので、調べる は少なくて済む。
だから、 とおくと条件は「 をみたす正の整数 が の倍数として存在する」ことになる。 に注意して移項すると
となる。 だから、 なら である。あとで のとき が実現することを示すので、最小値を与える は 以下に限られる。そこで を順に調べる。
または のとき。 で割った余りを見ると早い。 乗数を で割った余りは、 を で割った余りが のそれぞれに対して であり、取りうる値は だけである。一方 は だから で割り切れる。
なら 、 なら が必要になるが、 は上の4つの中にない。よってどちらも解を持たない。
のとき。 だから である。 の値は分からないので、代わりに が平方数になる条件を、 の形から追う。、 とおくと 、 であり、 はともに正で同じ偶奇である。 は偶数なので、 はともに偶数かともに奇数。
ここで の約数の組を直接探す代わりに、 を小さい方から確かめるほうが早い。 では となり、いずれも平方数ではない。 のとき
となり、 だから と書ける。すなわち 、、 が条件をみたす。
で のときは条件をみたさず、 では解がなく、 では である。よって求める最小値は である。
、、。、 の範囲を全探索しても、条件をみたす最小は だった。
という形は「平方数である」だけでなく「その平方根が の倍数である」ことまで要求している。 が平方数になる組を見つけただけでは足りない。 の場合は が の倍数なので、この条件まで確かめて初めて答えになる。
を切り捨てるには、先に での実例を1つ押さえておく必要がある。実例を出さないまま「 は小さいはず」と書くと、議論の順序が逆になる。
乗数を で割った余りが の4つしかないことは、 を で割った余りで場合分けして確かめる。使うなら、その表を答案に書いておく。
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