第5問 空間図形・軌跡の解答・解説

直線 $\mathrm{AP}$ 上の点は、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\left(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)$ と書ける。$z$ 成分が $0$ になる条件は

である。$-\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{\pi }{4}$ では $\cos \theta >\frac{\sqrt{2}}{2}$ だから $\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{2}}{4}>0$ であり、$k$ がただ1つ定まる。すなわちこの範囲では直線 $\mathrm{AP}$ は $xy$ 平面と必ず1点で交わる。両辺を4倍して整理すると

となる。以下 $d=\sqrt{2}-2\cos \theta$ とおく。$\cos \theta >\frac{\sqrt{2}}{2}$ より $d<0$ である。

$\mathrm{A}$ の $x,y$ 成分はどちらも $0$ なので、$\mathrm{Q}$ の座標は

である。ここから $\theta$ を消す。まず2乗して足すと $\cos \theta ,\sin \theta$ が消えて

となる。$r=\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと $\left|d\right|=\frac{\sqrt{2}}{r}$ であり、$d<0$ だから $d=-\frac{\sqrt{2}}{r}$ である。

次に $x$ の式から $\cos \theta =\frac{dx}{\sqrt{2}}$ を得る。これを $d$ の定義 $d=\sqrt{2}-2\cos \theta$ に戻すと

となる。$d=-\frac{\sqrt{2}}{r}$ を代入して整理すると

を得る。$r\ge 0$ だから、この式は $1+\sqrt{2}x\le 0$ すなわち $x\le -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を意味する。両辺を2乗して $r^2=x^2+y^2$ を代入すると

となる。これは中心 $\left(-\sqrt{2},0\right)$、$x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $1$ の双曲線である。この曲線上では ${\left(x+\sqrt{2}\right)}^2=1+y^2\ge 1$ だから $x\ge -\sqrt{2}+1$ または $x\le -\sqrt{2}-1$ であり、先に出た $x\le -\frac{1}{\sqrt{2}}$ とあわせると $x\le -\sqrt{2}-1$、つまり左側の分枝に限られる。

逆に、左側の分枝の各点が実際に現れることを確かめる。$\theta =0$ のとき $d=\sqrt{2}-2$ で $x=-\sqrt{2}-1$、$y=0$ となり、これは左側の分枝の頂点である。$\theta$ を $0$ から $\frac{\pi }{4}$ に近づけると $d\to 0^{-}$ で $\sin \theta >0$ だから $y\to -\infty$、$\theta$ を $-\frac{\pi }{4}$ に近づけると $y\to +\infty$ となる。$y$ は $\theta$ の連続関数なので、中間値の定理からすべての実数値を取る。左側の分枝は $y$ の値で1点に定まるので、分枝全体が軌跡である。

以上より、点 $\mathrm{Q}$ の軌跡は双曲線 ${\left(x+\sqrt{2}\right)}^2-y^2=1$ の $x\le -\sqrt{2}-1$ の部分、すなわち左側の分枝の全体である。