第3問微分法の解答・解説

接線と法線・対数関数の微分・増減表・値域当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

$\frac{1}{e} < t \leq e$ のとき、 $l_{t}$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標 $p (t)$ の取りうる値の範囲を求める

答 $- \frac{1}{9 e} \leq p (t) \leq 3 e^{3}$

$p (t)$ を $t$ の式で書き下すのが先。書いてみると $g (x)$ の中の $- \frac{1}{1 + 2 lo g x}$ が $l_{t}$ の傾きとちょうど打ち消し合い、 $p (t)$ が驚くほど簡単な形になる。あとは $lo g t$ を1つの変数と見て増減を調べる。

$f (x) = x^{2} lo g x$ より $f^{'} (x) = 2 x lo g x + x = x (1 + 2 lo g x)$ である。

$t > \frac{1}{e}$ のとき $lo g t > - \frac{1}{2}$ だから $1 + 2 lo g t > 0$ であり、 $t > 0$ とあわせて $f^{'} (t) = t (1 + 2 lo g t) > 0$ 。とくに $f^{'} (t) \neq = 0$ なので、これに垂直な直線の傾き $- \frac{1}{f ^{'} ( t )}$ が定まる。

$l_{t}$ は点 $(t, g (t))$ を通り傾き $- \frac{1}{f ^{'} ( t )}$ の直線だから

l_{t} : y - g (t) = - \frac{1}{t ( 1 + 2 lo g t )} (x - t)

である。 $y = 0$ とおいて $x$ について解くと

p (t) = t + t (1 + 2 lo g t) g (t) = t + t (1 + 2 lo g t) (t^{2} lo g t - \frac{1}{1 + 2 lo g t})

となる。右辺を展開すると $t (1 + 2 lo g t) \cdot \frac{1}{1 + 2 lo g t} = t$ がちょうど先頭の $t$ を打ち消すので

p (t) = t^{3} lo g t (1 + 2 lo g t)

と書ける。 $g (x)$ に $- \frac{1}{1 + 2 lo g x}$ が入っていたのは、この打ち消しを起こすためである。

ここで $s = lo g t$ とおく。 $t = e^{s}$ であり、 $\frac{1}{e} < t \leq e$ は $- \frac{1}{2} < s \leq 1$ にあたる。 $t$ と $s$ は同じ向きに増減するので、 $s$ で調べれば $t$ での増減が分かる。

p = e^{3 s} (2 s^{2} + s), \frac{d p}{d s} = e^{3 s} (6 s^{2} + 3 s) + e^{3 s} (4 s + 1) = e^{3 s} (6 s + 1) (s + 1)

$- \frac{1}{2} < s \leq 1$ では $s + 1 > 0$ なので、 $\frac{d p}{d s}$ の符号は $6 s + 1$ の符号と一致する。よって $- \frac{1}{2} < s < - \frac{1}{6}$ で減少、 $- \frac{1}{6} < s \leq 1$ で増加し、 $s = - \frac{1}{6}$ で最小になる。

p (- \frac{1}{6}) = e^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6}) = e^{- \frac{1}{2}} \cdot (- \frac{1}{9}) = - \frac{1}{9 e}

端では、 $s \to - \frac{1}{2}$ のとき $2 s^{2} + s = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = 0$ だから $p \to 0$ である。ただし $s = - \frac{1}{2}$ は定義域に入らないので、この $0$ は取らない。 $s = 1$ では $p = e^{3} (2 + 1) = 3 e^{3}$ で、これは取る。

減少する区間 $- \frac{1}{2} < s \leq - \frac{1}{6}$ で $p$ は $0$ の手前から $- \frac{1}{9 e}$ まで連続に動き、増加する区間 $- \frac{1}{6} \leq s \leq 1$ で $- \frac{1}{9 e}$ から $3 e^{3}$ まで連続に動く。後者だけで $- \frac{1}{9 e}$ 以上 $3 e^{3}$ 以下のすべての値を取るので、求める範囲は

- \frac{1}{9 e} \leq p (t) \leq 3 e^{3}

である。

$t = e$ では $p = e^{3} \cdot 1 \cdot 3 = 3 e^{3} = 60.2566 \dots$ 。 $t = e^{- 1/6} = 0.8465 \dots$ では $p = - 0.0673922 \dots$ で、 $- \frac{1}{9 e} = - 0.0673922 \dots$ と一致する。接線の傾きを数値微分で取り直して $p (t)$ を定義どおり作っても、同じ値になる。

$t > \frac{1}{e}$ という条件は、 $f^{'} (t) \neq = 0$ を保証して「垂直な直線」が引けるようにするために置かれている。この確認を飛ばすと、傾き $- \frac{1}{f ^{'} ( t )}$ を書いた時点で根拠が抜ける。

最小値を取る $s = - \frac{1}{6}$ は定義域の内側にあり、端の $s = - \frac{1}{2}$ は定義域に入らない。開いている端で $p \to 0$ となることと、 $0$ 自体は別の $s$ で取れることを分けて書く。

$p$ が区間の両端より内部で小さくなるので、端の値だけを比べる解き方では最小値を取り逃がす。増減表まで書く。

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e​1​<t≤e のとき、lt​ と x 軸の交点の x 座標 p(t) の取りうる値の範囲を求める

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