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京都大学　2020年度　前期日程　理系

第6問積分法の解答・解説

2回の回転・断面積・円環・log の積分当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$x z$ 平面の曲線 $z = lo g (1 + x)$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）を $z$ 軸のまわりに回して $S$ を作り、 $S$ を $x$ 軸のまわりに回してできる立体 $V$ の体積を求める

答 $2 π (\frac{5}{3} - lo g 2) = \frac{10 π}{3} - 2 π lo g 2$

$z$ 軸まわりに回した $S$ は「 $z = lo g (1 + r)$ （ $r = x^{2} + y^{2} \leq 1$ ）」という回転面である。次に $x$ 軸まわりに回すので、 $x$ を固定して「 $S$ の点の $x$ 軸からの距離」がどんな値をとるかを調べればよい。その範囲が区間になるので、断面は円環になる。

$S$ は $z$ 軸まわりの回転面なので、 $r = x^{2} + y^{2}$ とおくと

S = {(x, y, z) z = lo g (1 + r), 0 \leq r \leq 1}

である。

$x$ を固定して考える。 $x$ 軸まわりに回すので、 $S$ の点 $(x, y, z)$ は平面 $x =$ （一定）の中で半径

ρ = y^{2} + z^{2}

の円を描く。 $x$ を固定したとき $ρ$ のとりうる値を調べる。 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ より $y^{2} = r^{2} - x^{2}$ で、 $r$ は $∣ x ∣ \leq r \leq 1$ を動く（ $y$ はそれに応じて決まる）。したがって

ρ^{2} = y^{2} + z^{2} = (r^{2} - x^{2}) + lo g (1 + r)

である。 $r \mapsto r^{2} + lo g (1 + r)$ は $r \geq 0$ で増加するので、 $ρ^{2}$ は $r = ∣ x ∣$ から $r = 1$ まで連続に増え

lo g (1 + ∣ x ∣) \leq ρ^{2} \leq 1 + lo g 2 - x^{2}

のすべての値をとる。つまり平面 $x =$ （一定）での $V$ の断面は、内半径 $lo g (1 + ∣ x ∣)$ 、外半径 $1 + lo g 2 - x^{2}$ の円環である。

（ $∣ x ∣ = 1$ では両者が $lo g 2$ で一致し、断面は円周だけになる。 $∣ x ∣ > 1$ では $S$ の点がないので断面は空である。）

体積。 断面積は

π {(1 + lo g 2 - x^{2}) - lo g (1 + ∣ x ∣)}

なので、偶関数であることを使って

V = \int_{- 1}^{1} π {1 + lo g 2 - x^{2} - lo g (1 + ∣ x ∣)} d x = 2 π \int_{0}^{1} {1 + lo g 2 - x^{2} - lo g (1 + x)} d x

である。それぞれ計算すると

\int_{0}^{1} (1 + lo g 2) d x = 1 + lo g 2, \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

\int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = [(1 + x) lo g (1 + x) - (1 + x)]_{0}^{1} = (2 lo g 2 - 2) - (- 1) = 2 lo g 2 - 1

なので

\int_{0}^{1} {\dots} d x = (1 + lo g 2) - \frac{1}{3} - (2 lo g 2 - 1) = \frac{5}{3} - lo g 2

であり

V = 2 π (\frac{5}{3} - lo g 2) = \frac{10 π}{3} - 2 π lo g 2

である（ $6.1168$ ほど）。

平面

x =

（一定）での断面の半径。内半径

lo g (1 + ∣ x ∣)

と外半径

1 + lo g 2 - x^{2}

で、

∣ x ∣ = 1

でどちらも

lo g 2 = 0.833

に一致する。網かけの幅が円環の厚みにあたる。

断面積を $- 1 \leq x \leq 1$ で $200$ 万点の数値積分すると $6.116803331$ で、 $2 π (\frac{5}{3} - lo g 2) = 6.116803331$ と一致する。同じ条件で3次元のモンテカルロ法（ $200$ 万点）を行っても $6.11604$ となり、よく合っている。

$S$ は曲面（厚みのない面）である。それを回すので、断面は円環になり、内側に穴が開く。 $S$ を「曲線が通過した部分」と読み違えて塗りつぶさない。

$x$ を固定したとき $r$ が動ける範囲は $∣ x ∣ \leq r \leq 1$ である。 $r \geq ∣ x ∣$ は $y^{2} = r^{2} - x^{2} \geq 0$ から来る。

$ρ^{2} = r^{2} - x^{2} + lo g (1 + r)$ が $r$ について連続増加なので、 $ρ$ のとりうる値が区間になる。ここを言わないと「円環全体が埋まる」ことが示せない。

$\int lo g (1 + x) d x$ は部分積分で $(1 + x) lo g (1 + x) - (1 + x)$ である。 $x lo g (1 + x) - x$ としない。

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xz 平面の曲線 z=log(1+x)​（0≤x≤1）を z 軸のまわりに回して S を作り、S を x 軸のまわりに回してできる立体 V の体積を求める

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