第3問空間ベクトルの解答・解説

内積・対称性・単位球面・2次方程式当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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単位球面上の4点が与えられた内積の関係をみたすとき、 $k = OA \cdot OD = OB \cdot OD$ を求める

答 $k = \frac{3 2 - 6}{8}$

$c$ も $d$ も $a, b$ と同じ内積をもつので、どちらも $a - b$ と直交する。つまり $c, d$ は $a - b$ に垂直な平面の中にある。この平面を座標平面にとってしまえば、あとは平面上の単位ベクトル2本の話になる。

$a, b, c, d$ を $OA, \dots, OD$ とする。すべて単位ベクトルである。

$c, d$ は $a - b$ に垂直。 条件より $a \cdot c = b \cdot c$ なので

(a - b) \cdot c = 0, 同様に (a - b) \cdot d = 0

である。

座標を置く。 $a - b^{2} = 1 + 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ なので $f = a - b$ は単位ベクトルである。また $e = \frac{a + b}{a + b}$ とおくと $a + b^{2} = 3$ より $e = \frac{a + b}{3}$ で、 $e \cdot f = 0$ である。 $f, e$ と、両方に垂直な単位ベクトル $g$ を座標軸にとると

a = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0), b = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0)

であり、 $c, d$ は第1成分が $0$ である。

$c$ を決める。 $c = (0, c_{2}, c_{3})$ 、 $c_{2}^{2} + c_{3}^{2} = 1$ である。 $a \cdot c = \frac{3}{2} c_{2} = - \frac{6}{4}$ より

c_{2} = - \frac{6}{4} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{1}{2}, c_{3} = \pm \frac{1}{2}

である。 $g$ の向きを選んで $c_{3} = \frac{1}{2}$ としてよい。

$d$ を決める。 $d = (0, d_{2}, d_{3})$ で、 $a \cdot d = \frac{3}{2} d_{2} = k$ より $d_{2} = \frac{2 k}{3}$ である。 $c \cdot d = \frac{1}{2}$ より

- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 k}{3} + \frac{1}{2} d_{3} = \frac{1}{2} ⟹ d_{3} = \frac{1}{2} + \frac{2 k}{3}

である。 $d = 1$ に入れると

\frac{4 k ^{2}}{3} + (\frac{1}{2} + \frac{2 k}{3})^{2} = 1

すなわち

\frac{8 k ^{2}}{3} + \frac{4 k}{6} - \frac{1}{2} = 0 ⟺ 16 k^{2} + 46 k - 3 = 0

である。解くと

k = \frac{- 4 6 \pm 96 + 192}{32} = \frac{- 4 6 \pm 12 2}{32} = \frac{- 6 \pm 3 2}{8}

で、 $k > 0$ より

k = \frac{3 2 - 6}{8}

である（ $0.2241$ ほど）。

a - b

に垂直な平面で切った断面。横軸が

e = \frac{a + b}{3}

の向き。

c, d

はこの平面内の単位ベクトルで、

a, b

はどちらも点

M (\frac{3}{2}, 0)

に射影される。

c

と

d

のなす角は

6 0^{\circ}

。

$k = \frac{3 2 - 6}{8} = 0.224143868$ として座標を作ると、4本とも長さ $1$ で、 $a \cdot b = c \cdot d = 0.500000000$ 、 $a \cdot c = b \cdot c = - 0.612372436 = - \frac{6}{4}$ 、 $a \cdot d = b \cdot d = 0.224143868 = k$ となり、条件をすべてみたす。