第4問整数の解答・解説

3進付値・合同式・mod 9 での絞り込み・最大値を与える組当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$A (m, n) = B (m^{3} + n^{2} + n + 3)$ の最大値と、それを与える $(m, n)$ をすべて求める

答最大値 $4$ 。与える $(m, n)$ は $(3, 11), (12, 11), (21, 11), (30, 11)$ の4組

まず $3$ で割った余りで、 $m$ と $n$ の組み合わせを絞る。 $n \equiv 1$ の場合は $f$ が $3$ でちょうど1回しか割れないことが計算で分かるので、 $n \equiv 2$ （このとき $m \equiv 0$ ）だけが残る。 $m = 3 m^{'}$ とすると $m^{3}$ が $27$ の倍数になるので、 $n^{2} + n + 3$ の $3$ の指数が $3$ 以上かどうかが勝負になる。

$f (m, n) = m^{3} + n^{2} + n + 3$ とする。フェルマーの小定理（あるいは $m \equiv 0, 1, 2$ の直接計算）より $m^{3} \equiv m (mod 3)$ である。 $3 ∤ n$ なので $n \equiv 1$ または $2 (mod 3)$ で

$n \equiv 1$ ： $n^{2} + n \equiv 2$ なので $f \equiv m + 2$ 。 $3 ∣ f$ には $m \equiv 1 (mod 3)$ 。
$n \equiv 2$ ： $n^{2} + n \equiv 4 + 2 \equiv 0$ なので $f \equiv m$ 。 $3 ∣ f$ には $m \equiv 0 (mod 3)$ 。

$n \equiv 1 (mod 3)$ の場合は $A = 1$ まで。 $m = 3 s + 1$ 、 $n = 3 t + 1$ とおくと

m^{3} n^{2} + n + 3 = 27 s^{3} + 27 s^{2} + 9 s + 1 = 9 t^{2} + 9 t + 5

なので

f = 3 (9 s^{3} + 9 s^{2} + 3 s + 3 t^{2} + 3 t + 2)

で、かっこの中は $3$ で割ると $2$ 余る。したがって $A (m, n) = 1$ である。

$n \equiv 2 (mod 3)$ 、 $m \equiv 0 (mod 3)$ の場合。 $m = 3 m^{'}$ とすると $m^{3} = 27 m^{' 3}$ である。まず $n^{2} + n + 3$ の $3$ の指数を調べる。 $n = 3 u + 2$ とおくと

n^{2} + n + 3 = 9 u^{2} + 15 u + 9 = 3 (3 u^{2} + 5 u + 3)

で、 $3 u^{2} + 5 u + 3 \equiv 2 u (mod 3)$ である。さらに $u = 3 w$ のとき

3 u^{2} + 5 u + 3 = 27 w^{2} + 15 w + 3 = 3 (9 w^{2} + 5 w + 1), 9 w^{2} + 5 w + 1 \equiv 2 w + 1 (mod 3)

である。 $1 \leq n \leq 30$ 、 $n \equiv 2 (mod 9)$ となるのは $n = 2, 11, 20, 29$ （ $w = 0, 1, 2, 3$ ）で、 $2 w + 1 \equiv 0 (mod 3)$ となるのは $w = 1$ 、すなわち

n = 11 : n^{2} + n + 3 = 135 = 27 \cdot 5

だけである。他の $n$ では $B (n^{2} + n + 3) \leq 2$ である。

$B (n^{2} + n + 3) \leq 2$ のとき： $27 ∣ m^{3}$ なので $B (f) = B (n^{2} + n + 3) \leq 2$ 。
$n = 11$ のとき： $f = 27 m^{' 3} + 135 = 27 (m^{' 3} + 5)$ なので $A = 3 + B (m^{' 3} + 5)$ 。

$B (m^{' 3} + 5)$ を調べる。 $3 ∣ m^{' 3} + 5$ は $m^{' 3} \equiv 1 (mod 3)$ 、つまり $m^{'} \equiv 1 (mod 3)$ と同値である。このとき $m^{'} = 3 k + 1$ とすると

m^{' 3} = 27 k^{3} + 27 k^{2} + 9 k + 1 \equiv 1 (mod 9)

なので $m^{' 3} + 5 \equiv 6 (mod 9)$ となり、 $9$ では割り切れない。したがって $B (m^{' 3} + 5) = 1$ ちょうどで

A = 3 + 1 = 4

である。 $m = 3 m^{'} \leq 30$ より $m^{'} \leq 10$ で、 $m^{'} \equiv 1 (mod 3)$ となるのは $m^{'} = 1, 4, 7, 10$ 、すなわち $m = 3, 12, 21, 30$ である。

まとめ。 以上より最大値は

A_{m a x} = 4

(m, n) = (3, 11), (12, 11), (21, 11), (30, 11)

である。

実際 $f (3, 11) = 27 + 121 + 11 + 3 = 162 = 2 \cdot 3^{4}$ 、 $f (30, 11) = 27000 + 135 = 27135 = 335 \cdot 3^{4}$ である。

$1 \leq m \leq 30$ 、 $1 \leq n \leq 30$ （ $3 ∤ n$ ）のすべてで $B (f (m, n))$ を直接計算すると、最大は $4$ で、与える組は $(3, 11), (12, 11), (21, 11), (30, 11)$ の4つだけだった。それぞれ $f = 162, 1863, 9396, 27135$ で、 $3^{4} = 81$ で割ると $2, 23, 116, 335$ となり、いずれも $3$ の倍数ではない。